河南省信阳市湟川县一职业中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

河南省信阳市湟川县一职业中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。2.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（

）A.14 B.－14 C.240 D.－240参考答案：C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解。【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题。3.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为直角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（

）A．3π

B．4π

C.5π

D．6π参考答案：C4.函数在下面的哪个区间上是增函数

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：D【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】分别计算a，b，c，即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR，∵CD＜AB，∴c＜b，∵CD=2Rsinα，∴c=2πRsinα，∵0＜α＜，∴=＞1，∴c＞a，∴b＞c＞a，故选D．【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．6.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为

A．

B．

C．3

D.

4

参考答案：B略7.重庆市乘坐出租车的收费办法如下：⑴不超过3千米的里程收费10元;⑵超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．

相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填（

）

B.

C.

D.参考答案：考点：程序框图；分段函数；函数模型的应用.8.已知集合A=x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log4x＜0.5}，则（）A．A∩B=? B．B?A C．A∩?RB=R D．A?B参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先根据不等式的解法求出集合A，再根据对数的单调性求出集合B，根据子集的关系即可判断．【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，∴（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2∴A=（﹣1，2），∵log4x＜0.5=log42，∴0＜x＜2，∴B=（0，2），∴B?A，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题．9.已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】向量加减混合运算及其几何意义．F1∵，且，∴=0．又向量与的夹角为120°，且，∴．∴32﹣λ?22+（λ﹣1）×（﹣3）=0，解得λ=．故选：D．【思路点拨】利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出．10.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由题意可得x＜0，r=|OP|=，故，由得x=-3，所以=.选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为

参考答案：

12.若直线与曲线有四个公共点，则实数的取值范围是________．参考答案：略13.过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为

．参考答案：1或略14.已知为所在平面内的一点，满足，的面积为2015，则的面积为

参考答案：120915.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是

．参考答案：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的单调性得出结论．【解答】解：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，再将所得图象沿x轴向左平移个单位得到g（x）=2sin[2（x+）﹣]﹣1=2sin2x﹣1的图象．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得它的增区间是，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于基础题．16.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2?=3?2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是．参考答案：（，）【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】利用b2+c2﹣a2=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域，求得b+c的范围．【解答】解：△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，B+C=．∵，∴∠B为钝角．∵，由正弦定理可得=1==，∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB+sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，），∴b+c的范围为，故答案为：（，）．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣x3，g（x）=ex﹣1（e为自然对数的底数）．（1）求证：当x≥0时，g（x）≥x+x2；（2）记使得kf（x）≤g（x）在区间[0，1]恒成立的最大实数k为n0，求证：n0∈[4，6]．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）构造函数h（x）=g（x）﹣x﹣，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法证明当x∈[0，1]时，4f（x），当k≥6时，取特值x=说明不等式kf（x）≤g（x）在区间[0，1]上不恒成立，从而说明n0∈[4，6]．【解答】证明：（1）设h（x）=g（x）﹣x﹣，即h（x）=，则h′（x）=ex﹣1﹣x，h″（x）=ex﹣1，当x≥0时，h″（x）≥0，h′（x）为增函数，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，∴g（x）≥x+；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立．下面先证：当x∈[0，1]时，4f（x），当x=0或1时，上式显然成立；当x∈（0，1）时，要证4f（x），即证4（x﹣x2），也就是证8x2﹣7x+2≥0．∵＞0．∴当k≤4时，必有kf（x）≤g（x）成立．∴n0≥4；另一方面，当k≥6时，取x=，kf（x）﹣g（x）=＞0，∴当k≥6时，kf（x）≤g（x）不恒成立．∴n0≤6．综上，n0∈[4，6]．【点评】本题考查利用等式研究函数的单调性，训练了分析法证明函数不等式，体现了特值思想方法的应用，是中档题．19.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式转化为不等式组来求解得不等式的解集.（2）化简不等式为，由此得到或，结合恒成立知识的运用，求得的取值范围.【详解】（1）当时，，故等价于或或，解得或.故不等式的解集为.（2）当时，由得，即，即或对任意的恒成立.又，，故的取值范围为.又，所以，综上，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.20.设，实数满足，求证：．参考答案：21.设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an﹣n+1（n∈N*），bn=an+1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列bn的等比数列，求解通项公式．（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+1，易得a1=0，b1=1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n+1﹣[2an﹣1﹣n+1+1]，整理得an=2an﹣1+1，∴bn=an+1=2（an﹣1+1）=2bn﹣1，∴数列{bn}构成以首项为b1=1，公比为2等比数列，∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1，n∈N?；（2）由（1）知bn=2n﹣1，则nbn=n?2n﹣1，则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1，①∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②由①﹣②得：﹣Tn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n?2n==2n﹣1﹣n?2n，∴Tn=（n﹣1）2n+1．22.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率．参考答案：（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，……1分则，．

…………2分所以，…………………3分所以椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为