2010-2019考研数学二真题

2019年全国硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当％—0时，若％-tan式与/是同阶无穷小，则A;=()

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.

(2)曲线y-冤sinx+2cosx(-y-<x<2TT)的拐点坐标为()

(A)(0,2).(B)(TT,-2).(C)停，

(3)下列反常积分发散的是()

x

(4)已知微分方程y"+ay'+"=ce'的通解为y=(g+C2x)e~+则a、6、c依次为()

(A)l,0,1.(B)l,0,2.(C)2,1,3.(D)2,1,4.

22

⑸已知平面区域D={(%,y)|x|+|y|Wy|=][x/x+ydxdy,I2=

D

22

,sinJ£+.d%dy,/3=1-cos>/%+y)d%dy,贝lj()

DD

(A)/3</2<(B)/2</,<Z3.

(C)L</2<k(D)/2</3<.

(6)已知/(欠)，以％)2阶可导且2阶导函数在4=a处连续，则1而八广一^>=0是曲线

y=/(%)和y=g(%)在与二。对应的点处相切且曲率相等的()

(A)充分非必要条件.(B)充分必要条件.

(C)必要非充分条件.(D)既非充分又非必要条件.

(7)设A是4阶矩阵，/T是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则

r(A-)=()

(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.

(8)设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若K+A=2E,且|A|二4,则二次型xlx的

规范形为()

(A)y；+幺+y}.(B)yJ+K-赤

(C)y；--yt(D)-4一初一

二、填空题(本题共6小，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9)lim(比+2，)+=

x-K)

(10)曲线「二’-sin''在£=芋对应点处的切线在y轴上的截距为_____.

V=1-cosI/

(11)设函数/(〃)可导，Z二步(9),贝矣+y青=

(12)曲线y=Incos%(0W%W/)的弧长为.

(13)已知函数/(欠)=+/苧山，则［7(欠)〃=.

(1-100、

_21-1，时.表示|A|中(i,j)元的代数余子式，购4“-仆二

(14)已知矩阵A=

3-22-1

100341

三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

已知函数/(#)=”>°'求『(%),并求/(%)的极值.

+1,%这0.

(16)(本题满分10分)

求不定积分

(17)(本题满分10分)

设函数y(冗)是微分方程y'-%,二」尸€亨满足条件武1)二人的特解.

27%

(I)求八％);

(II)设平面区域D={(%,y)|1W%W2,0WyWy(%)},求〃绕式轴旋转所得旋转体

的体积.

(18)(本题满分10分)

这/},计算二重积分

已知平面区域。={(孙父)I1%|W九(d+/)3

g君网.■

(19)(本题满分10分)

设几为正整数，记S,为曲线y=bsin#(0W%W几宣)与％轴所围图形的面积，求S.,并

求limS.

n—►«n

(20)(本题满分11分)

已知函数u(x,y)满足2鲁-2吗+3乎+3普=0,求a,6的值，使得在变换u(x,y)=

oxdyoxdy

下，上述等式可化为v(x9y)不含一阶偏导数的等式.

3

(21)(本题满分11分)

已知函数/(%)在［0,1］上具有2阶导数，且/(0)=0,/(1)==1,证明:

(I)存在］€(0,1),使得.(介=0；

(n)存在刀e(0,1),使得/"(#<-2.

(22)(本题满分11分)

'1]r1、「0、

=

已知向量组I：a［二1,%=0，%=2与n：p=1，Pi2

+3,la+31\1-a)

(1:

氏=3.若向量组I与II等价，求。的取值，并将自用%,%线性表示・

<a2+3/

(23)(本题满分11分)

2-21、「210、

已知矩阵A二2%—2与6二0-10相似.

)

、00-2<00y)

(I)求4,y;

(n)求可逆矩阵尸,使得P-%P=B.

4

2018年全国硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)若lim(e”+ax2+入尸=1,则()

xK)

(A)a=；,b=-1.(B)Q=-；,b=-1.

"=1-

(C)a=(D)a一9力=上

(2)下列函数中，在“二0处不可导的是()

(A)/(«)=|x|sin|%|.(B)/(%)=|%|sin。|%|.

(C)/(%)=cos\x\.(D)/(%)=cosy|X|.

g(x)=卜ax,欠W-1,

⑶设函数/：：o：-1<x<0,若/(%)+g(%)在R上连续,

'久-%N0.

