2018版数学总复习中档大题规范练4概率与统计理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17学必求其心得，业必贵于专精PAGE4。概率与统计1。某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图。现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.（1）记甲班“口语王”人数为m,乙班“口语王”人数为n,比较m，n的大小；(2）随机从“口语王”中选取2人，记X为来自甲班“口语王”的人数,求X的分布列和期望。解（1）因为eq\x\to（x)甲＝eq\f(60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋93，10）＝80,所以m＝4，eq\x\to（x)乙＝eq\f(61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋97，10)＝79，所以n＝5，所以m＜n。（2）X取0，1，2，所以P(X＝0）＝eq\f（C\o\al(0,4)C\o\al(2,5），C\o\al(2，9））＝eq\f（5,18),P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(1,4）C\o\al（1,5）,C\o\al（2，9))＝eq\f(5,9）,P（X＝2）＝eq\f(C\o\al（2,4)C\o\al（0，5),C\o\al（2，9))＝eq\f(1，6），所以X的分布列为X012Peq\f(5，18）eq\f（5，9)eq\f（1,6）所以E(X)＝0×eq\f（5,18）＋1×eq\f（5，9)＋2×eq\f（1,6）＝eq\f（8,9）.2。(2017届重庆市第一中学月考）为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表:校区愿意参加不愿意参加重庆一中本部校区220980重庆一中大学城校区80720（1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题,每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：P（S＝6k）＝eq\f（4－k,6）,k＝1，2,3,假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐"得分的期望E（S)；②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.解（1）大学城校区应抽取15×eq\f(80，220＋80)＝4（人）.(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P(S＝6k)＝eq\f(4－k,6）,k＝1，2，3,即S61218Peq\f（1，2)eq\f(1,3）eq\f(1,6)所以对于一道不完全会的题，“如花姐"得分的期望为E(S）＝6×eq\f(1,2）＋12×eq\f（1,3）＋18×eq\f(1，6）＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和，则ξ＝12,18,24,30，36，P(ξ＝12）＝eq\f(1,2）×eq\f（1,2)＝eq\f（1,4)；P(ξ＝18)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×2＝eq\f（1，3）；P（ξ＝24）＝eq\f(1，2）×eq\f（1，6）×2＋eq\f(1,3）×eq\f（1，3）＝eq\f(5,18)；P（ξ＝30)＝eq\f（1，3）×eq\f(1，6)×2＝eq\f（1,9）;P（ξ＝36)＝eq\f(1,6)×eq\f（1,6)＝eq\f(1，36）；E（ξ）＝12×eq\f(1，4）＋18×eq\f（1,3）＋24×eq\f(5,18）＋30×eq\f（1,9)＋36×eq\f(1,36)＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E（ξ）＝80。3。（2017·云南大理检测）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为eq\f(3，5).(1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99。9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和期望.下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k0）0。150。100.050.0250.0100。0050。001k02.0722。7063.8415。0246。6357。87910.828参考公式：K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为eq\f(3，5），所以喜欢游泳的学生人数为100×eq\f（3,5）＝60。其中女生有20人，则男生有40人,列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100因为K2＝eq\f（10040×30－20×102,60×40×50×50）≈16。67>10.828。所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.（2)喜欢游泳的共60人,按分层抽样抽取6人,则每个个体被抽到的概率均为eq\f（1,10），从而需抽取男生4人，女生2人.故X的所有可能取值为0，1,2.P（X＝0)＝eq\f(C\o\al(2，2)，C\o\al（2,6)）＝eq\f（1,15)，P（X＝1）＝eq\f（C\o\al（1，4)C\o\al(1，2)，C\o\al（2,6）)＝eq\f（8,15），P(X＝2)＝eq\f（C\o\al(2,4)，C\o\al(2,6)）＝eq\f(6,15)＝eq\f（2,5），

所以X的分布列为X012Peq\f(1,15）eq\f（8,15)eq\f（2，5)E(X)＝0×eq\f(1，15）＋1×eq\f(8，15）＋2×eq\f(2,5)＝eq\f（4,3）。4。(2017·全国Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)。根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2）。(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P（X≥1）及X的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9。9510。129.969.9610。019.929。9810.0410.269.9110。1310.029.2210.0410。059。95经计算得eq\o(x,\s\up6(－）)＝eq\f(1,16）eq\i\su（i＝1,16,x）i＝9。97，s＝eq\r(\f(1,16）\i\su（i＝1，16,xi)－\o(x,\s\up6(－））2)＝eq\r(\f(1，16)\i\su（i＝1,16，x）\o\al(2，i）－16\o(x，\s\up6(－））2）≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…,16。用样本平均数eq\o（x，\s\up6（－）)作为μ的估计值eq\o（μ,\s\up6(^））,用样本标准差s作为σ的估计值eq\o（σ,\s\up6（^）),利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（eq\o（μ，\s\up6（^))－3eq\o（σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6（^))＋3eq\o(σ,\s\up6（^）））之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0。