物理新设计人教版选修31讲义静电场第2节

14/1515/15/第2节库仑定律学习目标核心提炼1.了解点电荷、静电力的概念。1个方法——探究实验中的控制变量法1个定律——库仑定律1个模型——点电荷理想模型1个常量——静电力常量2.掌握库仑定律的内容和条件，并会简单计算。3.掌握库仑力叠加原理，会计算静电力作用下的平衡问题。一、探究影响电荷间相互作用力的因素实验现象(1)小球带电荷量不变时，距离带电物体越远，丝线偏离竖直方向的角度越小(2)小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度越大实验结论电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小二、库仑定律1.静电力：电荷间的相互作用力叫静电力，也叫库仑力。2.点电荷的特点(1)带电体间的距离比它们自身的大小大很多；(2)带电体的形状、大小及电荷分布状况对电荷之间的作用力的影响可以忽略。3.内容适用条件真空中两个静止的点电荷库仑力大小与它们的电荷量的乘积成正比与它们的距离的二次方成反比库仑力方向在它们的连线上，吸引或排斥4.表达式：F＝keq\f(q1q2,r2)，式中k叫做静电力常量，k＝9.9×109__N·m2/C2。5.静电力的叠加(1)两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而有所改变。(2)两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。思维拓展(1)只有体积很小或电荷量很小的带电体才可以看做点电荷吗？(2)点电荷就是元电荷吗？答案(1)不是。一个带电体能否看做点电荷，是相对于具体问题而言的，与体积大小和电荷量大小无关。(2)不是。点电荷是一种理想化的物理模型，元电荷是最小电荷量。对点电荷的理解[要点归纳]1.点电荷是理想化模型只有电荷量，没有大小、形状的理想化的模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。2.带电体看成点电荷的条件如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。3.元电荷与点电荷(1)元电荷是一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值，是电荷量的最小单位。(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是一个元电荷电荷量的整数倍。[精典示例][例1]下列关于点电荷的说法正确的是()A.任何带电球体，都可看成电荷全部集中于球心的点电荷B.体积很大的带电体一定不能看成是点电荷C.当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷D.一切带电体都可以看成是点电荷解析能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小和形状。能否把一个带电体看做点电荷，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定。若它的体积和形状可不予考虑时，就可以将其看成点电荷，带电体的电荷也不能看成全部集中于球心的点电荷，故选项C正确。答案C[针对训练1](多选)关于点电荷，下列说法中正确的是()A.点电荷是电荷量和体积都很小的带电体B.点电荷是一种理想模型C.点电荷的最小带电量等于元电荷D.球形带电体都可以看作点电荷解析点电荷是一种物理模型，实际中并不存在，B正确；一个带电体能否看成点电荷，不是看它的大小和形状，而是看它的大小和形状对所研究的问题的影响是否可以忽略不计，若可以忽略不计，则它就可以看作点电荷，否则就不能看作点电荷，A、D错误；所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，C正确。答案BC库仑定律的理解与应用[要点归纳]1.静电力的确定方法(1)大小计算：利用库仑定律计算静电力大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。(2)方向判断：利用同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断。2.库仑定律的两个应用(1)计算在真空中两个可视为点电荷的带电体间的库仑力。(2)分析两个带电球体间的库仑力。①两个规则的均匀带电球体，相距比较远时，可以看成点电荷，库仑定律也适用，二者间的距离就是球心间的距离。②两个规则的带电金属球体相距比较近时，不能被看成点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随电荷的分布发生改变。如图1甲，若带同种电荷，由于排斥作用距离变大，此时F<keq\f(q1q2,r2)；如图乙，若带异种电荷，由于吸引作用距离变小，此时F>keq\f(q1q2,r2)。图1[精典示例][例2]甲、乙两导体球，甲球带有4.8×10－16C的正电荷，乙球带有3.2×10－16C的负电荷，放在真空中相距为10cm的地方，甲、乙两球的半径远小于10cm。(结果保留三位有效数字)(1)试求两球之间的静电力，并说明是引力还是斥力？(2)将两个导体球相互接触一会儿，再放回原处，其作用力能求出吗？是斥力还是引力？(3)如果两个导体球完全相同，接触后放回原处，两球之间的作用力如何？解析(1)因为两球的半径都远小10cm，因此可以作为两个点电荷考虑。由库仑定律可求F＝keq\f(q1q2,r2)＝9.0×109×eq\f(4.8×10－16×3.2×10－16,0.12)N≈1.38×10－19N。两球带异种电荷，它们之间的作用力是引力。