则()

(A)a=3,fe=1.(B)a=3,6=2.

(C)a=-3,b=1.(D)a=—3,b=2.

(4)设函数/(%)在［0,1］上二阶可导，且=0J|J()

(A)当(⑴<0时，呜)<0.(B)当尸⑴<0时,/(同<0.

(C)当(⑴>0时，/田<0.(D)当/"(%)>0时<0.

4

4户d孙N二R中心，K二

⑸设M="(1+)cos式)d%,则()

1+%J-qe-T

(A)M>N>K.(B)Af>K>N.

(C)K>M>N.(D)K>N>M.

2T2p,2T2

((1-xy)dy+J。dxj(1-xy)dy=()

、7

(A)(C)y.(D)春・

To

10、

(7)下列矩阵中，与矩阵011相似的为()

<001;

H1-1ri0-n

(A)011(B)011

5

(00lo

101)

qo-1、

(C)o10(D)01o

1001)[00i)

(8)设4,6为几阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩,(X,y)表示分块矩阵，则()

(A)r(A,AB)=r(A).(B)r(A,fiA)=r(A).

(C)r(A,B)=max{r(A),r(B)|.(D)r(A,B)=r(AT,5T).

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上.)

(9)limx2[arclan(%+1)-arctanx]=.

(10)曲线y=y+2]nx在其拐点处的切线方程是.

3

(12)曲线卜=在，二个对应点处的曲率为_____.

(y=sint4

(13)设函数z=z(%,y)由方程Inz+e，"二％y确定，则察=.

dx(2.1)

(14)设4为3阶矩阵，%,%,%为线性无关的向量组.若4%=2%+a2+%,Aa2=%+

A%=-4+%,则A的实特征值为.

三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求不定积分parctanVex-Id%.

(16)(本题满分10分)

已知连续函数/(%)满足17(。出+[叭%-t)dl=ax2.

(1)求f⑷;

(口)若/(欠)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.

6

(17)(本题满分10分)

设平面区域D由曲线1—：一圳£，(0&/w2TT)与4轴围成，计算二重积分

=1-cosI

，(％+2y)d%dy.

(18)(本题满分10分)

已知常数.NIn2-1.证明In葭+2kln%-1)N0.

(19)(本题满分10分)

将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在

最小值?若存在，求出最小值.

(20)(本题满分11分)

已知曲线乙：y=*/(%NO),点。(0,0),点4(0,1).设尸是心上的动点,5是直线)与直

线4尸及曲线L所闹图形的面积.若产运动到点(3,4)时沿与轴正向的速度是4,求此时S关于

时间］的变化率.

(21)(本题满分11分)

设数列｛4」满足：%I>0,=e"-1(n=1,2,…).证明｛4｝收敛，并求1而％”.

n-*oo

(22)(本题满分11分)

设实二次型/(0卢2，与)=(町-42+%)2+(町+%3)2+(*1+其中«是参数.

(1)求f(3/2/3)=。的解；

(n)求A/，％2,%)的规范形.

(23)(本题满分11分)

42a](1a2)

已知。是常数,且矩阵4130可经初等列变换化为矩阵B=011

<27-aJV-1117

(I)求a；

(II)求满足4尸=B的可逆矩阵P.

8

2017年全国硕士研究生招生考试试题

一、选择题（本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1-COS

(1)若函数/(%)=一i一'”>n5在％=0处连续，则()

%,4wo

(A)a6=(B)(C)afe=0.(D)a6=2.

(2)设二阶可导函数/(%)满足/(I)=/(-1)=U/(0)=-1且/”(%)>0,则()

(A)「/(%)也>0.⑻二/⑴dx<0.

(C)^f(x)dx>[/(%)d欠.(D)j0^f(x)dx<

(3)设数列|练｝收敛，则()

(A)当limsinxn=0时，limxn=0.

JI_n->oe

(B)当lim(%+，||)二。时,lim%=0.

n—>B

(C)当+”：)=0时，limxn=0.

FB—>«n—

(D)当lim(町+sinx)=0时，limx=0.

/i181nn-*ocn

(4)微分方程yn-4yz+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y*=()

(A)Ae2*+e2<(/?cos2x+Csin2x).(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x).

(C)/le2jt+xe2x(Bcos2x+Csin2x).(T))Axe2x+xe2*(RCQS2X+Csin2x).

