2021年湖南省邵阳市中考数学考前冲刺卷及答案解析

2021年湖南省邵阳市中考数学考前冲刺卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

l.(3分）下列各组中的两个数互为倒数的是()

1-44-55-41

牙廿牙n牙日299

ABµc-4。25

..D.—和2—

1010

2.(3分）下列匹个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（)

A.二

c勹D.

3.(3分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号“万米海试成功，下潜

深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示

为（）

A.l.09X103B.l.09X104C.10.9X103D.0.109X105

4.(3分）设a,b是方程x2+x-2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（)

A.2017B.2018c.2019D.2020

5.(3分）将函数y=-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函

数表达式（)

A.y=-4x+2B.y=-6xC.y=-4x-2D.y=-2x

、

6.(3分）下列计算正确的是(丿

A.5-J'!,＋画＝8＠B.(-2a2h)3=-6a千

a2-4a+b

C.(a-b)2=a2-b2D.=a-2

-.—a+ba+2

7.(3分）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边!::.ABE、l::.ADF,

延长CB交AE千点G,点G在点A、E之间，连接CE,CF,EF,则以下四个结论一定

正确的是（)

CD丛CDF竺丛EBC;＠乙ADC=LEAF;@cc上AE＠凶ECF是等边三角形．

第1页共25页

c

R

A.只有CD@B.只有＠＠C只有＠＠＠）D.@@@@

8.(3分）已知a+b>O,ab>O,则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标

可能是（)

,y

。x

A.(a,b)B.(-a,b)C.(-Cl,-b)D.(a,-b)

9.(3分）如图G)所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该

图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则

图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案

上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘

制成了＠）所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（)

小球落在不规则图案内的频率

0.4I-一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

0.35卜－气一一、-7干--、一,----

III

'II

0.3卜－--➔---+---~---t---i---~----~----

III

III

勹II

60120180240300360420实验次数

图＠图＠

A.6m2B.7m2C.8m2D.9m2

10.(3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，乙］＝30°'乙2=50°'则乙3

的度数等于（)

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A.20°B.30°C.50°D.80°

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11.(3分）分解因式：x3-x=.

k

12.(3分）如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例团数y=－的图象上，过点P作PA

X

l..x轴千点A,若!:::.PAO的面积为5,则k的值为

JJ

13.(3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,

92,94,方差为s2=8.0,后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新

成绩的方差S矿＝.

14.(3分）如图，乙AOB=20°,点P在OA边上．

(I)以点0为圆心，OP长为半径作材N,交OB千点C;

(2)分别以点P、C为圆心，PC长为半径作弧，交付N千点D、E;

(3)连接DE,分别交oc、OP千点F、G;

(4)连接DP.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是．（填序号）

(Doc垂直平分DP;＠区COD＝乙COP;@DF=FG;G)OD=DE.

。飞

第3页共25页

15.(3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2

个空格的实数之积为

16.C3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，

只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为

864平方步，它的宽比长少l2步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，

则依题意列方程为

17.(3分）如图G)是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中

国首艘国产航母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为

l加的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图＠）），则该圆锥的母线

长AB为

S

攫邑

,隘，邕

10冗

图＠图＠

18.(3分）如图，在菱形ABCD中，连接BD,点E在AB上，连接CE交BD千点F,作

53

FG上BC千点G,乙BEC=3乙BCE,BF=—11DF,若FG=4－，则AB的长为.

D

B

三．解答题（共8小题，满分66分）

19.(8分）计算：(-1)2020+(~)-1+1-1+-../31-2sin60°.

20.(8分）先化简，再求值：{(ab+l)(ab-2)-2a2沪＋2}-:-(-ab)，其中a,b满足等

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丐－3al+~言＝0

21.(8分）如图，6ABC中，AB=AC,以AC为直径的00与BC交于点D,经过点D的

直线EF上AB千点E,与AC的延长线交于点F.