(2)将两个导体球相互接触，首先正、负电荷相互中和，还剩余(4.8－3.2)×10－16C的正电荷，这些正电荷将重新在两导体球间分配。由于题中并没有说明两个导体球是否完全一样，因此我们无法求出力的大小，但可以肯定两球放回原处后，它们之间的作用力变为斥力。(3)如果两个导体球完全相同，则电荷中和后平分，每个小球的带电荷量为0.8×10－16C，代入公式得F＝keq\f(q1q2,r2)＝9.0×109×eq\f(（0.8×10－16）2,0.12)N＝5.76×10－21N，即两个电荷之间的斥力为F＝5.76×10－21N。答案(1)1.38×10－19N引力(2)不能斥力(3)5.76×10－21N斥力(1)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，当r→0时，电荷不能再看成点电荷，库仑定律不再适用。(2)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律。不要认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。[针对训练2]A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，它所受到的电场力为F；移去A处电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，其所受电场力为()A.－eq\f(F,2)B.eqB.eq\f(F,2)C.－FD.F D.F解析在A处放电荷量为＋q的点电荷时，Q所受电场力大小为F＝eq\f(kQq,req\o\al(2,AB))；在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，Q所受电场力大小为F′＝eq\f(kQ·2q,req\o\al(2,BC))＝eq\f(2kQq,（2rAB）2)＝eq\f(kQq,2req\o\al(2,AB))＝eq\f(F,2)。且不管电荷Q是正还是负，两种情况下，Q受力方向相同，故选项B正确，A、C、D错误。答案B库仑力的叠加[要点归纳]当多个带电体同时存在时，每两个带电体间的库仑力都遵守库仑定律。某一带电体同时受到多个库仑力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力。这就是库仑力的叠加原理。[精典示例][例3]如图2所示，在A、B两点分别放置点电荷Q1＝＋2×10－14C和Q2＝－2×10－14C，在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m。如果有一个电子在C点，它所受到的库仑力的大小和方向如何？图2解析电子在C点同时受A、B点电荷对其的作用力FA、FB，如图所示，由库仑定律F＝keq\f(q1q2,r2)得FA＝FB＝keq\f(Q1e,r2)＝9.0×109×eq\f(2×10－14×1.6×10－19,（6×10－2）2)N＝8.0×10－21N。由平行四边形定则和几何知识得：静止在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21N，方向平行于AB向左。答案8.0×10－21N方向平行于AB向左[针对训练3]在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图3所示。现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态，则Q与q的比值为()图3A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.3 D.eq\r(3)解析设三角形边长为L，故AB、AC距离为L，AD距离为eq\f(\r(3),3)L。以小球A为研究对象，由库仑定律知，B、C对A球的库仑力大小均为F＝keq\f(Q2,L2)，两力的合力F合＝2Fcos30°＝eq\r(3)keq\f(Q2,L2)。球A、D间的库仑力F′＝keq\f(Qq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)L))\s\up12(2))＝3keq\f(Qq,L2)。根据平衡知识得：F合＝F′，即eq\r(3)keq\f(Q2,L2)＝3keq\f(Qq,L2)，所以Q＝eq\r(3)q，Q与q的比值为eq\r(3)，D正确。答案D静电力作用下的平衡问题[精典示例][例4]如图4所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为eq\r(3)l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则()图4A.A、B间库仑力大小F＝eq\f(kq2,2l2)B.A、B间库仑力大小F＝eq\f(\r(3)mg,3)C.细线拉力大小FT＝eq\f(kq2,3l2)D.细线拉力大小FT＝eq\r(3)mg解析带电小球A受力如图所示，OC＝eq\f(\r(3),2)l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l。由库仑定律知A、B间库仑力大小F＝eq\f(kq2,l2)，细线拉力FT＝F＝eq\f(kq2,l2)，选项A、C错误；根据平衡条件得Fcos30°＝eq\f(1,2)mg，得F＝eq\f(\r(3)mg,3)，绳子拉力FT＝eq\f(\r(3)mg,3)，选项B正确，D错误。答案B处理点电荷的平衡问题及动力学问题的方法(1)确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。(2)对研究对象进行受力分析，多了库仑力(F＝eq\f(kq1q2,r2))。