高中数学基础知识整理篇

倒数关系是：tga-ctgu=1,sina-esca=1,cosa-seca=1;sina商数关系是：tana二,cosa8．诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。.3兀女如sin(-a)二一cosa,,tan(3兀一a)二一tana29．利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、化简求值问题，而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类10．有用的结论(1)半角所在的象限：(2)sina+cosa和sina-cosa的符号规律:二、两角和与差的三角函数1．(1)半角所在的象限：(2)sina+cosa和sina-cosa的符号规律:二、两角和与差的三角函数1．和(差)角公式：sin(a±P)=sinacosP±cosasinPcos(a±P)=cosacosP+sinasinPtan(a±P)=上0岀%1+tana-tanP2．二倍角公式：sin2a=2sina-cosacos2a=cos2a一sin2a=2cos2a一1=1一2sin2atan2a=2tana1一tan2a3．.ai'1-cosa半角公式是：sin—=±;a‘,1+cosacos=±22a|1-cosatan=±=21+cosa1一cosasina\1+cosasina1+cosaaa升幕公式是：1+cosa=2cos2,1一cosa=2sm2-225．降幕公式是：sin2a-1-5．降幕公式是：sin2a-1-cf2a，cos2a-1+罟加6．辅助角公式：asina+bcosa=x!a2+b2sin(a+p)(cp由a，b具体的值确定)；7．有用的结论：tana+tan卩=tan（a+卩）（1-tana-tan卩）兀若"卩--,则sina-cos卩,cosa-sin卩8．应用两角和与差的三角函数公式应注意：兀⑴当a,卩中有一个角为-的整数倍时，利用诱导公式较为简便.善于利用角的变形，角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如a如a—(a+卩)—卩=（a一卩）+卩，2a—（a+卩）+（a—卩）,2a—（卩+a）—（卩—a）孕—孕—(a—与-与-卩)，2+2a—2（a+壬）等..兀sin2—COs0.兀sin2—COs0—等1•兀1—sin2x+cos2x—sec2x—tan2x—tanx-cotx—tan4（3）倍角公式的变形——降幕公式：1—cos2a1+cos2a1sm2a—,cos2a—,sinacosa——sin2a应用十分广泛.22210．10．有用的解题思路(1)“变角找思路，范围保运算”；(2)“降幂——辅助角公式——正弦型函数”；（3）巧用sina士cosa与sina-cosa的关系;巧用三角函数线——数形结合．11．11．三角求值问题的解题思路：(1)三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换(2)给值求角问题的基本思路①先求出该角的一个三角函数值;②再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范围对三角函数值的影响12．12．sin15o—cos75°—v64v2,sin75o—cos15°—"6J2,tan15o—cot75°—2-

tan75°二cotl5°二2+、3.三、三角函数的图象与性质1.列表综合三个三角函数y二sinx,y=cosx,y二tanx的图象与性质:y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR1x1xgR且x丰k兀+2兀,kgZ}值域[—1,+1][—1,+1]R周期性2兀2兀兀奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性兀兀［+2k兀,+2k兀］22上为增函数；冗3兀［—+2k兀,+2k兀］上22为减函数(kgz)［(2k—1)兀,2k兀］上为增函数［2k兀,(2k+1)兀］上为减函数(kgZ)/兀7兀7、(—-+k兀，-+k兀)上为增函数(kgZ)注意：y二—sinx与y二sinx的单调性正好相反;y=—cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y二f(x)在［a,b］上递增(减)则y二-f(x)在［a,b］上递减(增)2.函数y二Asingx+申)+B(其中A>0,0)的最大值是A+B,最小值是B—A,周2兀“①期是T—,频率是f—,相位是®x+9,初相是9，其图象的对称轴是直线①2兀①x+9二k兀+—(kgZ),凡是该图象与直线y二B的交点都是该图象的对称中心.注意：(1)最值的情况;(2)了解周期函数和最小正周期的意义，会求y二Asin(ex+9)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况;会从图象归纳对称轴和对称中心;冗y=sinx的对称轴是x二k兀+—(kgZ),对称中心是(加,0)(kgZ);2y=cosx的对称轴是x=k兀(kgZ),对称中心是(k兀+—,0)(kgZ)2

