河南省信阳市第十四中学高三数学理模拟试题含解析

河南省信阳市第十四中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则向量的夹角为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是A．b≤2B．b≤-2或b≥2C．b≥-2D．-2≤b≤2参考答案：B略3.

（

）(A)

(B)-

(C)

(D)参考答案：C4.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7π B．14π C． D．参考答案：B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．5.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．12参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（1+2）×2=3，高h=2，故体积V==2，故选：A6.已知函数的取值范围是A. B．C． D．

参考答案：D解析：，表示点与连线的斜率.又，故取点当与圆的切线重合时取最小值，可求，最小值为；当与圆的切线重合时取最大值，可求，最大值为；故的取值范围是

7.函数的零点个数为（

）A．0

B．1

C．4

D．2参考答案：D．试题分析：当函数=0时，，函数的零点个数即为的交点个数，根据图像易知原函数的零点个数为2个，故选D.考点：函数的零点问题.8.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（

）A． B． C． D．参考答案：C9.在中，若，则(

)

参考答案：C由正弦定理得：10.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0=A0A1，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（

）A．2:1

B．4:3

C．3:2

D．1:1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且，，则该三棱椎外接球的表面积为__________．参考答案：12π由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP＝OC＝OA＝OB，即O为三棱锥P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以．点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心．12.若对恒成立，且存在，使得成立，则m的取值范围为

．参考答案：(－∞,6)以代入得，消去得，若，则单调递增，，则.

13.已知函数y=f（x）的图象在点M（3，f（3））处的切线方程是y=x+，则f（3）+f′（3）的值为

．参考答案：2【考点】导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先将x=3代入切线方程可求出f（3），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（3）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（3）=×3+=，切点处的导数为切线斜率，所以f'（3）=，所以f（3）+f′（3）==2故答案为：2．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.参考答案：；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.15.若则f(x)＝___．参考答案：略16.正方体的内切球与外接球的半径之比为

参考答案：试题分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：：3，故填写考点：点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，是解决本题的关键17.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，

圆p=4sin的圆心到直线的

距离是______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明成立，即证．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由导数求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），当a=﹣1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当时，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当时，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，当x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞﹣1时，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，，当x∈（0，x2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（2）证明：要证f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即证lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是证，即证．令g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属难题．19.已知等差数列的前n项和满足．⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前n项和．参考答案：解：⑴设数列的公差为d，则，由已知可得：，解得：，故数列的通项公式为.⑵由⑴知：从而数列的前n项和为略20.已知函数，其中，．(Ⅰ)若的最小值为，试判断函数的零点个数，并说明理由；(Ⅱ)若函数的极小值大于零，求的取值范围．参考答案：

略21.某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

完成以下问题：

（I）补全频率分布直方图并求n、a、p的值：

（II）从[40．50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．