(3)列平衡方程(F合＝0或Fx＝0，Fy＝0)。[例5]如图5所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是()图5A.－Q在A左侧距A为L处B.－2Q在A左侧距A为eq\f(L,2)处C.－4Q在B右侧距B为L处D.＋2Q在A右侧距A为eq\f(3L,2)处解析要使三点电荷处于平衡，可知C应放在B的右侧，且与A电性相同带负电，由FAB＝FCB得keq\f(4Q2,L2)＝keq\f(QCQ,req\o\al(2,BC))；由FAC＝FBC得keq\f(4QQC,（rBC＋L）2)＝keq\f(QQC,req\o\al(2,BC))；解得rBC＝L，QC＝4Q，故选项C正确。答案C三电荷平衡模型(1)模型构建①三个点电荷共线。②三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力。③任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。(2)模型规律①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。②“两同夹异”——正负电荷相互间隔。③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。[针对训练4](多选)如图6，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(均可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下处于静止状态，则以下判断正确的是()图6A.a对b的静电力一定是引力B.a对b的静电力可能是斥力C.a的电荷量可能比b的少D.a的电荷量一定比b的多解析根据三电荷平衡问题“两同夹异”的特点，a、b带有异种电荷，它们之间一定是引力，A正确，B错误；根据“两大夹小”的特点，b球带电荷量最少，C错误，D正确。答案AD1.(点电荷的理解)下列说法正确的是()A.点电荷是客观存在的，任何带电体在任何情况下都可看成点电荷B.点电荷就是体积和带电荷量都很小的带电体C.两带电荷量分别为Q1、Q2的球体间的作用力在任何情况下都可用公式F＝keq\f(Q1Q2,r2)计算D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计解析点电荷是一种理想化模型，一个带电体能否看成点电荷不是看其大小，而是应具体问题具体分析，是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计。因此大的带电体一定不能看成点电荷和小的带电体一定能看成点电荷的说法都是错误的，所以本题D正确。答案D2.(库仑定律的理解)两个完全相同的金属小球A、B(均可视为点电荷)带有相等的电荷量，相隔一定距离，两小球之间相互吸引力的大小是F。今让第三个不带电的相同金属小球先后与A、B两小球接触后移开。这时A、B两小球之间的相互作用力的大小是()A.eq\f(F,8) B.eq\f(F,4) C.eq\f(3F,8) D.eq\f(3F,4)解析设A、B两球间的距离为r，因为开始时A、B两球间的作用力是吸引力，所以设A所带电荷量为Q，B所带电荷量为－Q，由库仑定律知，开始时A、B两球之间的作用力F＝keq\f(QQ,r2)。当第三个不带电的小球与A接触时，据电荷均分原理可知，两球均带电荷量为eq\f(1,2)Q。当第三个小球与B球接触时，两球均带电荷量为eq\f(1,2)×(eq\f(1,2)Q－Q)＝－eq\f(1,4)Q。故这时A、B两球间的作用力大小F′＝keq\f(\f(1,2)Q×\f(1,4)Q,r2)＝eq\f(1,8)F。答案A3.(库仑力的叠加)如图7所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10－9C和q2＝－9×10－9C，两者分别固定在相距20cm的a、b两点上，有一个点电荷q放在a、b所在直线上，且静止不动，该点电荷所处的位置是何处()图7A.a的左侧40cm B.a、b的中点C.b的右侧40cm D.无法确定解析根据平衡条件，它应在点电荷q1的左侧，设距离q1为x，有keq\f(q1q,x2)＝keq\f(q2q,（x＋20）2)，将q1＝4×10－9C，q2＝－9×10－9C代入，解得x＝40cm，故选项A正确。答案A4.(“三点共线”模型)(2017·金华高二检测)如图8所示三个点电荷q1、q2、q3在一条直线上，q2和q3的距离为q1和q2距离的两倍，每个点电荷所受静电力的合力为零，由此可以判定，三个点电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为()图8A.(－9)∶4∶(－36) B.9∶4∶36C.(－3)∶2∶(－6) D.3∶2∶6解析由三电荷平衡模型的特点“两同夹异”可知，q1和q3为同种电荷，它们与q2互为异种电荷，设q1和q2距离为r，则q2和q3的距离为2r，电荷量均取绝对值，对q1有：keq\f(q1q2,r2)＝keq\f(q1q3,（3r）2)①对q2有：eq\f(kq1q2,r2)＝eq\f(kq2q3,（2r）2)②对q3有：eq\f(kq2q3,（2r）2)＝keq\f(q1q3,（3r）2)③联立①、②、③可解得：q1∶q2∶q3＝9∶4∶36。所以每个点电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为(－9)∶4∶(－36)或9∶(－4)∶36，只有A项正确。答案A5.(静电力的平衡问题)(2017·西安高二检测)把质量为m的带负电小球A，用绝缘细绳悬挂，若将带电荷量为Q的带正电球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r时，绳与竖直方向成α角。