课堂讲义人教B版数学必修一文档函数214

08/909/9/2.1.4函数的奇偶性[学习目标]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.[知识链接]1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝eq\f(1,x)的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案图象关于原点对称.[预习导引]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.解决学生疑难点要点一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.))解(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A.y＝|x| B.y＝3－xC.y＝eq\f(1,x3) D.y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.答案{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解.∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.要点三利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.解当x＜0，－x＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,0，x＝0，,2x＋1，x＜0.))规律方法1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.跟踪演练3(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是()A.f(x)＝－x(x－2)B.f(x)＝x(|x|－2)C.f(x)＝|x|(x－2)D.f(x)＝|x|(|x|－2)(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)等于()A.－2B.0C.1D.2答案(1)D(2)A解析(1)∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2).(2)当x＞0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，∴f(1)＝12＋eq\f(1,1)＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.1.函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案D解析∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A.y＝x＋1 B.y＝－x3C.y＝eq\f(1,x) D.y＝x|x|答案D解析由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为()A.f(x)＝－x＋1 B.f(x)＝－x－1C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝x－1答案B解析设x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数.∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x＜0).4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A.0B.1C.2D.4答案A解析由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.5.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.答案4解析由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝±1(f(x)≠0).3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.

一、基础达标1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数答案B解析F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数.2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3答案A解析∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.3.若函数f(x)＝eq\f(x,?2x＋1??x－a?)为奇函数，则a等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.1答案A解析函数f(x)的定义域为{x|x≠－eq\f(1,2)，且x≠a}.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq\f(1,2).4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)答案A解析∵f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π).5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)答案B解析∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).6.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.答案[－1,0]，[1，＋∞)解析偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞).7.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.解设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.∴f(－x)＝x2－x－1.∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x).∴f(x)＝x2－x－1.∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.二、能力提升8.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))答案A解析由题意得|2x－1|<eq\f(1,3)?－eq\f(1,3)<2x－1<eq\f(1,3)?eq\f(2,3)<2x<eq\f(4,3)?eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，故选A.9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A.4B.3C.2D.1答案B解析∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1).又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1).∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②由①②，得g(1)＝3.10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，eq\f(3,2))解析依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a－a2)，只需3－a2＞2a－a2.由此解得a＜eq\f(3,2)，即实数a的取值范围是(－∞，eq\f(3,2)).11.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围.解由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m).又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)，))解得－1≤m<eq\f(1,2).因此实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).三、探究与创新12.已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]