二tanx的对称中心是二tanx的对称中心是（k—n2,0)(kgZ)注意加了绝对值后的情况变化．（4）写单调区间注意®>0.3．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y二Asin（®x+申）的简图，并能由图象写出解析式.（1）“五点法”作图的列表方式（看课本例题）；（2）求解析式y二Asin（wx+申）时相位申的确定方法.4.正弦型函数y二Asingx+申）的图象变换一般地，函数y二Asingx+申），xgR的图象（其中A>0,0）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线y二sinx上所有点向左（当>0时）或向右（当甲<0时）平行移动19I个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当®>1时）或伸长（当0<1时）到原来的丄倍（纵坐标不变）；③再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍横坐标不变）.即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换.若先作周期变换，再作相位变换，则切记：四、解三角形几个重要结论abc（1）正弦定理：===2R（2R为三角形ABC的外接圆直径）或写成sinAsinBsinCa:b:c二sinA:sinB:sinC，在应用正弦定理解决，已知两边和其中一边的对角，求解三角形”时应注意解的个数.a2=b2+c2—2bccosA（2）余弦定理：<b2=a2+c2—2accosBc2=b2+a2—2abcosC

2abb2+c2—a2余弦定理：a2=b2+c2—2abcosA,或写成cosA=2ab111三角形ABC面积公式：S二-absinC二-bcsinA二-casinB厶厶厶1三角形的面积公式：SA=2ah(其中h是a边上的高)等等(4)三角学中的射影定理：在AABC中，b二a•cosC+c-cosA,2．2．由A+B+C二兀,易推出:①sinA=sin（B+C）,cosA=一cos（B+C）,tanA=—tan（B+C）AB+CAB+CAB+C②sin=cos,cos=sin,tan=cot-2222223.三角形ABC中，a>boA>BosinA>sinB.兀兀4．锐角AABC中，A+B>—,A>一B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b4．锐角AABC中，22附：三角形的几个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点.七、不等式一、不等式的基本性质与定理实数的大小顺序与运算性质之间的关系：a>boa—b>0,a<boa—b<0,a=boa—b=0.不等式的性质：（1）a>bob<a或a<bob>a（对称性）（2）a>b,b>cna>c或a<b,b<cna<c（传递性）（3）a>bna+c>b+c推论1：a+b>cna>c—b（移项法则）；推论2：a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）（4）a>b,c>0nac>be,a>b,c<0nac<be推论1：a>b>0,c>d>0nac>bd推论2：a>b>0nan>bn（5）a>b>0nna>nb（neN,n>2）11（6）ab>0,a>bn<ab3．常用的基本不等式和重要的不等式（1）aeR,a2>0,1al>0,当且仅当a=0取“=”⑵a,beR,则a2+b2>2ab（当且仅当a=b时取“=”）⑶a,beR+,则a+b>2Jab（当且仅当a=b时取“=”）注：几何平均数．注：算术平均>几何平均（a、a为正数）：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"12na+a+•…+a+rn>n：aa…a（a二a…二a时取等）n12n12n（当且仅当a二b时取“=”）a（当且仅当a二b时取“=”）⑷>（丁）2（5）平方平均>算术平均>几何平均>调和平均（a、b为正数）：.a2+b2a+b22>-^>^ab>丁1（当a二b时取等）（调和平均作为参考）abab（6）（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2（当且仅当一二〒时取“=”）（柯西不等式作为参考）cd4、最值定理：设x,y>0,由x+y>2丫xy得（1）若积xy=P为定值，则当且仅当x=y时，x+y有最小值2、：PS（2）若和x+y二S为定值，则当且仅当x=y时，x-y有最大值（-）2.即：积定和最小，和定积最大．注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等．含绝对值的不等式性质：IaI土Ib1<1a土b1<1aI+IbI（注意等号成立的情况）