试求：图9(1)A球受到的绳子拉力多大？(2)A球带电荷量是多少？解析(1)带负电的小球A处于平衡状态，A受到库仑力F、重力mg以及绳子的拉力T的作用，受力如图。竖直方向：mg－Tcosα＝0，①水平方向：F－Tsinα＝0②解得T＝eq\f(mg,cosα)③F＝mgtanα④(2)根据库仑定律F＝keq\f(qQ,r2)⑤联立④⑤解得q＝eq\f(mgr2tanα,kQ)答案(1)eq\f(mg,cosα)(2)eq\f(mgr2tanα,kQ)基础过关1.(多选)(2017·青岛高二检测)对于库仑定律，下列说法正确的是()A.凡计算真空中两个点电荷间的相互作用力，就可以使用公式F＝keq\f(q1q2,r2)B.两个带电小球即使相距非常近，也能用库仑定律C.相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等D.当两个半径为r的带电金属球中心相距为4r时，对于它们之间的静电作用力大小，只取决于它们各自所带的电荷量解析由库仑定律的适用条件可知，选项A正确；两带电小球距离非常近时，带电小球不能视为点电荷，库仑定律不再适用，故选项B错误；由牛顿第三定律可知，相互作用的两个点电荷之间的作用力总是大小相等的，故选项C正确；当带电小球之间的距离较近时，带电小球之间的作用力不仅跟距离有关，还跟带电体所带电性及电量都有关系，不能视为点电荷，故选项D错误。答案AC2.如图1所示，在一条直线上的A、B、C三点分别放置QA＝＋3×10－9C、QB＝－4×10－9C、QC＝＋3×10－9C的点电荷，则作用在点电荷A上的作用力的大小为()图1A.9.9×10－4N B.9.9×10－3NC.1.17×10－4N D.2.7×10－4N解析点电荷A同时受到B和C的库仑力作用，因此作用在A上的力应为两库仑力的合力。可先根据库仑定律分别求出B、C对A的库仑力，再求合力。A受到B、C电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有FBA＝eq\f(kQBQA,req\o\al(2,BA))＝eq\f(9×109×4×10－9×3×10－9,0.012)N＝1.08×10－3NFCA＝eq\f(kQCQA,req\o\al(2,CA))＝eq\f(9×109×3×10－9×3×10－9,0.032)N＝9×10－5N规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝(1.08×10－3－9×10－5)N＝9.9×10－4N。故选项A正确。答案A3.如图2，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点。已知放在P、Q连线上某点R处的点电荷q受力为零，且PR＝2RQ。则()图2A.q1＝2q2 B.q1＝4q2C.q1＝－2q2 D.q1＝－4q2解析由于R处的点电荷q受力平衡，根据库仑定律得eq\f(kq1q,（PR）2)＝eq\f(kq2q,（RQ）2)，PR＝2RQ，解得q1＝4q2。q1、q2一定为同种电荷，所以选项B正确。答案B4.如图3所示，两个固定的带正电的点电荷q1、q2，电荷量之比为1∶4，相距为d，引入第三个点电荷q3，要使q3能处于平衡状态，对q3的位置、电性和电荷量的要求，以下叙述正确的是()图3A.q3在q1和q2连线之间距离q1为eq\f(1,3)d处，且为负电荷，对电荷量无要求B.q3在q1和q2连线之间距离q1为eq\f(1,3)d处，且为正电荷，对电荷量无要求C.q3在q1和q2连线之间距离q1为eq\f(1,3)d处，对电性和电荷量均无要求D.q3在q1和q2连线的延长线上，位于q1左侧eq\f(1,3)d处，对电性和电荷量均无要求解析由题意知，电荷q3一定在两正电荷之间，根据平衡条件有：keq\f(q1q,req\o\al(2,1))＝keq\f(q2q,req\o\al(2,2))，解得eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,2)，即r1＝eq\f(1,3)d，q3在q1和q2连线之间距离q1为eq\f(1,3)d处，对电性和电荷量均无要求，故C正确。答案C能力提升5.三个相同的金属小球A、B、C分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径。A、B两球带同种电荷，A所带电荷量为q，B所带电荷量为nq，C不带电且离A和B很远，此时A、B两球之间作用力的大小为F。现使C先与A接触，与A分开后，C再与B接触，然后将C移至远处，此时A、B两球之间作用力的大小仍为F，方向不变。由此可知()A.n＝eq\f(1,3) B.n＝3 C.n＝eq\f(1,6) D.n＝6解析设A、B两球间的距离为r，则F＝keq\f(nq2,r2)，C与A接触后，A、C分别带的电荷量均为eq\f(q,2)，C再与B接触后，B、C所带的电荷量均为eq\f(（2n＋1）q,4)，则F＝keq\f(（2n＋1）q2,8r2)，联立两式可得n＝eq\f(1,6)，C正确。答案C6.如图4所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是()图4A.A带正电，QA∶QB＝1∶8B.A带负电，QA∶QB＝1∶8C.A带正电，QA∶QB＝1∶4D.A带负电，QA∶QB＝1∶4解析要使C处的正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况应如图所示，所以A带负电，B带正电。设AC间的距离为L，则FBsin30°＝FA即keq\f(QBQC,（2L）2)·s