2021北京朝阳高三（上）期中数学（教师版）

13/132021北京朝阳高三（上）期中数学一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）若集合，，或，则A． B．，或 C． D．，或2．（4分）下列各组向量中，可以作为基底的是A．， B．， C．， D．，3．（4分）设，则“”是“复数为纯虚数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（4分）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则A． B． C． D．5．（4分）若函数为奇函数，则实数A． B． C．0 D．16．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则A．16 B．15 C．12 D．97．（4分）已知函数若存在，使函数恰有三个零点，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．8．（4分）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为A． B．6 C． D．49．（4分）鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化，已知某鲜花店鲜花在第一天的进价为4元枝，售价为10元枝，并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的．注：当日进价的涨跌幅，当日售价的涨跌幅，每枝花的当日差价当日售价当日进价．鲜花进价与售价表第一天第二天第三天第四天第五天进价（元枝）489.64.86.72售价（元枝）101516.5以下结论正确的是A． B． C．这5天内鲜花第二天的当日差价最大 D．这5天内鲜花第一天的当日差价最小10．（4分）对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下；设，，，，，其，则的“绝对交错和”为；当时；的“绝对交错和”为，若数集，0，，，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为A． B． C． D．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上.11．（5分）函数的定义域为．12．（5分）设等比数列的前项和为，公比为，若，，，则；．13．（5分）能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组，的值是．14．（5分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕．某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示），要求上下各空，左右各空，相邻宣传栏之间也空．设三个宣传栏的面积之和为（单位：，则的最大值为．15．（5分）已知函数，给出下列四个结论：①的最小正周期为；②在区间，上单调递减；③的最大值为1；④当时，取得极值．以上正确结论的序号是．（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，，，，（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求边上的高．17．（13分）已知数列的前项和为，，．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若数列是等差数列，且，，求数的通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，求．18．（14分）已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）函数，，的单调递增区间，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．19．（15分）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点．20．（15分）已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）当，时，求证：；（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．21．（15分）对任意正整数，各项均不相同的数列，，，，满足下列性质：①（2），当时，，其中是小于且与的最大公约数是1的正整数的个数；②，，，，，；③对任意，2，，，，均为正整数且；④对任意，2，，，，，其中，表示不超过的最大整数，如．例如，，1．（Ⅰ）对任意，2，，，求证：；（Ⅱ）写出（3），（4）及数列，；（Ⅲ）求的值．

参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：集合，，或，．故选：．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】利用做基底的条件进行判断即可．【解答】解：对于，因为，与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故错误；对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误；对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误；故选：．【点评】本题考查了平面向量的基底，属于基础题．3．【分析】化简，求出的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：，若复数为纯虚数，则，故“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查纯虚数的定义，是基础题．4．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称，则，，则．故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．5．【分析】由奇函数在处有定义，则，解方程可得的值，检验可得结论．【解答】解：由函数为奇函数，可得，即，解得，则，即，，所以为奇函数，成立．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【分析】设，由勾股定理可求得，再根据，即可得解．【解答】解：因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以，，设，则，在中，，所以，解得或（舍负），所以，所以．故选：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．【分析】时，作出的图象，分析时，是单调递增函数，故与最多只有一个公共点，故要想满足题意，则必须与第一段函数有两个公共点，结合图象可得取值范围．【解答】解：若函数恰有三个零点，则与的图象有三个不同的交点，作出时，的图象，如图所示，因为时，，此时为单调递增函数，故与最多只有一个公共点，所以必须与第一段函数有两个公共点，当时，，结合图象若存在，使函数恰有三个零点，则，故选：．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合的方法，属于难题．8．