2021北京通州高三（上）期末数学（教师版）

15/152021北京通州高三（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（4分）已知集合，2，3，4，，，3，，则A．， B．， C．， D．，2，3，4，2．（4分）抛物线的准线方程是A． B． C． D．3．（4分）已知命题，，则是A．， B．， C．， D．，4．（4分）已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是A．15 B．20 C．25 D．355．（4分）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A．20 B．25 C．30 D．556．（4分）已知，且，则下列不等式中一定成立的是A． B． C． D．7．（4分）已知角的终边与单位圆交于点，则A． B． C． D．8．（4分）在中，，，且，则的最小值是A． B． C． D．9．（4分）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽．若水面下降，则水面宽是（结果精确到（参考数值：，，A． B． C． D．10．（4分）如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论：①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面平面；③设的面积为，则的取值范围是，；④设二面角的大小为，则的取值范围是．其中正确结论是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）复数是虚数单位）的虚部是．12．（5分）在的展开式中，的系数是．13．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是．14．（5分）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，，例如表示1月份，和是正整数，，．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．根据已知信息，得到的表达式是．15．（5分）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（13分）如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，，分别是，的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．17．（13分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值．条件①：；条件②：；条件③：．18．（14分）某企业为了解职工款和款的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表：男职工女职工使用不使用使用不使用款72人48人40人80人款60人60人84人36人假设所有职工对两款是否使用相互独立．（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用款的概率、该企业女职工使用款的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款的人数为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，款的用户中男性占、女性占；款的用户中男性占、女性占．试分析该企业职工使用款的男、女用户占比情况和使用款的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．19．（15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）设函数，当时，求零点的个数．20．（15分）已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．21．（15分）已知数列，，，满足：①；②，2，，．记．（Ⅰ）直接写出的所有可能值；（Ⅱ）证明：的充要条件是；（Ⅲ）若，求的所有可能值的和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．【分析】进行补集的运算即可．【解答】解：，2，3，4，，，3，，，．故选：．【点评】本题考查了列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．【解答】解：抛物线的准线方程是，故选：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．3．【分析】直接写出特称命题的否定得答案．【解答】解：命题：，的否定是：，．故选：．【点评】本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题．4．【分析】利用等差数列前项和公式直接求解．【解答】解：数列为等差数列，且，，数列的前5项和是：．故选：．【点评】本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，则有种不同的选取方案，故选：．【点评】本题考查排列组合的应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．6．【分析】选项，利用特殊值法即可判断，选项，利用指数函数的单调性判断，选项，利用幂函数的单调性即可判断．【解答】解：选项：如，，则，故错误，选项：因为函数是单调递减函数，，则，错误，选项：因为函数在上单调递增，，则，故正确，选项：如，，则，故错误，故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，涉及到指数函数和幂函数的单调性以及特殊值法比较大小，属于基础题．7．【分析】根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值，利用二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：角的终边与单位圆交于点，，，，，．故选：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识，属于基础题．8．【分析】先将平方后，再利用二次函数的性质求解最值即可．【解答】解：因为，，且，所以，当时，取得最小值为，则的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量模的最值的求解，涉及了模的求解方法的应用、二次函数性质的应用、平面向量数量积定义的运用，属于中档题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为，写出点的坐标，并将其代入方程，求得的值，再令，解出的值即可．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为，拱顶离水面，水面宽，点为，将其代入得，，解得，，设水面下降后，水面宽为，此时点和的纵坐标均为，把代入，有，解得．故选：．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】①根据面面垂直的判定定理进行判断，②根据面面垂直的判定定理进行判断，③根据三角形的面积公式进行判断，④根据二面角的定义进行求解即可．【解答】解：①当时，又，，所以平面，所以，又，，所平面，又平面，所以平面平面，故①正确；②取的中点，连接，，因为，所以，假设平面平面，则平面，则，而，，不成立，故②错误；③因为，，所以，当点在平面上，且，在，的异侧，，当，在，的同侧时，，，共线，，因为点为平面外，则的取值范围是，故③错误；④因为，当点在平面内时，，当点运动时，设点到平面的距离为，因为，则，则的取值范围是，，故④正确，故正确的是①④，故选：．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间面面垂直的判断，二面角的求解，利用相应的判定定理以及公式是解决本题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【分析】复数的分子与分母同乘分母的复数，化简复数为的形式，即可求出复数的虚部．【解答】解：因为复数．所以复数的虚部为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．12．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中，的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数是，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13．【分析】求出的中点即为圆心，求出即为圆的半径，得到圆的方程与直线联立，求出点的坐标，即可得到直线的方程．【解答】解：因为为坐标原点，点的坐标为，所以的中点坐标为，且，所以以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以圆的方程为，联立方程，解得或，因为点在第一象限，所以，又，所以直线的方程为，即．故答案为：．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题．14．【分析】由题意求出、和、、的值，即可写出函数的解析式．【解答】解：由题意知，函数中，由，解得，；由，解得，所以；由（7），，解得，；又，所以．所以，是正整数，且，．故答案为：，是正整数，且，．【点评】本题考查了余弦函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可．【解答】解：因为，所以，所以，因为，，当时，，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以，所以，令，则，所以，故当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查了分段函数的应用，涉及了函数最值的求解、函数单调性的判断，对于分段函数问题，一般会选用数形结合法或分类讨论法进行研究，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，可得四边形是平行四边形．．即可证明结论．（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．求得平面的法向量，利用向量夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为是的中点，所以，．因为是的中点，所以，．所以，．所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为底面为矩形，平面，所以，，，以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．因为，，所以，0，，，0，，，2，，，2，．所以，0，，，2，，，2，．设平面的法向量为，，，所以即令，则．所以，1，．所以，，所以直线与平面所成角的正弦值．【点评】本题考查了空间线面平行的判定、线面角的求解，考查了计算能力，属于中档题．17．【分析】分别选①②，①③，②③用面积公式即正余弦定理可得，的值．【解答】解：若①②时，由，，，所以可得，因为是锐角中，所以，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，所以，所以可得，；若①③时，，所以在三角形中，，由正弦定理可得，，，所以，由余弦定理可得，即，所以可得：，解得，所以，；若②③时，条件③：．则可得，，，所以可得，由余弦定理可得，由正弦定理可得：，所以，综上所述：，．【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题．18．【分析】（Ⅰ）根据已知数据用频率估计概率即可求解；（Ⅱ）求出的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅲ）根据样本中的数据，估计，款男女用户占的比例比较即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用款的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东的概率约为，同理，女职工使用款的概率约为；（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，所以，，，所以的分布列为012的数学期望；（Ⅲ）样本中，款的男、女用户为（人，其中男用户占；女用户占，样本中，款的男、女用户为（人，其中男用户占；女用户占，所以该企业职工使用款的情况与官方发布的男、女用户情况更相符．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算（1），（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出的零点个数即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，所以（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程是，即．（3分）（Ⅱ）因为，所以，所以；（4分）①当时，，所以在上单调递减，因为（1），所以有且仅有一个零点，（6分）②当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，（7分）因为（1），所以在上有且仅有一个零点，（8分）因为，，且，所以，使得，所以在上有且仅有一个零点，所以当时，有两个零点，（12分）③当时，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，且（1），所以有且仅有一个零点；（14分）综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查切线方程以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．20．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得，，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）分两种情况①若直线的斜率不存在时，②若直线的斜率存在时，直线，的交于点，是否早定直线上．【解答】解：（Ⅰ）因为，椭圆离心率为，所以解得，．所以椭圆的方程是．（Ⅱ）①