高中数学经典解题技巧和方法三角变换与解三角形

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形一、三角变换及求值解题技巧：1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形aa1）1土sina=(sin土cos)21）22（2）角的变换卩=a—（a—卩）(3)asin0+bcosO=\a2+b2sin(0+p)2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。例1：已知向量m=（sinA,cosA）,n=（1,—2），且m-n二0(I)求tanA的值；仃I)求函数f(X)=COs2X+tanAsinX(XeR)的值域解析：（I）由题意得m・n二sinA--2cosA=0,因为cosAMO,所以tanA=2.(II)由(I)知tanA=2得13f(x)=cos2x+2sinx=1一2sin2x+2sinx=—2(sinx一㊁)2+.sinxe[—11]sinx=-3因为x^R,所以'•当2时，f(x)有最大值2,当sinx=-1时，f（x）有最小值-3所以所求函数f（x所以所求函数f（x）的值域是-3，|二、正、余弦定理的应用解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2：（2010•辽宁高考理科・T17）在厶ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC.(I)求A的大小；(II)求sinB+sinC的最大值.命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值【规范解答】(I)由已知，根据正弦定理得2a2二(2b+c)b+(2c+b)c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA故cosA=—-，A=120°(II)由(I)得：sinB+sinC=sinB+sin(60°—B)=3cosB+1sinB22=sin(60。+B)故当B=30。时，sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC°sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60°三、三角函数的实际应用例3：(2010•江苏高考・T17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ZABE=a，ZADE=P。TOC\o"1-5"\h\z该小组已测得一组a、卩的值，算出了tana=1.24,tan卩=1.20，请据”E此算出H的值；厂该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单/位：m)，使a与卩之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为M.rd125m，试问d为多少时，a-P最大？【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。【思路点拨】(1)分别利用H,a,卩表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解;(2)利用基本不等式求解.【规范解答】⑴旦=tan卩二AD二旦，同理：ab=—，BD二丄。ADtan卩tanatan0AD—AB=DB，故得—二，解得：H=仔曲"=4x1'24=124。tanptanatanptan0—tana1.24—1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。(2)由题设知d=AB,得tana=,tanB=dADhDBtan(a(2)由题设知d=AB,得tana=,tanB=dADhDBtan(a—0)=tana—tan01+tana-tan0d一d=hd=hHH—h=d2+H(H—h)=刁丄H(H—h)1+•dhdddd+，(当且仅当d=pH(H-h)=<125x121=55、汪时，取等号)故当d=55\打时，tan（a—0）最大。因为0<0"<|，则0<a-0<夕，由y=tanx的单调性可知：当d=代时，a-0最大。故所求的d是55、厉m。例4.（2010•福建高考文科・T2）计算1—2sin222.5o的结果等于（）A.-D.命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。【规范解答】选B，1—2sin2(22.5a)=cos(45。)W2方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：sin2x=2sinx-cosx，cos2x=1一2sin2x=2cos2x一1=cos2x一sin2x的逆用公式为“降幕公式”，即为11—cos2x1hcos2xsmx-cosx=-sin2x，sin2x=-,cos2x=-，在三角函数的恒等变形中，降幕公式的起着重要的作用。例5.（2010•海南宁夏高考•理科T16）在AABC中,D为边BC上一点,BD=-DC,ZADB=120°,AD=2,若AADC的面积为3-运，则ZBAC=.【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.【规范解答】设BD=x,则CD=2x,由AADC的面积为3-J3可知-CDgADgdn60。=3-爲，可得x=帯3—1，由余弦定理可知2AB2=AD2+BD2—2ADgBDcosZADB=6，所以AB=J6AC2=AD2+DC2—2ADgDCcosZADC=24—12、：'3，所以AC=—1)

由cosABAC=AB2+AC2—BC2，及AB=品,AC二賦爲-1),BC二3(*3-1)2ABgAC可求得ABAC=60o【答案】60°【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.例6.(2010•天津高考理科・T7)在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2-b2=\：'3bc,sinC=2、.；3sinB，则A二()(A)300(B)600(C)1200(D)1500【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A,根据正弦定理及sinC=2*：'3sinB得：c=243bQb2+c2-a2c2-(a2-c2)c2-屈be^3QCOsA=-2bc2bc2bc2QOoA<18Oo,「.A=3Oo。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。例7.(2010•天津高考理科・T17)已知函数f(x)=2y3sinxcosx+2cos2x一1(xeR)(I)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,-上的最大值和最小值;(II)若(II)若f(xo)=5,xoe求cos2xo的值。【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数y=Asin(®x+申)的性质、同角三f2f2x+^Io6丿【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角2xo=【规范解答】(1)由f(x)=^-3sinxcosx+2cos2x一1，得f(x)=J3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=\3sin2x+cos2x=2sin(2x+')6所以函数f(x)的最小正周期为T=¥=兀因为f(x)=2sin小兀兀兀2x+—在区间o,三上为增函数，在区间I6丿L6」_62_上为减函数，又=-1，所以函数f（x）在区间C兀0,2上的最大值为2，最小值为-1(兀(II)由(1)可知f(x)=2sm