(5)设/(%y)具有一阶偏导数，且对任意的(%y),都有蛆件>0,理件<0,则()

dxdy

(A)/(0,0)>/(1,1).(B)/(0,0)

(C)/(0,l)>/(1,0).(D)/(0,l)</(1,0).

(6)甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处，图中，实线表示中的速度曲线

v=%«)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线q=v2(l),

三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3.计时开始后乙

追上甲的时刻记为％(单位:s),则()

(A”°=10.

(B)15<i0<20.

("o=25.

(D)/o>25.

’000、

(7)设4为3阶矩阵，尸=(%,%,%)为可逆矩阵,使得尸〜尸=010,则

V002)

A(%+%+%)=()

(A)%+%•(B)%+2%(C)%+%.(D)%+2a2.

<200、r210、<100、

(8)已知矩阵A=0216=020c=o20，则()

)

01J<001J<002

(A)4与。相似I与。相似.(B)4与。相似I与。不相似.

(C)4与C不相似,8与C相似.(1))4与C不相似I与C不相似.

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)

(9)曲线y=%(1+arcsin§)的斜渐近线方程为.

(10)设函数y=y(%)由参数方程/=1+1'确定，则垃

ly=sintd#t=o

(12)设函数/(%,y)具有一阶连续偏导数，且d/(%,y)=yerck+x(l+y)eydy,/(0,0)=0,则

/f(/，y)

tanx.

------(ix

x

(41-2)

(14)设矩阵A=12a的一个特征向量为1,则Q二_____

I31-u3

三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

Iy/x-Zefdf

求lim^———

(16)(本题满分10分)

设函数/(3)具有2阶连续偏导数,y=/3心力)，求豹，.舟

10

(17)(本题满分10分)

求lim2与n(1+—).

a=1n、ni

(18)(本题满分10分)

已知函数y(x)由方程x+y3-3x+3y-2=0确定，求y(%)的极值.

(19)(本题满分10分)

设函数/(%)在区间［0,1］上具有2阶导数，且{1)>0,lim^-<0.证明：

x-O*X

(I)方程/(“)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

(II)方程/(%)/〃(%)+［/'(欠)『二0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.

(20)(本题满分11分)

已知平面区域O={(孙y)I?+/W2y},计算二重积分/(%+l)2<kdy.

(21)(本题满分11分)

设,(化)是区间(03)内的可导函数，且y⑴=0.点。是曲线/：y=y(x)上的任意一点,

/在点P处的切线与y轴相交于点(0,%),法线与，轴相交于点若=匕＞,求/上点

的坐标(%》)满足的方程.

(22)(本题满分11分)

设3阶矩阵A=(%，&2,%)有3个不同的特征值，且%=%+2%.

(I)证明r(A)=2；

(II)若0=%+%+%，求方程组4工=B的通解.

(23)(本题满分11分)

=

设二次型/(%］产2，%3)2%：-Xj+ax1+2XJ«2-8xjX3+2”3在正交变换x=2y下的标准

形为入京+%£，求。的值及一个正交矩阵0

2016年全国硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设％=%(cos-I),a2=痴ln(1+汇)，%=%+1-1.当先一►0.时，以上3个无穷小

量按照从低阶到高阶的排序是()

(A)%,a2,a3.(B)%,%,%•(C)%,a,,a3.(D)%,%，%•

(2)已知函数/(%)=『(％-1),”<1，则/(%)的一个原函数是()

Inx,XN1,

(%-1)2,%<I,(%-I)2,x<1,

(A)F(x)(B)F(x)

x(Inx—1),%21.%(lnx+1)-1,x1.

(%-I)?,x<1,(%-1尸，x<1,

(C)F(x)(D)F(x)

%(In%4-1)+1,常Nl.欠(Inx-1)+1,%NL

(3)反常积分①「*d%,②/的敛散性为()

(A)①收敛，②收敛.(B)①收敛，②发散

(C)①发散，②收敛.(D)①发散，②发散.

(4)设函数人儿)在(-00,+00)内连续，其导函数的图形如图所示,

贝式)

(A)函数/(%)有2个极值点，曲线y=/(%)有2个拐点.

(B)函数人欠)有2个极值点，曲线y=/(%)有3个拐点.

(C)函数/(%)有3个极值点，曲线y=/(欠)有1个拐点.

(D)函数/(%)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点.