01）.eq\r（0.008)≈0.09。解（1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0。9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026,故X～B（16，0.0026).因此P(X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0。997416≈0。0408.X的期望E(X）＝16×0.0026＝0。0416.（2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ）之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ－3σ,μ＋3σ）之外的零件的概率只有0。0408,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。(ⅱ）由eq\x\to（x)＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值eq\o（μ，\s\up6（^))＝9。97，σ的估计值eq\o(σ，\s\up6(^））＝0。212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（eq\o（μ,\s\up6（^))－3eq\o（σ，\s\up6（^)），eq\o（μ,\s\up6（^)）＋3eq\o(σ,\s\up6(^））)之外,因此需对当天的生产过程进行检查。剔除（eq\o(μ，\s\up6（^))－3eq\o（σ,\s\up6(^)),eq\o（μ，\s\up6（^))＋3eq\o（σ，\s\up6(^)）)之外的数据9。22,剩下数据的平均数为eq\f(1,15）×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10。02。eq\i\su（i＝1，16，x）eq\o\al（2，i）＝16×0。2122＋16×9.972≈1591。134.剔除（eq\o（μ,\s\up6(^))－3eq\o（σ,\s\up6(^）)，eq\o(μ,\s\up6（^))＋3eq\o(σ,\s\up6（^)）)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为eq\f(1,15)×（1591。134－9.222－15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为eq\r（0。008）≈0.09。5.（2017·重庆市调研）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人,不超过100km/h的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人。(1)平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(2）以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d），其中n＝a＋b＋c＋d。参考数据：P（K2≥k0)0.1500。1000。050.0250.0100。0050。001k02。0722.7063。8415.0246。6357。87910。828解(1)平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550∵K2＝eq\f(5020×15－10×52，30×20×25×25）＝eq\f（25，3)≈8.333＞7.879，∴有99。5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关。（2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为eq\f(15,50）＝eq\f(3,10)。∴ξ的可能取值为0,1，2,3,且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3,\f(3，10）)），∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0，3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，10）))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（7,10)））3＝eq\f（343,1000）,P（ξ＝1）＝Ceq\o\al（1，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3，10）)）1eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,10))）2＝eq\f(441，1000)，P（ξ＝2)＝Ceq\o\al（2，3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，10)）)2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（7，10）））1＝eq\f（189,1000)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al（3，3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，10）))3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（7,10))）0＝eq\f(27,1000），∴ξ的分布列为ξ0123Peq\f(343，1000)eq\f(441,1000)eq\f（189，1000)eq\f（27,1000)E(ξ)＝0×eq\f(343,1000)＋1×eq\f(441，1000)＋2×eq\f(189，1000）＋3×eq\f(27,1000）＝eq\f（9，10)＝0.9或E（ξ)＝np＝3×eq\f（3,10)＝0.9。6.(2017届湖南株州模拟）某市对某环城快速车道进行限速,为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算:样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值。已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度.(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；(2）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望。解(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个,该车辆是需矫正速度”。因为μ－3σ＝78。4,μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A）＝P(x＜μ－3σ)＋P(x＞μ＋2σ）＝P(x＜78。4)＋P（x＞89。4)＝eq\f（1,100）＋eq\f（4,100）＝eq\f(1,20）。(2）记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”。由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P(B）＝eq\f(C\o\al(2，5),C\o\al（2，100）)＝eq\f（1,495）。（3）需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～Beq