2023年高中数学黄金100题系列第70题圆方程及其应用理

第70题圆方程及其应用I．题源探究·黄金母题【例1】求以点为圆心，并且与直线相切的圆的方程．【答案】【解析】由圆心到切线的距离等于半径得：所求的圆的方程为．【例2】求圆心在直线上，并且经过原点和点的圆的方程．【答案】【解析】设所求的圆的方程为．由，得解此方程组，得所求圆的方程为．【例3】圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程．【解析】因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率为，因此线段的垂直平分线的方程是，即，解方程组，得，即圆心坐标为，圆的半径，所以圆的标准方程为．精彩解读【试题来源】人教A版必修2P132A组T3【母题评析】此题考查直线和圆的位置关系、圆的方程的求法，考查考生的分析问题解决问题的能力．【思路方法】结合圆的切线的性质和圆的标准方程解题．【试题来源】人教A版必修2P144A组T2【试题来源】人教版A版必修2P120例3．【母题评析】此题三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】此题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程．II．考场精彩·真题回放【例1】【2023高考江苏13】在平面直角坐标系中，点在圆上，假设，那么点的横坐标的取值范围是▲．【答案】．【解析】设，那么，把代入，得，点的横坐标的取值范围是．【例2】【2023高考天津卷】圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，那么圆的方程为___________．【答案】【解析】设圆心为，那么由题意，得，解得，所以圆的半径为，故圆的方程为．【例3】【2023浙江高考卷】，方程表示圆，那么圆心坐标是_____，半径是______．【答案】；5．【解析】由题意，得．当时方程为，即，圆心为，半径为5；当时方程为，不表示圆．【例4】【2023高考陕西卷】假设圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，那么圆的标准方程为_______．【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：．【例5】【2023高考北京卷】圆心为且过原点的圆的方程是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，那么圆的标准方程为，应选D．【例6】【2023高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________．【答案】【解析】由题意得：圆的半径，当且仅当时取等号，所以半径最大为，故所求的圆的方程为．【命题意图】这类题主要考查圆的方程的求法、圆的方程的应用，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等．【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：〔1〕直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；〔2〕待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数或的方程．有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷．III．理论根底·解题原理考点一圆的标准方程1．标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是．特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：．2．点与圆的位置关系：〔1〕设点到圆心的距离为，圆半径为：①点在圆内；②点在圆上；③．点在圆外；〔2〕点与圆的位置关系：①当，点在圆外；②当=，点在圆上；③当，点在圆内．考点二圆的一般方程一般方程．①当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；②当时，表示一个点；③当时，方程不表示任何图形．注：方程表示圆的充要条件是：且且．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第〔1〕题中．主要题型：〔1〕根据条件求圆的方程，难度中等；〔2〕根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易．【技能方法】〔1〕直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；〔2〕待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或．〔3〕利用待定系数法时，要善于根据条件的特征来选择圆的方程．如果圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果圆经过某些点，通常可用圆的一般式．【易错指导】〔1〕假设圆的方程确定圆心时，易错误确定圆心为；〔2〕无视二元二次方程表示圆的条件为，使问题的解决建立在纸上谈兵上；〔3〕无视圆方程中两个变量范围，往往会使问题造成多解．V．举一反三·触类旁通考向1构成圆的方程的条件【例1】【2023湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点在圆上，那么的值为〔〕A．1B．C．1或D．2或【答案】B【易错提醒】对于含有参数的二次的方程是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足，且．【跟踪练习】1．【2023贵州遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟】在直角坐标平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，那么的值为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】∵在平面内，过定点P的直线与过定点Q的直线相交与点M，∴P(0，1)，Q(−3，0)，∵过定点P的直线与过定点Q的直线垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵，∴，应选：D．点睛：〔1〕当含参数的直线方程为一般式时，假设要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．〔2〕在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔3〕在求直线方程时，如求与直线平行的直线方程可设为，与直线垂直的直线方程可设为，代入条件求出即可．