(1)直线EF是否为00的切线？并证明你的结论．

(2)若AE=4,BE=1,试求cosA的值．

22.(8分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i=l:2.4,AC的

长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所

给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

二~--;,:;,-----A<.:1:5

fD

上-“`

23.(8分）《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基金，品生活之美”为基本宗旨，力

求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，

感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵，自开播以来深受广大师生

的喜爱．某学校为了提高学生的诗词水平，倡导全校3000名学生进行经典诗词诵背活动，

并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启

动之初，随机抽取部分学生调查”一周诗词诵背数扯“，根据调查结果绘制成的条形和扇

形统计图如图所示．

第5页共25页

活动之初部分学生活动之初部分学生

“一周诗词背诵数童酌条形统计图“一局诗词背诵数童的扇形统计图

80706050403020100

40

303325

22

3首4首5首6首7首8首数量

【整理、描述数据】

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生”一周诗词诵背数蜇＂，绘制成如下统计表

I一周诗词诵3首4首5首6首I7首8首

背数量

人数16243278a35

【分析数据】

大赛结束户部分学生”一周诗词诵背数量”的统计表

平均数中位数众数

56b6c

大赛之前

6

大赛之后

请根据调查的信息分析：

(l)补全条形统计图；

(2)计算a=,b=首，c=首，并估计大赛后一个月该校学生一

周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；

(3)根据调查的相关数据，选择适当的统计岱评价该校经典诗词诵背系列活动的效果

24.(8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新

活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风

扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

(l)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

(2)小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型

第6页共25页

风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数冕不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两

种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

25.(8分）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD士的一点，将6AED沿AE所在的直线

折社，使点D落在点F处

(l)如图l，若点F落在对角线AC上，且乙BAC=54°,则乙DAE的度数为

(2)如图2,若点F落在边BC上，且AB=6,AD=10,求CE的长．

(3)如图3,若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC千点G,且AB=6,AD=IO,

求CG的长．

c

D______EcD_______EDE

-BABAB

图1图2图3

26.(10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a入?+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),

B两点，与y轴交千点C(0,2)，对称轴x=l,与x轴交于点H.

V”V

”

盒',

H~Hx

·

`＇．

..一，．

了

.~．

.＇

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)直线y＝虹＋1（K土0)与y轴交千点E,与抛物线交千点P,Q（点P在y轴左侧，

点Q在y轴右侧），连接CP,CQ,若6CPQ的面积为甚；，求点P,Q的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,

将线段GK绕点G顺时针旋转90°'使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点

K的坐标；若不存在，请说明理由．

第7页共25页

2021年湖南省邵阳市中考数学考前冲刺卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分）

l.(3分）下列各组中的两个数互为倒数的是（)

1-4

A禾Dl451299

B.一和一c.一和0.25D.一和2一

54410.10

45

【解答】解：·:-X-=L

54

45

占－与－互为倒数，

54

故选：B.

2.(3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（)

A.二

c勹D.

【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；

故选：A.

3.(3分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号“万米海试成功，下潜

深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示

为（）

A.l.09X103B.l.09X104C.10.9X103D.0.109X105

【解答】解：将10900用科学记数法表示为l.09X10气

故选：B.

4.(3分）设a,b是方程x2+x-2019=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（)

A.2017B.2018C.2019D.2020

第8页共25页

【解答】解：？a、b是方程x2+x-2019=0的两个实数根，

:.忒＋a=2019,a+b=-1,

．二a2+2a+b=-1+2019=20]8.

故选：B.

5.(3分）将函数y=-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函

数表达式（)

A.y=-4x+2B.y=-6xC.y=-4x-2D.y=-2x

【解答】解：将函数y=-4x的图象沿y轴向下平移2个单位后，所得图象对应的函数

关系式为：y=-4x-2.

故选：c.

、

丿

6.(3分）下列计算正确的是（

A.5{3＋顷＝8祁B.(-2a2b)3=-6汒护

a2-4a+b

C.(a-b)2＝忒－b2D.=a-2

-a+b.—a+2

【解答】解：A.5乔＋切:s=5祁＋3,./2,故A选项不合题意；

B.(-2a2b)3=(-2)3(a2)沪＝－8a炉，故B选项不合题意；

C.(a-b)2=a2-2ab+b2,故C选项不合题意；

a2-4a+b(a+Z)(a-2)a+b

D—·—=·—=a—2,故D选项符合题意．

a+ba+Za+ba+2

故选：D.

