2021北京昌平高三（上）期末数学（教师版）

14/142021北京昌平高三（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合，2，3，，，，那么A．， B．， C．，2，3， D．2．（4分）复数A． B． C． D．23．（4分）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是A． B． C． D．4．（4分）的展开式中常数项是A．8 B．16 C．24 D．325．（4分）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是A．2 B．3 C．4 D．56．（4分）函数的一个零点所在的区间是A． B． C． D．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为A．4 B．5 C． D．8．（4分）已知，则“”是“函数的最小正周期为”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）已知直线与圆相交于，两点，且，那么实数的取值范围是A． B． C．或 D．10．（4分）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则A．1 B．2 C．3 D．5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知是等差数列，若，，则．12．（5分）已知向量，，且，则实数．13．（5分）已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为．14．（5分）已知函数，那么函数的最小正周期是：若函数在上具有单调性，且，则．15．（5分）高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考．已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如表：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数24281415下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若，则；②选考科目组合为“历史地理政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物历史地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．17．（13分）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积．条件①：；条件②：．18．（14分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表：序号智能体温计测温水银体温计测温序号智能体温计测温水银体银计测温0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于且不高于时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．19．（15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．20．（15分）已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．21．（15分）已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列9，2，6，7，3，5，8的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）设数列，，．若数列的长度为的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求的最大值；（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为，项数为．判定数列是否存在长度为3的递增子列：1，16，81？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：集合，2，3，，，，，2，3，．故选：．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：复数．故选：．【点评】本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3．【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】解：对于，是奇函数，但在区间上不单调，不符合题意；对于，是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为偶函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4．【分析】由二项展开式的通项公式即可求解．【解答】解：的展开式的通项公式为，当时，可得展开式中的常数项为．故选：．【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式中特定项的求法，属于基础题．5．【分析】由抛物线的方程即可求出的值，再由抛物线的定义即可求解．【解答】解：由抛物线的方程可得：，又由抛物线的定义可知点到的距离等于点到抛物线的准线的距离，则点到轴的距离为，故选：．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．6．【分析】由题意利用函数零点存在定理结合所给的选项即可确定函数零点所在的区间．【解答】解：题中所给的函数具有连续性，且：，由函数零点存在定理可得函数的一个零点所在的区间是．故选：．【点评】题主要考查函数零点存在定理及其应用，属于基础题．7．【分析】作出棱锥的直观图，根据勾股定理计算各棱长得出结论．【解答】解：作出三棱锥的直观图如图所示：三棱锥是长方体的一个角，且，，，，，．该三棱锥的最长棱的棱长为．故选：．【点评】本题考查了常见几何体的三视图，棱锥的结构特征，属于中档题．8．【分析】直接利用三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：当时，函数，所以函数的最小正周期为，当函数的最小正周期为时，则．则“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．【分析】当弦长时，利用弦长公式求得弦心距，故当，则，由此求得的范围．【解答】解：当弦长时，弦心距若，则，即圆心到直线的距离，求得，，故选：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．10．【分析】先由题设写出斐波那契数列的一些项，进而写出新数列的一些项，再由数列的项的规律求得结果即可．【解答】解：由题设可得数列，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，数列，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，，数列是周期为6的周期数列，，故选：．【点评】本题主要考查数列的周期性在求数列的项中的应用，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】利用等差数列通项公式列出方程，求出公差，由此能求出的值．【解答】解：是等差数列，，，，解得，．故答案为：7．【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．【解答】解：向量，，且，，实数，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．13．【分析】利用离心率求出，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线的离心率是，可得，解得，则，所以双曲线的右焦点坐标为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．14．【分析】利用三角函数的周期计算公式即可求出函数的最小正周期；先利用，得到的一个对称中心，从而求出符合条件的的值．【解答】解：因为函数，所以，故函数的最小正周期是；因为，则函数的一个对称中心为，即关于点对称，令，解得，又因为，故．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数的周期性、对称性、单调性，要掌握三角函数的周期计算公式．15．【分析】利用全班一共有37个人，结合每个学生可以任选3个科目对每个选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：因为全班有37个人，一共有种选法，若，则有，解得，故选项①正确；一共有37个人，其中有28个人选化学，则共有9人未选化学，所以选考科目组合为“历史地理政治”的学生一定不超过9人，故选项②正确；选考化学的所有学生中，还可以再选两科，即5科中选2科，一共有种选法，故选项③正确；因为在所给的已知条件中，和的值都是未知的，故选考科目组合为“生物历史地理”的学生人数和选考科目组合为“生物历史政”的学生人数不确定谁多谁少，故选项④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了命题真假的判断，涉及了排列组合的应用，主要考查的是学生的逻辑推理能力．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）证明，说明，．即可证明平面．（Ⅱ）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．（2分）因为，，所以．（4分）因为，（5分）所以平面．（6分）（Ⅱ）解：因为平面，，（7分）所以以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，（8分）所以．设平面的法向量为，，令，于是．（10分）因为平面，所以平面的法向量为，（11分）所以．（12分）由题知二面角为锐角，所以其余弦值是．（13分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．17．【分析】选择条件①：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式化简可得，由于，可求的值，进而可求的值；（Ⅱ）由余弦定理可得，解方程可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择条件②：（Ⅰ）利用二倍角公式可求，解方程可求，进而可求的值；（Ⅱ）由余弦定理可得，解方程可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：选择条件①：（Ⅰ）因为，所以，因为，所以，所以，所以．（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，解得或，所以，所以的面积．选择条件②：（Ⅰ）因为，所以，解得或，因为，所以，所以．（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，解得或（舍负），所以，所以的面积．【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）找出表中用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号，计算所求的概率值．（Ⅱ）写出随机变量的所有可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望值．（Ⅲ）找出低于正常体温的是4人，再计算“低热”状态的概率公式，从而得出合理性的结论．【解答】解：（Ⅰ）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12种情况；由此估计所求的概率为．（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为，1，2，3；由（Ⅰ）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为．所以；；；；所以的分布列为0123计算的数学期望为．（Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为．由此估计，这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为．结论1：因为，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态．结论2：因为，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了数据分析与运算能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）代入的值，求出函数的导数，计算（2），（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，确定的范围即可．【解答】解：当时，，（1分）所以，（3分）所以（2），（4分）因为．（5分）所以切线方程为．（6分）（Ⅱ）函数的定义域为．因为（7分）所以．（9分）令，即，解得或．（10分）（1）当时，当变化时，，的变化状态如下表：10极小值所以当时，取得极小值．所以成立．（11分）（2）当时，当变化时，，的变化状态如下表：100极大值极小值所以当时，取得极小值．所以成立．（12分）（3）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有极小值，不成立．（13分）（4）当时，当变化时，，的变化状态如下表：100极大值极小值所以当时，取得极大值．所以不成立．（14分）综上所述，．（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查切线方程以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．20．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为．求出，，然后求解，得到椭圆方程．直线，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，求出中点坐标，通过（1）当时，所以．（2）当时，线段的垂直平分线方程求出，得到，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意，，离心率为，，则，（4分）故椭圆的方程为．（5分）是定值．（6分）理由如下：由已知得直线，（7分）代入椭圆方程，消去得，（8分）所以△，（9分）设，，，则，，（10分）所以，所以．（11分）