(5)设函数，(%)(，=1,2)具有二阶连续导数，且/(%。)<0(i=1,2).若两条曲线y二工(4)

(1=1,2)在点(3,兀)处具有公切线y=g(%)，且在该点处曲线y=，(％)的曲率大于曲线

y=f2(x)的曲率，则在与的某个邻域内，有()

(A)/,(x)WR(%)这g⑷.(B虎(常)这工(”)—

(C)fi(x)这g(%)W.(D历⑺Wg(欠)W£⑷.

(6)已知函数/(%,y)=三,则()

(7)设41是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是()

(A)AT与所相似.(B)4-i与夕1相似.

(C)A+4,与6+ST相似.(D)A+A-1与B+B｛相似.

(8)设二次型/(%],%2，X3)=+X2+%；)+2%产2+2%2%3+2%1%3的正、负惯性指数分别为1,2,

则()13

(A)a>1.(B)a<-2.(C)-2<a<1.(D)Q=1或a=—2.

二、填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上.)

(9)曲线y二+arctan(1+?)的斜渐近线方程为_____.

1+X

(10)极限lim±(sin—+2sin—

+…+痴

l8n\nnn/

(11)以y二/一e"和y=f为特解的一阶非齐次线性微分方程为.

(12)已知函数/(%)在(-8,+8)上连续，且/(%)二(％+1)2+2。(。也,则当几N2时,/⑴(0)

(13)已知动点。在曲线y二小上运动，记坐标原点与点P间的距离为L若点P的横坐标对时间的

变化率为常数%,则当点尸运动到点(1,1)时,/对时间的变化率是.

-1-1(\10、

(14)设矩阵-1-1与矩阵0-11等价，则。=

1-1a/01J

三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限lim(cos2%+2%sin%)7.

1-0

(16)(本题满分10分)

设函数/(%)=Jf1-%2|dt(x>0),求/(%),并求/(式)的最小值.

(17)(本题满分10分)

已知函数z=z(x,y)由方程+/)z+lnz+2(%+y+l)=0确定，求z-z(%,y)的极

值.

14

(18)(本题满分10分)

设D是由直线y=1,y=x.,y=-x

(19)(本题满分10分)

x

已知%(%)=,y2()=是二阶微分方程(2%-1)y"-(2%+1)/+2y=0的两个

解.若〃(-1)=e,u(0)=-1,求〃(%),并写出该微分方程的通解.

(20)(本题满分11分)

设O是由曲线1二3(0W+Wl)与『［c°s,，(o一w外围成的平面区域求。绕

%轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

15

(21)(本题满分11分)

已知函数/(%)在［0,竽］上连续，在(0,竽)内是函数第^的一个原函数，且/(0)=0.

(I)求/(%)在区间［。，苧］上的平均值；

(n)证明/(%)在区间(o,竽)内存在唯一零点.

(22)(本题满分11分)

(11

设矩阵A=10=P无解.

<a+

<I)求。的值；

(U)求方程组Ar4x=AT/3的通解.

(23)(本题满分11分)

‘0-11、

已知矩阵4=2-30.

(0007

(1)求川；

(n)设3阶矩阵3=(%,%,%)满足*=BA.记B100=3,鱼，鱼)，将华.鱼鱼分别

表示为％,的线性组合.

2015年全硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)下列反常积分中收敛的是()

(2)函数/(%)=limfl+期_?丫在(一8,+8)内()

(A)连续.(B)有可去间断点.(C)有跳跃间断点.(D)有无穷间断点.

(3)设函数f(%)=/co、3'”>()，(a>0,0>0).若/(%)在欠=0处连续，则()

*0,%W0

(A)a-p>1.(B)0<a—QWL(C)a-/3>2.(D)0<a—QW2.

(4)设函数在(-8,+oc)内连续，其2阶导函数f〃(％)的图形如右图所

示,则曲线y=/(x)的拐点个数为()\//

(A)0.(B)l.(

(C)2.(D)3.—[(>

(5)设函数函*v)满足/(%+九?)=f贝啜J,部…依次是()

(A)20.(B)0,4-.(C)-0.(D)0,-y.

(6)设。是第一象限中由曲线2町=1,4xy=1与直线y=…&围成的平面区域，函数

/(X,7)在0上连续，则『*y)ckd=(

r)

D

[；d“：20f(rcos0

(A),rsin0)rdr.(B)(*/(rcos8,rsin0)rdr.

」2城n2一26

c

()f^£7(rcos8,rsin6)dr.(D)/djJ0'(rcos9,rsin6)dr.