7.(3分）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边!:::.ABE、b.ADF,

延长CB交AE千点G,点G在点A、E之间，连接CE,CF,EF,则以下四个结论一定

正确的是()

G沁CDF兰丛EBC;＠乙ADC=L.EAF;G)CG.l_AE＠凶ECF是等边三角形．

C

R

A.只有＠＠B.只有＠©C只有＠＠＠）D.@@)@)©

【解答】解：？ABCD为平行匹边形，6ABE、6ADF是等边三角形，

第9页共25页

,',AB=CD=AE=BE,AD=BC=AF=DF,

．：乙ADC＝乙ABC,乙ADF＝乙ABE=60°,

：．乙FDC＝乙CBE,

:.6CDF兰丛EBC(SAS),

:.(I)正确；

＠？乙FAE＝乙FAD＋乙DAB＋乙BAE=60°+180°-乙ADC+60°=300°-乙ADC,

乙FDC=360°-乙FDA-乙ADC=300°-乙ADC,

：．乙FAE＝乙FDC,

．：乙ADC＃乙FDC,

:.@不正确；

＠无特殊角度条件，无法证＠，

:.@）不正确；

＠同理，乙CBE＝乙EAF＝乙CDF,

·;BC=AD=AF,BE=AE,

:.6EAF竺6EBC(SAS),

:.乙AEF＝乙BEC,

．：乙AEF＋乙FEB＝乙BEC＋乙FEB＝乙AEB=60°,

:.乙FEC=60°,

·:CF=CE,

：心ECF等边三角形，

:.(I)正确．

:．一定正确的是＠＠．

故选：B.

8.(3分）已知a+b>O,ab>O,则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标

可能是（)

,y

。X

第10页共25页

A.(a,b)B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(a,-b)

【解答】解：?a+b>O,ab>O,:.a>O,b>O.

A、(a,b)在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

B、C-a,b)在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；

C、C-a,-b)在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

D、(a,-b)在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：B.

9.(3分）如图G)所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该

图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则

图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案

上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘

制成了＠）所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（)

小球落在不规则图案内的频幸

0.4~----------------------------------

,

0.35卜－－1六了尸-守，'

IIIIIII

0.3~---{----:----f----f----i----l----:-----

IIIIII

IIIIII

勹jIIIII

60120180240300360420实验次数

图CD图＠

A.6m2B.7m2C.8ni2D.9m2

【解答】解：假设不规则图案面积为xm气

由已知得：长方形面积为20m2,

X

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：一·,

20

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，

故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35,

X

综上有：—＝0.35,解得x=7.

20

故选：B.

10.(3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，乙l=30°，乙2=50°'则乙3

的度数等于（)

第11页共25页

A.20°B.30°C.50°D.80°

【解答】解：?ABIICD,

:.乙4=乙2=50°'

:.乙3=乙4-乙1=20°'

故选：A.

ACBD

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11.(3分）分解因式：x3-x=x(x+I)(x-I)

【解答】解：x3-X,

=x(x2-1),

=x(x+I)(x-1).

故答案为：x(x+I)(x-1).

k

12.(3分）如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例困数y=－的图象上，过点P作PA

X

上x轴千点A,若LPAO的面积为5,则k的值为-10.

JI

1

【解答】解：由题意得一ik1=5,

2

解答k＝士10,

又？k<O,

第12页共25页

:.k=-10,

故答案为：-10.

13.(3分）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,

92,94,方差为s2=s.o,后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新

成绩的方差S矿＝8.0.

【解答】解：？一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均

数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，

:．所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0;

故答案为：8.0.

14.(3分）如图，乙AOB=20°,点P在OA边上．

(I)以点0为圆心，OP长为半径作材N,交OB千点C;

(2)分别以点P、C为圆心，PC长为半径作弧，交付N千点D、E;

(3)连接DE,分别交oc、OP于点F、G;

(4)连接DP.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是汀）＠闷)_.（填序号）

@OC垂直平分DP;＠乙COD＝乙COP;@DF=FG;G)OD=DE.

。刁

【解答】解：如图，连接OD,OE,PF.

刁

由作图可知OD-OE,CD=CP，乙COD＝乙COP,

占OC垂直平分线段DP,故＠＠）正确，

第13页共25页

．：乙COD＝乙COP＝乙POE=20°,

:.乙DOE=60°,

'.'OD=OE,

:.60D£是等边三角形，

.'.OD=EF,故G)正确，

·:DF=PF,PF>FG,

.'.DF=t:FG，故＠）错误，

故答案为0@@．

l5.（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2

个空格的实数之积为—6寸2—·

3迈2../3

6

_

3迈

【解答】解：由题意可得:'13xy=3~奴2X,./3=6-./6,

xy=6迈．

故答案为：6v2.

16.(3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，

只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为

864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，

则依题意列方程为x(x+l2)=864.

【解答】解：？矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），

:．矩形的长为(x+l2)（步）．

依题意，得：x(x+I2)=864.

故答案为：X(x+l2)=864.

17.(3分）如图G)是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中

国首艘国产航母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为

lOn的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图＠）），则该圆锥的母线

长AB为13.