二、不等式的证明方法1.比较法：作差比较：A-B<0oA<B作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数(或式)作差.变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小，有时也可考虑作商比较综合法：由因导果.分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……(书写要规范)反证法：正难则反.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：(1)添加或舍去一些项，如:qa2+1>1al,(n(n+1)>n将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式，如：log3-lg5<(lg3+lg5)2二i^.15<ig帀二ig4,<n+(n如：log3-lg5<(利用常用结论：<丄11k2k(k—11k2k(k—1)k—1k丄>」k2k(k+1)kk+11(程度大)111111③~k2<k2—1~(k—1)(k+1)_2(~k—1~m)(程度小)换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元，如：已矢口x2+y2二a2,可设x=acos0,y=asin0已知x2+y2<1,可设x=rcos0,y=rsin0(0<r<1)7．构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式等等；三、解不等式bb1.一元一次不等式ax>b(a丰0):⑴a>0,{xIx>},(2)a<0,{xIx<}.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0,(a>0)步骤：一看开口方向(a的符号)，二看判别式'二b2-4ac的符号，三看方程的根写解集．重要结论：ax2+bx+c>0(a丰0)解集为R(即ax2+bx+c>0对xeR恒成立)，则a>0,A<0(注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a二0)3．绝对值不等式(1)零点分段讨论(1)零点分段讨论〜1a1--aa<0(2)转化法:If(x)I>anf(x)>a或f(x)<-a(a>0).If(x)I<an-a<f(x)<a(a>0)(3)数形结合4．高次不等式——4．高次不等式——根轴法(穿针引线法)5．分式不等式的解法：通解变形为整式不等式：⑴册⑴册>0of(x)-g(x)>0;⑵册<0of(x)-g(x)<0；⑶>0of(x)-g(x)>0且g(x)丰0;⑷芈<0of(x)-g(x)<0且g(x)丰0g(x)g(x)6．解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论

在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小，设根为X,x(或更多)但含12参数，要分X>X、X=X、X<X讨论.121212四、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.求解线性规划问题的步骤是：根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.八、立体几何一、平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.能够用斜二测法作图，掌握三视图.1．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.他具体包括正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则卉用高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐I'-卜长对正：主视图与俯视图的长应对正-宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等£丄…•一卜L二视图2．空间几何体的直观图(1)斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O'X',O'Y'，使ZX'O'Y'二45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X'轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线).平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。二、空间的直线与平面1．异面直线兀异面直线所成的角的范围(0,R.求异面直线所成的角——平移：中位线平移法、几何体补形平移法、向量法．2．直线与平面直线与平面平行的判断方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据。直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(“线线平行，线面平行”)直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(“线面平行，线线平行”)直线与平面垂直的证明方法有哪些？直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．三垂线定理及其逆定理：三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系(尤其是异面垂

直）与空间图形的度量。如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线．3．平面与平面（1）掌握平面与平面平行的证明方法和性质.两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行．两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行．（“面面平行，线线平行”）（2）掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是性质定理：已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直．两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面．（“线面垂直，面面垂直”）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（3）两平面间的距离问题—点到面的距离问题.三、简单几何体1．棱柱（1）①直棱柱侧面积：S二Ch（C为底面周长，h是高）斜棱柱侧面积：S=C（C1是斜棱柱直截面周长，1是斜棱柱的侧棱长）.⑵｛四棱柱｝n｛平行六面体｝n｛直平行六面体｝n｛长方体｝n｛正四棱柱｝n｛正方体｝•｛直四棱柱｝n｛平行六面体｝=｛直平行六面体｝.侧梭垂宜」占”宀亠-=「一底面是-“亠底曲是-寸亠亠厠面歸転『壬“侖皿平/、龄瘙形・怏和正方羽応四樹工底需忑誌止方休（3）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.2．棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这样的面围成的几何体.［注］:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以匕斗=Sh=3V棱柱棱锥(1)①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.［注］:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△，侧棱与底棱不一定相等1②正棱锥的侧面积：S=2Ch(底面周长为c，斜高为h')(2)棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.球：(1)球的截面是一个圆面.(2)球心与截面圆心的连线垂直于截面.常用面积、体积公式多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)侧全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱各侧面积之和S+2S侧底S•h=S•l直棱柱ch丿底-1直面S•h底棱锥棱锥各侧面积之和S+S侧底丿底1-S•h3底正棱锥1—ch'2棱台棱台各侧面积之和S+S+S侧上底下底1t正棱台1—(c+c')h'21f-h(S+S+訂S-S)3上底下底上底下底表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h‘表示斜高，l表示侧棱长.(2)旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球