42Min204Vlsin20

p11、11

(7)设矩阵A=I2ad.若集合〃=11,2},则线性方程组Ar二方有无穷多解的

1142

充分必要条件为()

(A)a隼牢C.(B)a12,defl.

(C)awC,d年Q.(D)ae0,deC.

(8)设二次型/(阳，42,叼)在正交变换》二今下的标准形为24+y；-幺，其中P=但，"，％).若

Q二"1,-03,出)，则/(町，町，”3)在正交变换X=如下的标准形为()

（A）2y；-4+yt（B）2y；+y；-匕（C）2y；-4一4（D）2＞；+y?+广

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上.)

(9)设广二arctan，,则重二______.

(y=3z+/，Ax＜=1

(10)函数/(%)二％在“二0处的"阶导数/⑺(0)二.

(11)设函数/(%)连续“(%)=J次£)也.若卬(1)=1,＜^'(1)=5,则/(1)=.

(12)设函数y=/(%)是微分方程yn+-2y=0的解，且在x=0处y(%)取得极值3,贝！］y(x)

(13)若函数z=z(*y)由方程/%+力+町z=1确定，则心=.

(0.0)

(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,3=1一4+邑其中E为3阶单位矩阵，则行列式|8|=

三、解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

设函数/(冤)=x+aln(1+x)+bxsinx9g(x)=kx.若/(化)与g(%)在欠一＞0时是等价无穷

小，求a9b,k的值.

(16)(本题满分10分)

设力＞0,。是由曲线段y=Asin%(0W%W弓)及直线y=0,x=所用成的平面区域,

匕，匕分别表示。绕％轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积.若匕二匕，求4的值.

(17)(本题满分11分)

已知函数八%了)满足二(孙y)=2(r+l)e\//(x,0)=(x+l)e\/(0,y)二/十2九求

/(x,y)的极值.

13

(18)(本题满分10分)

计算二重积分+y)ckdy,其中D=j(x,y)|x2+y22,yx2].

D

(19)(本题满分11分)

已知函数/(%)=f/TKk+/不7出,求/(%)零点的个数

(20)(本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质

的温差成正比.现将一初始温度为120工的物体在20七的恒温介质中冷却,30min后该物体

温度降至30t,若要将该物体的温度继续降至21工，还需冷却多长时间？

19

(21)(本题满分10分)

已知函数/(%)在区间［%+8)上具有2阶导数,/(a)=0,/(欠)>0,r(x)>0.设6>明

曲线y=/(x)在点(仇/(/)))处的切线与％轴的交点是(“。，0),证明。<x.<b.

(22)(本题满分11分)

G10、

设矩阵A=1Q-1，且=0.

<01a/

(I)求a的值；

(H)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵，求X

(23)(本题满分11分)

’02-3、-20、

设矩阵4二-13-3相似于矩阵B=0b0

I1-2103\)

(I)求Q,6的值；

(H)求可逆矩阵p,使尸-%p为对角矩阵

20

2014年全国硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当％->0+时，若1r(1+2欠)，(1-cos%)!均是比％高阶的无穷小量，则a的取值范围是()

(A)(2,+8).(B)(l,2).(C)(±,1).(D)(0,1).

(2)下列曲线中有渐近线的是()

(A)y=x+sinx.(B)y=x2+sinx.(C)y=x+sin——.(D)y-x2+sin—.

xx

(3)设函数/(%)具有2阶导数,g(x)=/(0)(1-x)+/(1)%则在区间［0,1］上，()

(A)当/'(%)20时，/(%)(B)当/(常)20时，/(%)Wg(%).

(C)当/”(4)N0时，/(%),g(%).(D)当/”(4)三0时，/(,)Wg(x).

(4)曲线1二十7,上对应于x=1的点处的曲率半径是()

ly=『++1

(A)第⑻法(C)10/T0.(0)5710.

DUiUu

(5)设函数/(%)=arctan%.若f(%)二％/(f),则lim4=()

fx

(A)l.(B)条(C)；.(D):.

J/，

(6)设函数〃(%y)在有界闭区域D上连续，在O的内部具有2阶连续偏导数，且满足鲁X0及

dxay

富+粤=0,则()

axdy

(A)u(x,y)的最大值和最小值都在。的边界上取得.

(B)u(x,y)的最大值和最小值都在。的内部取得.

(C)u(x,y)的最大值在。的内部取得，最小值在。的边界上取得.

