河南省信阳市陡山河中学2021年高二数学理联考试题含解析

河南省信阳市陡山河中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正三角形中，分别在上，,则有、∽、∽

、∽

、∽参考答案：B2.下列不能构成集合的是（）A．1﹣20以内的所有质数B．方程x2+x﹣2=0的所有实根C．新华高中的全体个子较高的同学D．所有的正方形参考答案：C【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合中元素的确定性，可得结论．【解答】解：根据集合中元素的确定性，可得新华高中的全体个子较高的同学，不能构成集合，故选C．3.已知集合，，则

A、

B、

C、

D、参考答案：B略4.设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（B）A．B．C．D．参考答案：略5.命题“若a=﹣2b，则a2=4b2”的逆命题是（）A．若a≠﹣2b，则a2≠4b2 B．若a2≠4b2，则a≠﹣2bC．若a＞﹣2b，则a2＞4b2 D．若a2=4b2，则a=﹣2b参考答案：D【考点】四种命题．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a=﹣2b，则a2=4b2”的逆命题是“若a2=4b2，则a=﹣2b”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题的定义，难度不大，属于基础题．6.已知向量若，则

（

）A． B． C． D．参考答案：B略7.直线y＝x＋1被椭圆所截得的弦的中点坐标是()参考答案：C8.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．参考答案：D9.抛物线的准线方程是，则的值为

（

） A．- B．

C．8 D．参考答案：C略10.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为3的正方形ABCD内随机取点P，则点P到正方形各顶点的距离都大于1的概率为．参考答案：1﹣【考点】几何概型．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；概率与统计．【分析】在正方形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的外部，如图所示，求出红色部分面积，除以正方形面积即可得到结果．【解答】解：在正方形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆的外部，其面积为32﹣×π×12=9﹣，∵正方形的面积为3×3=9，∴点P到正方形各顶点的距离大于1的概率为=1﹣．故答案为：1﹣【点评】此题考查了几何概型，熟练掌握几何概型公式是解本题的关键．12.若复数是实数，则实数=

．参考答案：5略13.点关于直线的对称点的坐标是-

.参考答案：

14.在△ABC中，b=3，c=5，cosA=﹣，则a=．参考答案：7【考点】余弦定理．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得结论．【解答】解：∵△ABC中，b=3，c=5，cosA=﹣，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25﹣2?3?5?（﹣）=49，∴a=7．故答案为：7．15.已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=．参考答案：32【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x）

+0﹣0+

f（x）17极值24极值﹣8﹣1可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：3216.函数最小正周期是，单调减区间是．参考答案：π,[kπ+，kπ+]，k∈Z.【考点】余弦函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的周期性和单调性，求得结论．【解答】解：函数=cos（2x﹣）的最小正周期是=π，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：π；[kπ+，kπ+]，k∈Z．17.在△ABC中，已知，且，则BC边长为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题12分)已知p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.参考答案：19.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．参考答案：（Ⅰ），．（Ⅱ）。【分析】（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.【详解】（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.20.（1）已知：，求证：；（2）已知：，求证：.参考答案：（1）不妨令，则，设，则故在上是单调增加的，因此，，故.即：.

……………………6分

（2）【方法一】由（1）知，即，

令，并相加得

即得：

…………12分【方法二——数学归纳法】证明：①当时，，即左边右边，命题成立；

②假设当（）时，命题成立，

即成立，

当时

右边=

由（1）知：令，有，即

因此有：左边=

故，左边右边，

即，当时，命题成立.

综上①②，当，成立.21.已知双曲线与圆相切，过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切．（1）求双曲线的方程；

（2）是圆上在第一象限内的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程．参考答案：（1）∵双曲线与圆相切，∴，

………………2分由过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，进而故双曲线的方程为

………………4分（2）设直线：，，，圆心到直线的距离，由得………6分又的面积，∴…………10分由，

得，，此时式∴直线的方程为.

…12分

略22.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，，，O为对角线AC与BD的交点，PO⊥底面ABCD且（1）求异面直线PA与BC所成角的余弦值；（2）求平面APC与平面PCB所成锐二面角的余弦值．参考答案：（1）；（2）【分析】根据底面为菱形得，利用线面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系；（1）利用异面直线所成角的空间向量求法可求得结果；（2）分别得到两个平面的法向量，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】底面为菱形

又底面，底面

，以为坐标原点可建立如图所示的空间