^则2兀r1兀r1兀(r+r)112S=4兀R2球V兀r2h1兀r2h31兀h(r2+rr+r2)311224—兀R33表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，厂]、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.5．几个基本公式：弧长公式：1=^•r（a是圆心角的弧度数，a>0）1扇形面积公式：S=-1•rr圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：-•2兀；（1为圆锥母线，r为圆锥底面半径）R—r圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：-•2兀（1为圆台母线，r为圆台上底面半径，R为圆台下底面半径）九、直线与圆一、直线的基本量1•两点间距离公式：若A(x,y),B(x,y),则IAB1=<(x—x)-+(y—y)1122*2121特别地：AB//x轴，则IABI=Ix—xI，AB//y轴，则IAB1=1y—yI12122.直线1:y=kx+b与圆锥曲线C：f(x,y)=0相交的弦AB长公式消去y得ax2+bx+c=0(务必注意A>0)，设A*人)，B(x2,y2)则：丨AB1=、(1+k2)(x—x)2=(1+k2)[(x+x)2—4xx]V21、2112直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角a&[0,兀）:当a=-时，直线的斜率k=tana.厶y—y（2）斜率公式：°—；1（x=x）2121（3）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化（右图）直线在x轴和y轴上的截距（定义见课本）截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.直线的方向向量（1）若直线的斜率为k,则直线的方向向量是（1,k）⑵若直线的方程为Ax+By+C=0,则直线的一个方向向量是(B,-A).二、直线的方程y-yx-x五种形式：点斜式y-y二k(x-x)、斜截式y二kx+b、两点式y―yi二亍寸、002121xy截距式一+—=1、一般式Ax+By+C=0.注意每一种形式的适用条件.ab三、两条直线的位置关系1．判断方法：系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法．2．有用的结论：两条直线Ax+By+C=0、Ax+By+C=0垂直AA+BB=0.1112221212两条直线Ax+By+C=0、Ax+By+C=0平行oAB—AB=0且AC—AC去011122212211221四、点到直线的距离1•点P(x,y)到直线Ax+By+C二0的距离；d=空C100<A2+B2|C—C|平行线间距离：若Ax+By+C=0、Ax+By+C=0,则d=+2:12寸A2+B2注意点：x，y对应项系数应相等．五、圆1．确定圆需三个独立的条件(1)标准方程:(x—a)2+(y—b)2二r2,其中圆心为(a,b),半径为r.(2)—般方程：x2+y2+Dx+Ey+F二0(D2+E2—4F>0),其中圆心为(—D半径为r八D2+已2-4卩(3)圆的直径端点式方程：(x—x)(x—x)+(y—y)(y—y)=0，其中a(x,y),121211B(x,y)为直径的端点22fx二a+rcos0(4)圆的参数方程：＜7.o(0为参数)，其中圆心为(a,b),半径为r.[y二b+rsin0点和圆的位置关系的判断转化为点到圆心的距离与半径的大小关系的判断.点P(x,y),圆的方程：(x-a)2+(y-b)2二r2.00如果(x—a)2+(y—b)2>r2o点P(x,y)在圆外；0000如果(x—a)2+(y—b)2<r2o点P(x,y)在圆内；0000如果(x—a)2+(y—b)2二r2o点P(x,y)在圆上.00003.直线Ax+By+C二0与圆(x—a)2+(y—b)2二r2的位置关系d>ro相离d=ro相切d<ro相交位置关系判断方法：半径比较法(首选)、判别式法.求圆的弦长方法：垂径定理.求圆的切线：用“d二r”求k.一个结论：过圆x2+y2二r2上的点P(x,y)的切线的方程为xx+yy二r2.0000过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与x轴垂直的直线.圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,Rd>r+Ro两圆相离d=r+Ro两圆相外切IR—rl<d<r+Ro两圆相交d=1R—rIo两圆相内切d<IR—rIo两圆内含d=0,两圆同心.两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+C=0.1111圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+C=0.2222把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D—D)x+(E—E)y+(C—C)=0121212六、空间直角坐标系会求空间点关于线、点关于面的对称点坐标；空间两点间距离公式：IAB1=<(x—x)2+(y—y)2+(z—z)2121212