(D)u(x,y)的最小值在。的内部取得，最大值在。的边界上取得.

0ab0

00b_

(7)行列式“)

0cd0

0。d

(A)(ad-6c)2.(B)-(ad-be)2.(C)a2</2-b2c2.(D)/J-a2d2

(8)设%,%,%均为3维向量，则对任意常数忙Z,向量组%+4%,%+，出线性无关是向量组.，

%,出线性无关的()

(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件.21

(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件."

二、填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上.)

(9)[-...-----dx=_____.

J-8%+2%+5

(10)设八%)是周期为4的可导奇函数，且.(％)=2(%-1)/£[0,2],则/(7)=.

(11)设z=z(%,y)是由方程e?"+4+y2+z=，确定的函数，贝IJ心I]=______.

4(f»T)

(12)曲线£的极坐标方程是r=。，则L在点(r,。)=(上,手)处的切线的直角坐标方程是.

L乙

(13)一根长度为1的细棒位于欠轴的区间[0,1]上，若其线密度p(x)=-x2+2x+1,则该细棒

的质心坐标%=.

(14)设二次型人孙，巧，叼)=4-4+2g/3+4%2%的负惯性指数为1,则。的取值范围

是.

三、解答题(本题共9小题，共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

/_1)—门出

求极限lim------“一-—

(16)(本题满分10分)

已知函数y=武化)满足微分方程/+//=1且武2)=0,求y(第)的极大值与极小

值.

(17)(本题满分10分)

设平面区域O=|(xy)|101.计算/

x+y

D

(18)(本题满分10分)

设函数犬“)具有2阶连续导数/=/(e^cosy)满足

卷+&=(4z+/cosy)

吩dy1J

若/(0)=0,/70)=0,求/(〃)的表达式.

(19)(本题满分10分)

设函数/(%),g(%)在区间[Q,6]上连续，且/(%)单调增加,0Wg(%)WL证明:

(I)0这fx-atxw[a,fe];

(a)J/(%)ckW

(20)(本题满分11分)

设函数f(欠)=7匚,％£[0,1].定义函数列：

fl⑺=/(常)，人(*)=/(/1(«)),…，＜(％)=/(/,-!(^))，'•••

记S.是由曲线y=，(欠)，直线欠=1及％轴所围平面图形的面积.求极限limnS.

fl.8n

23

(21)(本题满分11分)

2

已知函数/(欠，y)满足孚=2(夕+1),且/(y,y)=(y+l)-(2-r)ln>,求曲线

Sf

f(x,y)=0所用图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积.

(22)(本题满分11分)

‘1-23-4、

设矩阵4二01-11，石为3阶单位矩阵.

1120-3)

(I)求方程组Ar=0的一个基础解系；

(H)求满足AB=E的所有矩阵B.

(23)(本题满分11分)

ro01)

002

证明n阶矩阵相似.

24

2013年全硕士研究生招生考试试题

一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设cos%-1=%sina(x)，其中|a(x)|<则当％—>0时,a(%)是()

(A)比常高阶的无穷小量.(B)比比低阶的无穷小量.

(C)与“同阶但不等价的无穷小量.(D)与％等价的无穷小量.

(2)设函数y-/(x)由方程cos(xy)+Iny-x=1确定盘啊〃『㈢-()

(A)2.(B)l.(C)-1.(D)-2.

(3)设函数人无)=0忘“<%尸(])=[7(z)d/JlJ()

(A)x=F是函数尸(“)的跳跃间断点.(B)x="是函数尸(欠)的可去间断点.

(C)F(x)在#=7T处连续但不可导.(D)/(%)在％=仃处可导.

]

1<%<e,「♦8

(4)设函数八%)=<(%■

若反常积分]I八%)也收敛，则()

%Ne.

-%lna+1%，

(A)a<-2.(B)a>2.(C)-2<a<0.(D)0<a<2.

(5)设z=4(9),其中函数/可微,则土号+称=()

xyoxdy

?2

(A)2y/'3).(B)-2/(。).(C)-V(xy).6)-勺(町).

XX

(6)设Dk是圆域D={(%,y)|/+步忘1}在第k象限的部分.记。=J(y-%)d%dy(A：=1,2,

3,4),则()

(A)/.>0.(B)/2>0.(C)Z3>0.(D)/4>0.

(7)设AI,C均为九阶矩阵.若Ab=C,且5可逆，则()