2021-2022学年北京市顺义区2022届高三第一学期(上期)期末数学试卷题(含答案详解)

顺义区2021-2022学年第一学期期末练习

Tiy-------皿rJ”,

高二数学

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.在复平面内，复数2-对应的点在

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={-2,-1,。},则4nB=

A.{-1}B.{-l,o}C.{-2,-l}D.{-2,0}

3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是

A.y=-B.y=2xC.y=log?xD.y=sinx

4.已知同等|=1,且力(£+3$),则向量［g夹角的余弦值为

A.-1B.-lC」D.l

3553

｝

5.在等差数列k中，a-a=2a=1,a=

n73f412

A.5B.4C.3D.2

1

6.已知xwR,则“L<1”是“x>l”的

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知过8。的平面与正方体ABC。-ABC。相交，分别交棱44,CC于M,N.则下列

111111I

关于截面8MON的说法中，不正确的是

1•・・

A.截面BMDN可能是矩形B.截面BMDN可能是菱形

11

C.截面BMDN可能是梯形D.截面BMDN不可能是正方形

11

8.已知两点M(-5,0),N(5,0),若直线上存在点尸，使得忸M|/W|=8成立,则称该直线

为“单曲直线”.下列直线，“单曲直线”是

31

①y=x+2；②]=4；©y=~x*®y=yx-l

A.①②B.①③C.②③D.②④

9-如图，△。4勺△4纥4是全等的等腰直角三角形，外纥为直角顶点，°,年4三点共

线.点M分别是边华，4再上的动点(不含端点).记伊叫?，〃=吗.。《，则

A.m>nB.m<n

C.m=n大小不能确定

10.为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有

四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第

一名到第四名的得分依次为4,3,2/分,四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分,

总分第二名获得13分.有下列结论:

①总分第三名不超过9分②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分

③总分第四名不超过6分④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名

其中，所有正确结论的序号是

A.①②B.①④C.①②③D.②③④

2

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

H.函数f(x)=\2-x+lg(x+l)的定义域为.

12.在(x2+1)5的展开式中，X的系数为.(用数字作答)

X

13.将直线/:x-y+2=0绕着点A(l,3)按逆时针方向旋转15。，得到直线/，贝心的倾斜角为

I1

,/的方程是

--------1--------

14.若实数a,b满足a=b-l,则使得0＜帅＜2成立的一个a的值是.

15.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，

只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=k-x,|+|)[-yJ为两点

P(x“)，。。,,兀)之间的“出租车距离”.

给出下列四个结论：

①若点。(0,0),点4(1,2),则4(0,4)=3；

②到点0(0,0)的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是兀；

③若点A(l,2),点8是抛物线上的动点，则d(A,8)的最小值是1；

④若点A(l,2),点8是圆x2+y2=1上的动点，则”(A,8)的最大值是3+JT

其中，所有正确结论的序号是.

3

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(本小题14分)

如图，在长方体A8CO-48co中，AD=AA=1,A8=2,点E在线段A8上.

11111

(I)证明：DEVAD-,

\I

(II)当点E是中点时，求4Q与平面。EC所成角的大小.

11

4

17.(本小题14分)

在△48C中，a=l,csinA=^acosC.

(I)求C的大小；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断AABC是否存

在，若不存在，说明理由；若存在，求出aABC的面积.

条件①：cosAcosC=」^；

4

条件②：b2-c2=ac；

条件③：Ac成等差数列.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

5

18.(本小题14分)

某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、8两种农产品供选择，每人

只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若

掷出点数为1或2,购买农产品A,若掷出点数大于2,则购买农产品8.

(I)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；

(II)用分别表示这4个人中购买农产品A和8的人数，记X=&n，求随机变量X的

分布列与数学期望E(X).

6

19.(本小题14分)

已知函数/(X)=—(7X+——(«>0)

22x

(I)若。=1,求曲线y=/(用在点(1J(1))处的切线方程；

(H)若对任意xe【l,+8),都有/(x)Nln.T,求实数〃的取值范围.

7

20.(本小题15分)

已知椭圆W:二+工=1过点A(0,-l),且离心率6=走.

a2b22

(I)求椭圆W的方程；

(II)点8在直线x=4上，点B关于X轴的对称点为4,直线A8,A8］分别交椭圆W于

C,。两点(不同于4点).求证：直线CC过定点.

8

海淀区2021~2022学年第一学期期末练习

高三数学参考答案2022.01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号(I)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案cDcACBcBBB

二'填空题共5小题，每小题5分，共25分。

题号(11)(12)(13)(14)(15)

y=3sin(27u)

£3或

答案y=2x,y=-2x2,-2①②③

1

24y=3COS(2TCC)

或其它

三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）

解：（I）由枕+C2-〃2+/?C=0,可得cosA=----------=----=---

2bc2bc2

因为44为三角形内角，所以乙4=120°.

（II）选择条件②③.