2．【2023武汉华中师大一附上期末】方程表示一个圆，那么该圆的半径的取值范围横．【答案】．【解析】要使方程表示圆，那么，即，整理得，解得，＝，∴．考向2圆的方程求法【例2】【2023湖南永州模拟】的三个顶点的坐标分别为，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，那么圆的方程为〔〕A．B．C．D．或【答案】D【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：〔1〕直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；〔2〕待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或．【例3】【2023内蒙古包头市模拟】过三点的圆的方程为__________．【答案】【解析】设圆的方程为，其中，将坐标分别代入①，②，③，分别将①代入②，③得，，化简，所以，所以圆的方程是．【例4】【2023江苏兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校12月联考】经过点且圆心是直线与直线的交点的圆的标准方程为________．【答案】【跟踪练习】1．【2023辽宁沈阳四校协作体高三联考】圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切，那么圆的方程为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆心坐标为C〔a，0〕〔a＞0〕，由题意得，，解得a=2．∴圆C的方程为〔x﹣2〕2+y2=4，即，应选：D．2．【2023黑龙江大庆大庆十中、二中、二十三中、二十八中第一次联考】A(－4，－5)、B(6，－1)，那么以线段AB为直径的圆的方程〔〕A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116【答案】B【解析】由题可知，，那么以线段为直径的圆的圆心为：即，半径为，故以线段为直径的圆的方程是，故答案选．3．【2023云南玉溪质检】圆与直线及，都相切，圆心在直线上，那么圆的方程为___________．【答案】【解析】设圆心坐标为，那么有，解得，那么，所以圆的方程为．考向3圆中的最值、范围问题【例5】【2023山东省临沂模拟】点，，点是圆：上的动点，那么面积的最大值与最小值之差为___________．【答案】【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：〔1〕将条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；〔2〕根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理．【跟踪练习】1．【2023重庆巴蜀中学模拟】圆和两点，假设圆上存在点，使得，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得的圆心为，半径为．因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最大值为，又由，可得以为直径的圆与圆有交点，所以，应选D．2．【2023安徽皖南八校高三第二次〔12月〕联考】直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，那么直线的倾斜角的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，应选A．3．【2023陕西西安上学期质检】直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C4．【2023黑龙江海林朝鲜中学模拟】两点，〔〕，假设曲线上存在点，使得，那么正实数的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，假设曲线上存在点，使得，那么两圆有交点，所以，解得，选B．5．【2023“超级全能生〞26省9月联考】正的边长为，在平面中，动点满足是的中点，那么线段的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】如下列图，以A点为原点，建立坐标系，，M(x，y)，由是的中点，可知，得，即点M轨迹满足圆的方程，圆心．所以，选A．【点睛】圆上的动点与圆外一定点线段上的比例点的轨迹是圆．考向4与圆有关的轨迹问题【例6】【2023宁夏银川一中上学期第四次月考】点是圆上的动点，点与点关于点〕对称，那么点的轨迹方程是___________．【答案】【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，那么可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法．一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．【跟踪练习】1．【2023河北省冀州市中学高三上开学考试】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆上动点，它与定点连线的中点，由中点坐标公式得，所以，因为在圆满足：，把代入方程得，选C．2．【2023河南高三12月联考】点，是圆：上任意一点，假设线段的中点的轨迹方程为，那么的值为〔〕A．1B．2C．3D．【答案】D考向5关于特殊点与直线的对称问题【例7】【2023吉林白城一中模拟】圆与圆关于直线对称，那么圆的方程为___________．【答案】【解析】圆心关于直线对称的点为，所以圆C的方程为．【方法点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特成效，大大提高了解题能力与速度．此题根据圆的图象的对称性，将圆上存在两点关于直线对称，转化为圆心在直线上是解题的关键．【跟踪练习】1．【2023成都市高中毕业班摸底】圆上存在两点关于直线对称，那么实数___________．【答案】【解析】因为圆的圆心为，且圆上存在两点关于直线对称，所以直线过，即，解得．2．【2023上海徐汇一模】圆与圆关于直线对称，那么圆的方程是_____．【答案】【解析】因为O关于直线对称点为〔-5，-5〕，所以圆的方程是考向6圆与其它知识的交汇【例8】【2023江西新余一中上期开学考试】圆，在圆中任取一点，那么点的横坐标小于的概率为〔〕A．B．C．D．以上都不对【答案】B【例9】【2023宁夏六盘山模拟】假设直线过圆的圆心，那么的最小值是〔〕A．8B．12C．16D．20【答案】C【解析】圆的圆心在直线上，所以，即，代入得〔当且仅当时等号成立〕，所以的最小值是，应选C．【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：〔1〕通过圆中相关线段对应的向量