第14页共25页

雇

屈凰,恳

10灯

图＠图＠

【解答】解：？圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝1OTI，

10兀

.'.OB=2rr=5,

在RtL::.AOB中，AB=寸AO2+BO2＝寸122+52=13,

所以该圆锥的母线长AB为13.

故答案为：13.

18.(3分）如图，在菱形ABCD中，连接BD,点E在AB上，连接CE交BD于点F,作

535

FG..LBC千点G,LBEC=3乙BCE,BF=rr_DF,若FG=－，则AB的长为-

4—2-·

D

B

【解答】解：连接AC交BD于M,如图所示：

设BF=Sa,则DF=ll几

占BD=I6a,

？四边形ABCD是菱形，

1

．二AC上BD,乙ACB＝乙ACD,AB=BC,ABIICD,BM=DM=;.BD=Sa,

2

:.FM=BM-BF=3a,

·:AB/ICD,

:．乙BEC＝乙ECD,

．．乙BEC=3乙BCE,

:．乙ECD=3乙BCE,

:．乙ACE＝乙BCE,

第15页共25页

.'.CF平分乙ACB,

?FG上BC.FM_l_AC,

3

.'.FG=FM=.;.,

4

3

.••3a=-,

4

1-4

...a=,

5

占BF=.;.,BM=2,

4

在RtLFMC和RtLFGC中，｛CF=CF

FM=FG'

占Rt'凶FMC竺Rt凶FGC(HL),

.'.CG=CM,

在R心BFG中，BG=寸BF2-FG2=

设CG=CM=x,则BC=x+l,

在RtLBMC中，由勾股定理得：2斗x2=(x+l)气

3

解得：x=-,

2

5

占AB=BC=~-2

B

＿．解答题（共8小题，满分66分）

1

19.(8分）计~:(_I)2020+（一）一1+1-1＋迈I-2sin60°

2

战

【解答】解：原式＝1+2+(,./3-1)-2x

—2

=1+2+,./?,-1-,./?,

=2.

20.(8分）先化简，再求值：{(ab+I)(ab-2)-2a吩＋2尸(-ab)，其中a,b满足等

式1¾3-a1+~=0

第16页共25页

3./4

【解答】解：?a,b满足等式5—a|＋~=0,

34

:.--a=O,-+b=O,

23

.3.4

..a=-2,',.,-b=--3'

{(ab+1)(ab-2)-2a沪＋2}-:-(-ab)

={a叩－ab-2-2a2炉＋2}-:-C-ab)

=(-a2护－ab)-:-(-ab)

=ab+L

3.4

当a=~,b=－－时，原式＝-2+1=-1.

23

21.(8分）如图，LABC中，AB=AC,以AC为直径的00与BC交于点D,经过点D的

直线EF上AB于点E,与AC的延长线交于点F.

(1)直线EF是否为00的切线？并证明你的结论．

(2)若AE=4,BE=l,试求cosA的值．

【解答】解：(1)EF是00的切线．理由如下：

连接OD,AD,

?AC是00直径，

:.AD..LBC,

'.'AB=AC,

:．点D是BC的中点，

·:o是AC的中点，

:.OD是6ABC的中位线，

第17页共25页

:.ODIiAB,

?EF上AB,

:.乙ODE＝乙BED=90°,

·:oo是00的半径，

:.EF是00的切线；

15

(2)由（1)得，OD=~AB=~,

22

5

:.AO=OC=OD=;;.,

2

设CF=a,

"."ODIiAB,

OFOD

AFAE

2.S+a5

=—,

S+a8

:.20+8a=25+5a,

.••a=-;;:5,

3

520

:.AF=5+-3=—,3

AE3

:.cos乙FAE=—AF=--s·

22.(8分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i=l:2.4,AC的

长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所

给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

二f-g_D(＿＿＿_--－A-

B-^

【解答】解：如图，

-E

延长CD交AB于E,

·:i=I:2.4,

第18页共25页

15

:.tanLCAB=—=—2.4-12'

CE5

AC12'

·:AC=7.2,

:.CE=3,

·:cD=0.4,

:.D£=2.6,

过点D作DH上AB于H,

占乙EDH＝乙CAB,

·:tanLCAB=心

12

:.cosLEDH=cosLCAB=—13'

DH=DExcosLEDH=2.6x甘＝2.4,

答：该车库入口的限高数值为2.4米．

23.(8分）《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基金，品生活之美”为基本宗旨，力

求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民匝温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，

感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵，自