6

由（I）知NC为锐角，又因为sinC=*W,所以/C=45。,

2

所以28=180-(120°+45°)=15°,

J7_J7

所以sin8=sin(45°一30°)=sin45°cos30°-cos450sin30°=2~~三

4

由正弦定理可得，■二二一一，所以c='Sin------=

sinAsmCsinAJ3

2

所以ZUBC的面积为』acsin8=，6x0"xR-Q3-瓜

2244

说明：最后两步也可以如下计算：

1

basin8_

由正弦定理可得一^,所以人二

sinAsinBsinA

所以AABC的面积为，absinC=L^x'一凡立=之正.

22224

（17）（本小题14分）

解：（I）证法1：

因为长方体ABCO-ABCO中，平面A4DO〃

1111II

平面B8CC,平面44。。门平面BCE=EF,

平面BBCCfl平面8CE=BC,

所以

证法2：1

因为长方体ABC£）-ABC。中，平面44。。〃

平面B8CC,8Cu丰猛薪CC，

所以820平面A,

因为£。<=平面。3",‘平面4£>04（"I平面C8E=EF,

11111

所以BC〃EF.

1

（II）因为AB,AD,A4两两垂直，

1

所以以点A为坐标原点，AB,AD,44所

I

在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立空间直角

坐标系如图所示：----------5分

贝ljA（O,O,O）,C（2,2,0）,B（2,0,1）-£（0,1,1）,

1

BC=(0,2,-l),靛=(-2,1,0),4B=(2,0,1)

I11

平面BEC的法向量为方=(0,0,1).

III

设平面C8E的法向量为弁=(x,y,z),

I2

则"至二°,可得[2-z=o,

ii'BE=0[-2x+y=0

2I

令x=l,则y=2,z=4,

所以方=(1,2,4),

2

所以跖瓯巴）卜能飞/二+4245

21

又因为二面角C-8E-C为锐角,

11

2

所以，二面角C-BE-C的余弦值为坦.

।।21

设点A到平面C/E的距离为“，

则公例耳=再

旷诉7

(18)(本小题14分)

解：(1)法1：设甲在首轮比赛中正确完成的题数为&,易知1~8卜,,

所以P©》2)=Pg=2)+P(g=3)

22

y(Y+c；

法2：曜22)=1-曜=0)-「6=1)=1-31-；2=290.

27927

(II)由题意得X的取值范围是{1,2,3}.

ClC21C2cl3C3co1

p(X=l)=—^=_,P(X=2)=-4~^=_,P(X=3)=—

C35C35C35

666

所以X的分布列为

X123

£3£

P

557

131

所以E(X)=lx1+2x彳+3x1=2.

(Ill)从正确完成实验操作的题数的均值方面分析E&)=E(X)=2,两人水平相当;

13122(212

因为。(X)=(1-2”x1+(2-2"x,+(3-2”X]=1,。(&)=3x[1J=，,

所以，从正确完成实验操作的题数的方差方面分析。(X)<。《)，乙的水平更稳定;

因为P(X22)=3+1=3,P(^^2)=-+—=—.所以P(X22)>P©22).

55592727

从至少正确完成2题的概率方面分析，乙通过的可能性更大.

(19)(本小题14分)

解：(I)因为点A(0,-l)在椭圆C：—+2-=1±,

3b1

所以将点A(0,-l)代入椭圆方程，可得2+3=1,所以62=1.

3bi

3

Y2

所以椭圆C的方程为｝+尸=1.

因为C2=成-拉=3-1=2,所以椭圆C的离心率为岑=诿

63

y=k(x-1)

(II)由■可得(3%+1>2-6kix+3(%-1)=0.

—X2+V2=1

.3

A=36"—12(3公+1)&-1)=24抬+12>0恒成立,

设E(x,y),F{x,y),则x+x=-­，xx=—.

「I22123h+l।23匕+1

直线力后的方程为丫=毕\-1,

x

1

令x=3,得点M的纵坐标为y=落="一1,

MX

1

同理可得点N的纵坐标为y=3(V+1)-1,

NX

2

所以|MN|=|,7卜34±1»=3*+1)_3+1)

MNXXXX

I2I2

3k-l||x-x|

=

・\"IA.・

3\k-l|J(x+x)2-4xx

202kz+1

k+u

因为A4MN的面积S\,“N=g|MN|x(3-0)=||M^|=3季,

所以|MN|=26，即，=1'

化简得攵2-2%=0,解得A=0或女=2.

所以女的值为0或2.

(20)(本小题15分)

解：(I)因为/(x)=aex-sinx+2x,

4

所以/(0)="且/'(x)=ae<-cosx+2,

所以尸(0)=a-l+2=n+l,

所以曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程为y-a=(a+l)(x-O),

即y=(a+\)x+a.

(II)当心0,xe［0,l］Bt,

因为f'M-aex-COSX+2$：0+2-cosx>0,

所以/(x)在［0,1］上单调递增，

所以/(幻在［0,1］上的最小值为/(0)=a.