十、圆锥曲线一、椭圆十、圆锥曲线1•定义：若FF2是两定点，P为动点’且1PF\+1PF|=2a>|FF|(a为常数)则P点的轨迹是椭圆.2．标准方程：焦点在x轴上焦点在y轴上:x2y2x2y2——+二二1(a>b>0)a2b2洛+X二1(a>b>0)(1)范围：一a<x<a、一b<y<b22(2)对称性：长轴长二2a,短轴长二2b,焦距二2c22(3)离心率e二-,准线方程x=±；2a有用的结论：IPF1=2a-IPFI,a-c<1PFl<a+c,IAF1=1AFI=a—c,IAF1=1AFI=a+c1122122⑸ApF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段IPF1I、PF2I、2c,有关角ZFPF结合起来，建立IPFI+IPFI、丨PFI-1PFI等关系121212「x=acos0(6)椭圆上的点有时常用到三角换元：｛(椭圆的参数方程)3.几何性质(以焦点在x轴上为例)Iy=bsm6

3.几何性质(以焦点在x轴上为例)范围：x>a或x<-a>yg对称性：实轴长二2a,虚轴长二2b,焦距二2c.离心率e=—,aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x2y2b渐近线方程：——b=0=y=±—x\o"CurrentDocument"a2b2abxyx2y2与此有关的结论：若渐近线方程为y=±-x二二0二双曲线可设为—-b二九；aaba2b2\o"CurrentDocument"x2y2x2y2若双曲线与云—备=1有公共渐近线，可设为云—豈二九(九〉°，焦点在x轴上；九<0,焦点在y轴上)(5)当a二b时o离心率eo两渐近线互相垂直，分别为y=±x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2—y2=九⑹注意ApF1F2中结合定义11PFil-1工归2a与余弦定理cos牛丫，将有关线段|PF|、|PF|、|FF|和角结合起来.1212三、抛物线定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e二1)标准方程(以焦点在x轴的正半轴为例)：y2二2px(p>°)(其中p为焦点到准线的距离——焦准距)；3．几何性质焦点：Gp,°),通径：IABI二2p,准线：x二—-P；焦半径：ICFI二x°+-P,过焦点弦长：ICDI二x+£+x+£二x+x+p.122212几何特征：焦点到顶点的距离二p；焦点到准线的距离二p；通径长二2p(通径是最短的焦点弦)．顶点是焦点向准线所作垂线段中点.(3)抛物线y2二2px上的动点可设为P(話,y°)或P(2pt2,2pt)或P(x°,y°),其中y2二2PX0四、直线与圆锥曲线的关系判断1．直线与双曲线：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个交点．2．直线与抛物线：当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点．3．在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式TOC\o"1-5"\h\zIIIi1A\o"CurrentDocument"（IAB1=（x一x）2+（y一y）2,|AB|=、：］+k2|x-x.1=V1+k2--,121222laiIabi=i：1+Iy一yi=、.1+•弓；lp）或“小小直角三角形”.k212k2Iai五、解题思路与方法：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键．（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断．但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法，画出方程所表示的曲线，通过图形求解，当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷．在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m>0,n>0）定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．