【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设，，，结合平面向量的坐标运算推出，故当时，得解．【解答】解：以为原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，，所以，，所以，所以，当，即时，取得最小值，为6．故选：．【点评】本题考查平面向量的混合运算，遇到规则图形，建立坐标系将问题转化为平面向量的坐标运算可简化试题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．【分析】根据表中数据，结合鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的，分别求出，，即可依次求解．【解答】解：由表中数据可得，从第三天到第四天，进价涨跌幅为，其售价涨跌幅为，，解得，故错误，由表中数据可得，从第四天到第五天，进价涨跌幅为，其售价涨跌幅为，，解得，故错误，从第一天到第五天的当日差价为：第一天第二天第三天第四天第五天当日差价（元枝）676.97.5758.13故第五天差价最大，第一天差价最小，故错误，正确．故选：．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化思想，属于基础题．10．【分析】由题意集合的非空子集和交错和的定义分析即可．【解答】解：，0，，若中任意一个小于的元素出现在不含的子集中，则也一定出现在的子集或，反之，如果不出现，则都不出现，而在和，的交错和中一个为，一个为，所以总和为0，而含有的特殊个数为个，所以所有非空子集的交错和为，故选：．【点评】本题考查子集与真子集的概念，属于容易题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上.11．【分析】由函数的解析式可得，解得，从而得到函数的定义域．【解答】解：由函数可得，解得，故函数的定义域为，故答案为．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．12．【分析】由等比数列的通项公式及前项和公式可得关于的方程，即可求解，再由等比数列的通项公式可求得．【解答】解：因为等比数列中，，，所以，即，即，解得或，因为，所以，所以．故答案为：；．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．13．【分析】取，代入检验可得．【解答】解：当，时，，，此时，故答案为：，．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属基础题．14．【分析】设该展示区的长为，则宽为，再结合面积公式和基本不等式公式，即可求解．【解答】解：设该展示区的长为，则宽为，该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示），要求上下各空，左右各空，相邻宣传栏之间也空，，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．15．【分析】化简，利用余弦函数的性质对①②③④四个选项逐一分析即可．【解答】解：，，故①正确；，，，不单调，故②错误；，故③正确；令，，则，即时，取得极值，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查余弦函数的奇偶性、周期性与对称性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（Ⅰ）依题意，利用余弦定理得：，即，解之可得的值，继而可求得及；（Ⅱ）设边上的高为，利用三角形的面积公式计算可得边上的高．【解答】解：（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理得：，即，解得或（舍，所以，所以；（Ⅱ）设边上的高为，由得．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据，分别令和即可求解出与的值；（Ⅱ）由可得，两式相减并整理得，又，从而可得，故，，进一步可得等差数列的公差为，最后利用等差数列的通项公式即可得到；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，则，且，从而可得是以32为首项，8为公比的等比数列，进一步利用等比数列的前项和公式即可求出的值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当时，有，解得，当时，有，即，解得，所以，的值分别为4，8；（Ⅱ）由，得，两式相减得，即，又，所以是以4为首项，以2为公比的等比数列，所以，故，，设等差数列的公差为，则，所以；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，则，且，所以是以32为首项，8为公比的等比数列，所以．【点评】本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，等比数列的前项和公式，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．18．【分析】由三角函数的恒等变换，对解析式进行化简，再选则①③得函数解析式；由定义域的范围，求函数的增区间即可．【解答】解：（Ⅰ），当条件①③时，则，解得，，所以．选②时求不出，所以函数的解析式为；（Ⅱ）当，时，，，令，则在，递减，，递增，，递减，当，解得，令，解得，当时，单调增区间为．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及图象性质，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）求出导数，然后通过研究导数的符号研究函数的单调性；（Ⅱ）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处函数值的符号证明．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，①当时，，由得，得，故此时的单调递减区间为，单调递增区间为；②当时，令得，，或，由得，或，此时，由得，此时，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为，，综上可知：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知在上单调递增，则在，上单调递增，又，（1），（1），故在上存在唯一零点．【点评】本题考查导数在研究函数性质时的应用，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由题意首先求得导数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；（Ⅱ）首先求得导函数的解析式，然后讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可证得题中的不等式，（Ⅲ）由题意分类讨论即可求得实数的最大值．【解答】（Ⅰ）解：函数的定义域为，，所以，又，切点坐标为，所以曲线在点，处的切线方程为．（Ⅱ）证明：当时，，因为，所以，设，则当时，，所以在区间上单调递增，所以当时，，即得证，所以当时，，所以在区间上单调递增，又，所以当时，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，当时，对恒成立，当时，，设，则，由于，所以，，其中且，取．当时，，则在区间上单调递减，所以当时，即，由于当时，，所以当时，，所以在区间上单调递减，所以当时，，所以当时，并