动点的轨迹问题

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动点的迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹程的的基本骤：建设现代化（检验）建坐标系）设动点坐标现（限制条件，动点、已知点满足的条件代动点、已知点坐标代入）化化简整理）检验（注意定义域“挖”与“补”）求轨迹程的的基本法：1直接法：果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2定义法：用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.入法：点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.数法：轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5.交法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6.转法：如果动点随着另一动点的运动而运动，且点在某一已知曲线上运动，那么只需将点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。7.几法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。2

22228.待系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为(y),Bx,y)代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。122此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“”对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“归定义”一种重要的解题策略。二、注事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例选讲】一、直法题型：例已知直角坐标系中，点Q，），圆方程为y动点M圆C切线长与的比等于常数

，求动点M的轨迹。解：设圆，则MOON。

N

y

M3

Qx

2222设Mx)，则x

y

(x

y

化简得

2

y

2

x

（1当

，方程为x

54

，表示一条直线。（2当

21，方程化为x)y表示一个圆。(2说明：轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式-如图，O与O的半径都是，过动点别作圆12、O的切线PMPN、N分别为切点），使得PM2试建立12适当的坐标系，并求动点P的迹方程．解：O的中点原点O所在的12M

P直线为轴，建立平面直角坐标系，

NO

OO

(2,0)由已知PM2可得：PM

因为两圆的半径均为1所以2

设(y)则2)

2

2

2

，即(

2

2

所以所求轨迹方程为：(x

（或20）评析：1用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖与“补。2求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。二、定法题型：4

2222运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2已知A、B、C是直线l的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′直线l于点A，又过B、C作⊙O′于l的两切线，设这两切线交于点，求点的轨迹方程.【解析】设过、C异于的两切线分别切⊙O′D、E两点，两切线交于点由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE||CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

E=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点的轨迹是以、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以的中点为原点，建立坐标系，

OA

PDBCl可求得动点P的轨迹方程为：

8172

练习：已知圆的方程为x

2

+y

2

=100,点的坐标为（-6，0），M为圆O上一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点的方程。解：由中垂线知，故PMOM10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为(x222516评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。三、代法题型：例3

如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线的垂线，垂足为。求线段的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（）,点的坐标为5

2222（x,y）11则N（2x-x,2y-y代入得+2y-y=2①1111又垂直于直线故

11

，-x=0②11由①②解方程组得x

311yxy22

,代入双曲线方程即可得点的轨迹方程是-2y-2x+2y-1=0练习：知曲线方程分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于轴，关于直线，关于直线，关于直线对称的曲线方程。y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0f(x,6-y)=0)四、参法与点差法型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4经过抛物线y

2

=2p(x+2p)(p>0)的顶点作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段的中点轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线的方程为y=k(x+2p)(k与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为(

2p)，于ACAB垂直，则AC的方程为1(x)与抛物线方程联立方程组可解得C的坐标为(2k2,kp，又M为BC中点，设M（）,2=px,即点的轨迹是抛物线。去k得y

则

xppk2

，消6

11xkx2111xkx2121211巩固与高：1〉平面直角坐标系x中抛物线y=x

2

上异于坐标原点的两不同动点A、B满足AO⊥BO如图4所示）求△AOB重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以A斜率k为数由

ykxyx

解得Ak，k2∵OA，∴OByk解得B,k2

设△AOB重心（x），则

11x3k1kk

消去参数k得重心G轨迹方程为yx

23解法二：设△AOB的重为G(x,y),A(x),则

xx13yyy1

（1∵OAOB∴k

OA

k

OB

即xy…122又点AB抛物线上，有x1

,x2

22

，代入（2化简得x1∴

yy1221()[(xx)2x]x)2x233所以重心为G的轨迹方程为

2。32如图，设抛物C:yx的焦点为，动点在l:xy上运动，过P作抛物线两条切线PAPB且与抛物线C分别相切于AB两点.△APB重心的轨迹方程.【解析】设切点AB坐标别为(x)x)((x)，17

∴切线AP的方程为：2y

切线的方程为：y21

解得P点的坐标为：

x2

yx所以△的重心的坐标为xG

x1P3

x

，所以yp程为：评析：

2G

，由点P在直线l上动，从而得到重心G的轨迹方1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。五、交法与几何法型求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5抛物线

y240)

的顶点作互相垂直的两弦OA、OB求抛物线的顶点直线AB上的射影M的轨迹。（考例）8

yOB22ABAyOB22ABA解（交轨法）：AB在抛物线y

2

p0)

上，设AAp

y

，B

y

4)所以=k=,由OA直OB得kk=-1得yAy=

2

,yy2又AB方程可求得AB(xA)yy2B4p即（y+yy--4px--yAyB=0,yAB=-16p

，代入得

AB方（+y）y--4px+16p

=0①

又的方程为

yyP

x②由①②消去得y+y即得22px即得

(x)

2

。所以点M的轨迹方程为(x

2

2

p

2

，其轨迹是以圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。说明：交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2几何法：由解1AB方程（yA+yy--4px+16p=0可得AB定点（）而直AB所以由圆的几法性质可知：M的轨迹是以,0)为圆心，半径为的圆。所以方程为x

2

2

p

2

，除去点（0，0）。六、点法：例（2004年福，）如图，P是抛物线Cy

12

上一点，直l点且与抛物线C于另一点。若直l过点P切线垂直，求线段点M的轨迹方程。（图见教材页）。9

111x2122222l12111x2122222l12解：设P(x1

,1

),

2

,

2

),M(

0

,

0

),

依题知x12由

12

（1）得y/x点的切线的斜率k＝x切1

，l斜率l

111直l方程为x(x)x211（2）方法一（利用韦达理、中坐标公式）立（1）（2）消去y得，22x21M的中点，

xx2xy()101消去,得y100

12x

20

0PQ点为的轨迹方程为

12x

x方法二点差法）1

11x2,y22

2

得

111x(x)(x)(x1

)则x0

121

1k,x。1将上式代入（2）并整理，得yx00

12x

20

0).0

PQ中点为的轨迹方程为yx2

12x

x说明：题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。10

七、向法：例7、（1995国理）已知椭圆如图，

x22

y＝1直线L：128

＝1P是L一点，射线椭圆于点，又点Q上且满足|OQ·OP＝|2.点上移时，求点轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线本题解法较