(III)取。=-1,以下证明"x)=-e*-sinx+2xW-1恒成立.

令g(x)=e*+sinx-2x-1,即证g(x)20恒成立.

(1)当xe(-8,0］时，有e»wl,cosxe［-l,l］,

所以g'(x)=e.<+cosx-2w。，

所以g(x)在(-8,0］上单调递减，

所以g(x)》g(O)=0在(-oo,0］上恒成立.

(2)当xe(0,+co)时，令G(x)=g'(x)=e*+cosx-2.

因为e*>l,sinxe(O,l］,所以G'(x)=e.<-sinx>0,

所以6。)=8'。)=6*+8$》-2在(0,+8)上单调递增，

所以夕(x)>g'(0)=0在(0,+oo)上恒成立.

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)》g(O)=0在(O.+oo)上恒成立.

综上，g(x)20恒成立，所以恒成立.

(21)(本小题14分)

解：(1)8不是典型表，C是典型表；

(II)方法1.

岂不可能等于17.

O

以下用反证法进行证明.

证明：假设久=17,那么典型表(a)中有19个0,在六行中至少有一行。的个

6ij6x6

数不少于4,不妨设此行为第一行，且不妨设。=a=a=a=0.此时前四列

11121314

中，每一列的其余位置中都至少有4个1,所以前四列中至少有16个1,

所以。与a中至多有一个1,即a与a中至少有一个为0,

15161516

5

不妨设a=0,则第五列的其余位置中至少又有5个1,

15

所以前五列中已经有不少于21个1了，与S=17矛盾！

6

所以假设不成立.所以S不可能等于17.

6

(II)方法2.

S不可能等于17,以下证明S218.

66

证明：因为当典型表3中0的个数不超过18时，那么1的个数不少于18,

tj6x6

所以S?18；以下只需证明当典型表3)一中0的个数大于18时，也有S?18成

6V6x66

立.

当典型表中0的个数大于18时，在六行中至少有一行0的个数不少于4,

ij6x6

不妨设此行为第一行.

(1)若第一行0的个数为6,则Za+Xa<5,不合题意；

I；a

j=li=l

(2)若第一行0的个数为5,不妨设a=a='•-=«=0,a=1,此时前5列

II121516

中，每一列的其余位置都只能是1,所以S\18.

6

(3)若第一行0的个数为4,不妨设Q-a-a-a=0,a-a=1,此时前

111213141516

4列中，每一列的其余位置中都至少有4个是1,所以S，18.

6

综上，S>18.所以S不可能等于17.

66

(III)方法1

在水平方向的"行和竖直方向的〃列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的

个数最少，不妨设第一行中的1最少，并设其个数为&,其中ke{(M23,…，山.

且不妨设第一行中前4个为1,后(〃-幻个为0.

对于第一行中为1的这％列中，因为每一列都至少有上个1,所以共有42个1；

对于第一行中为0的("-外列中，每一列中都至少有(〃-幻个1,

2

所以S+(〃—k)2=2k2—Ink+"2=2(k~~)+~-

以下记f/)=2依-12+方,

(1)当n为偶数时，则S为U)>2(N--)2+—=—对任意的k恒成立.

〃2222

而且S“可以取到会.例如：当“14W且IWjWg”和“3+1WW”且2”

6

时，其它位置为0,此时S=三.

,Jn2

(2)当n为奇数时，则S河伙)》2(上人-马2+竺=±±1对任意的&恒成立.

〃2222

而且S可以取到上土L例如：当且区六上］”和“竺1〈运〃且

"2222

空时，a=1,其它位置为0,此时S=—.

2'J»2

综上，当n为偶数时，S的最小值为《；

当n为奇数时，S的最小值为生

(III)方法2(整体分析，算两次)

设典型表A的第i列有(？个0,(，=1,2,3广・,〃),A的第j列有r.个0,

，J

(J=1,2,3,),则典型表4中0的总个数为N=Zc=Zr.

;=i;=i

由定义可得Zc(〃一c)+Z尸(〃一r)2〃N,

J=I

所以〃N-Zc2+nN-工r22nN，所以Zc2+ZrzWnN.

*j•j

i=lj=\i=\j=\

(ZLc)2(Zr)2

又因为口后一=空，EQi_=空，

1nninn

i=i»=i

所以竺iw〃N,所以NW里,

n2

所以s，竺.

n2

(1)当〃为偶数时，S可以取到例如：当“1W/W巴且1W户2”和“2+iww”

n2222

且T+iqw〃”时，,=1,其它位置为0,此时S“=^.

(2)当〃为奇数时，而且S可以取到山.例如：当“1WW」且

〃2〃22

7

J和“"+然且"+।WjWn”时,a=1,其它位置为0,此时

222u

C"2+1

S=----.

〃2

综上，当