在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义．要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用．求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质，求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解向量与解析几何结合时，要能理解和处理好由向量给出的关系.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：TOC\o"1-5"\h\z,刁,由—I-1.给出PM+PN=0等于已知P是MN的中点；给出MA-MB二0,等于已知MA丄MB,即ZAMB是直角，给出MA-MB二m<0,等于*h已知ZAMB是钝角，给出MA-MB二m>0,等于已知ZAMB是锐角.3.4.5.给出(rMAI*|Mll)二MP等于已知MP是Z3.4.5.在平行四边形ABCD中，给出(AB+AD)-(AB-AD)二0,等于已知ABCD是菱形;在平行四边形ABCD中，给出IAB+ADI二IAB-ADI,等于已知ABCD是矩形;亠■P在AABC中，给出OA2二OB2二OC2,等于已知O是AABC的外心;在AABC中，给出OA+OB+OC=0,等于已知O是AABC的重心;■8.在AAC一一8.在AAC中，给出OP二OA+X(-|+1?(九wR+)等于已知AP通过AABC的内心;19.在AABC中，给出AD二-(AB+AC)等于已知AD是AABC中BC边的中线;厶十一、推理与证明、复数一、推理要正确使用归纳推理(部分到整体、个别到一般)、类比推理(特殊到特殊)和演义推理(一般到特殊)由归纳推理获得的结论，一般只能作为猜想，正确与否还有待严格证明。类比推理的基本原则是根据当前问题的需要选择适当的类比对象。二、证明：主要掌握综合法、分析法和反证法等。三、复数1．复数及其相关概念：⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即i2=-1.复数：形如a+bi的数(其中a,bgR)实数：当b二0时的复数a+bi,即a虚数：当b丰0时的复数a+bi纯虚数：当a=0且b丰0时的复数a+bi,即bi复数a+bi的实部与虚部；a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)复数集C：全体复数的集合，一般用字母C表示两个复数相等的定义：a+bi二c+dioa二c且b二d(其中，a,b,c,d,gR)特另ij地a+bi=0oa=b=0两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小．复数的运算：设z=a+bi,z=c+di(a,b,c,dgR)12z+z=(a+c)土(b+d)iz-z=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i1212ac+bdbc一ad,zz十z=+i(z=0)12c2+d2c2+d22共轭复数的性质：(z=a+bi(a,bgR)的共轭复数为：z=a-bi)z=zz+z=z,+z21212z+z=2a,z—z=2bi(z=a+bi)z-z=1zI2=1zI2z—z=z,—z2z-z=z-z12121212zz(」)=i=(z=0)zn=(z)nzz222常用的结论：

・-(・・・4*••--41+i1—i==—i1—i1+ii2=—1,i4n+1=i,i4n+2=—1,i1+i1—i==—i1—i1+iin+in+1+in+2+in+3=0,(neZ),(1土i)2=±2i,5．(1)复数z是实数及纯虚数的充要条件：①zeRoz=z.②若z=0,z是纯虚数oz+z=0.(2)模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数，特例：零向量的方向是任意的，其模为零．I注：Iz1=1z1=a2+b2(z=a+6i,aeR,beR)十二、统计与概率、算法一、统计1．掌握总体、个体、样本、样本容量、频数、频率、平均数、方差、标准差的定义；2．比较三种抽样方法(1)简单随机抽样(包括随机数表法，标签法)从n个总体中抽取容量为m的样本，m则每一个个体被抽到的概率为一•n一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n<N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。系统抽样在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：采用随机抽样的方法将总体中的N个个编号。将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(keN,L<k)③在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号L(LeN,L<k)

④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K,再加上K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。N在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数，当一不是整数时，应采用等可能剔n除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样系统抽样分层抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成11^n3•样本平均数：x=(x+x+xHx)=Lxn123nnii=14.样本方差：S2=[(x—x)2+(x—x)2+(x—x)2+•…+(x—x)2]n123n样本标准差：S=吊,作用：估计总体的稳定程度5．频率分布直方图频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小频率=频数

样本容量小长方形面积=组距频率=频数

样本容量小长方形面积=组距X频率

组距=频率，所有小长方形面积的和=各组频率和=1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图频率分布直方图的特征：从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。频率分布直方图常以图形信息题形式出现，识图掌握信息是解决这一问题的关键。

6．频率分布折线图、总体密度曲线(1)频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。(2)总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。7．茎叶图(1)茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.(2)茎叶图的特征：用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。8．总体分布的估计用样本去估计总体。用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差；平均数反映了一组数据的平均水平，而方差(标准差)是描述一组数据的波动情况，即偏离平均数的大小，或者说数据的稳定性．9．线性回归回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：y二a+bx,其工(x-x)工(x-x)2-nx2,a二y-bx，我们称这个方程为y对x的回归直线方程.(1)相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y与x的一组观测值，把

工(x-x)(y-工(x-x)(y-y)

iii工(x—x)2工(y—亍)2

iii=1i--1iii1：(工x2-nx2)(工y2-ny2):i-1'i-1叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度．②相关系数的性质：rl<1,且IrI越接近1,相关程度越大；且IrI越接近0,相关程度越小.⑵相关指数R2纭y-y)21ii=1①R2=1-(残差：e=y—y)i=1ill-y)2iiR2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟和效果越好。R2越接近于1,表示回归的效果越好。10.独立性检验K2值越大，说明“X、与Y有关系”成立的可能性越大。回归分析相关内容请认真读课本。(残差、相关系