2018届数学大复习第八章解析几何第五节椭圆理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE33-学必求其心得，业必贵于专精第五节椭圆☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1。掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率)；2。了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷Ⅲ，11，5分(椭圆的几何性质)2016，天津卷，19,14分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系）2016，浙江卷，9，5分(椭圆的几何性质)2016，江苏卷，10，5分（椭圆的几何性质）2015，全国卷Ⅰ，14,5分（椭圆的几何性质）椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维量都比较大，这是椭圆命题的一个显著特征。微知识小题练自|主|排|查1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于｜F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合P＝｛M||MF1|＋｜MF2｜＝2a，｜F1F2|＝2c,其中a＞0，c＞0，且a（1)若a＞c，则集合P为椭圆；（2）若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）eq\f(y2，a2）＋eq\f（x2,b2）＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0），A2（a,0）B1(0，－b），B2（0,b）A1（0，－a），A2(0，a）B1（－b,0），B2（b，0）轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为焦距｜F1F2｜＝离心率e＝eq\f(c,a)∈（0，1）a，b,c的关系c2＝a2－b23．椭圆中常用的4个结论(1）设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y），则当x＝0时，｜OP|有最小值b，这时P在短轴端点处;当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处.（2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长,a2＝b2＋c2.（3）已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a（4)若P为椭圆上任一点,F为其焦点,则a－c≤|PF|≤a＋c.微点提醒1．在求椭圆的离心率时,椭圆中a,b，c之间的关系容易忽略。2．椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度：离心率越大,椭圆越扁;离心率越小，椭圆越圆。3．方程Ax2＋By2＝1(AB≠0）表示椭圆的充要条件是A〉0，B〉0且A≠B.小｜题|快｜练一、走进教材1．（选修2－1P40例1改编)若F1(3，0)，F2（－3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（)A.eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1 B。eq\f（x2,100）＋eq\f（y2，9）＝1C。eq\f（y2,25）＋eq\f(x2,16）＝1 D.eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，16）＝1或eq\f（y2，25)＋eq\f(x2,16）＝1【解析】设点P的坐标为(x,y),因为｜PF1|＋｜PF2|＝10〉|F1F2|＝6,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r（a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq\f(x2，25）＋eq\f（y2,16)＝1.故选A。【答案】A2．(选修2－1P49A组T6改编）设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PFA.eq\f(\r(2），2） B。eq\f（\r(2)－1,2）C．2－eq\r（2） D.eq\r(2)－1【解析】解法一：设椭圆方程为eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1,依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|,则eq\f（b2，a)＝2c,即eq\f(a2－c2，a)＝2c,即e2＋2e－1＝0，解得e＝eq\r（2)－1。故选D.解法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，|PF1｜＝2eq\r（2)c.因为｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，所以2eq\r（2）c＋2c＝2a，所以e＝eq\f（c，a)＝eq\f（1，\r（2）＋1)＝eq\【答案】D二、双基查验1．设P是椭圆eq\f(x2，4)＋eq\f(y2，9）＝1上的点，若F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF1｜＋｜PF2|等于()A．4 B．8C．6 D．18【解析】依定义知|PF1｜＋|PF2|＝2a【答案】C2．方程eq\f(x2,5－m）＋eq\f（y2,m＋3）＝1表示椭圆，则m的范围是(）A．(－3，5） B．(－5，3)C．(－3，1)∪(1,5） D．(－5，1）∪(1,3)【解析】由方程表示椭圆知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5－m＞0，，m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1。故选C。【答案】C3．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，4＋k)＝1的离心率为eq\f（4,5),则k的值为(）A．－21 B．21C．－eq\f（19,25)或21 D.eq\f(19,25）或21【解析】若a2＝9，b2＝4＋k,则c＝eq\r（5－k)，由eq\f(c，a）＝eq\f(4，5）,即eq\f（\r（5－k),3）＝eq\f（4,5），得k＝－eq\f(19，25）；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，由eq\f（c，a)＝eq\f(4，5），即eq\f(\r（k－5），\r(4＋k)）＝eq\f（4,5)，解得k＝21。故选C.【答案】C4．已知椭圆的一个焦点为F（1,0)，离心率为eq\f(1，2),则椭圆的标准方程为________.【解析】设椭圆的标准方程为eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0)，因为椭圆的一个焦点为F（1，0),离心率e＝eq\f(1，2)，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1,，\f(c,a）＝\f(1，2），，a2＝b2＋c2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2c＝2，，b2＝3，))故椭圆的标准方程为eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,3)＝1。【答案】eq\f(x2，4)＋eq\f（y2,3）＝15．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF1|＝2｜PF2｜，∠PF1F2【解析】在三角形PF1F2sin∠PF2F1＝1,即∠PF2F1＝eq\f(π，2）,设|PF2｜＝1,则｜PF1|＝2，｜F2F1|＝eq\r(3)，所以离心率e＝eq\f(2c,2a）＝eq\f（\r(3)，3）。【答案】eq\f（\r（3）,3）第一课时椭圆的概念及其性质微考点大课堂考点一椭圆的定义及应用【典例1】（1）（2016·北京东城期末)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2 B．4C．8 D．2eq\r（2）(2)F1，F2是椭圆eq\f（x2,9)＋eq\f（y2,7)＝1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2＝45°,则△AF1F2的面积为（）A．7 B。eq\f(7,4）C.eq\f（7，2） D。eq\f(7\r（5）,2)【解析】（1）因为椭圆方程为4x2＋y2＝1,所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB｜＋|AF2｜＋|BF2｜＝｜AF1｜＋|BF1｜＋｜AF2|＋｜BF2|＝(|AF1｜＋｜AF2|）＋(｜BF1｜＋|BF2|）＝4a（2）由题意得a＝3，b＝eq\r(7),c＝eq\r（2），∴｜F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6。∵｜AF2｜2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2｜AF1｜·｜F1F2|cos45°＝｜AF1｜2－4|AF1|＋8，∴（6－|AF1｜）2＝|AF1｜2－4|AF1｜＋8。∴|AF1｜＝eq\f（7,2).∴S＝eq\f(1,2）×eq\f（7，2)×2eq\r（2)×eq\f（\r(2）,2)＝eq\f（7,2）.故选C。【答案】（1）B(2)C反思归纳1.椭圆定义的应用范围（1）确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。(2)解决与焦点有关的距离问题。2．焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求｜PF1||PF2｜；通过整体代入可求其面积等.【变式训练】(1)已知Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，0)),B是圆eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2))）2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为________。(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点,A（1，1）是一定点.求｜PA｜＋｜PF|的最大值和最小值。【解析】（1）如图，由题意知|PA|＝|PB|,｜PF｜＋|BP|＝2。所以|PA｜＋|PF｜＝2且｜PA|＋|PF｜>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆,a＝1，c＝eq\f(1，2)，b2＝eq\f（3,4）。所以动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(4，3)y2＝1.(2)如图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6。∴｜PA|＋|PF｜＝｜PA｜－|PF1|＋6。利用－|AF1|≤|PA|－｜PF1|≤｜AF1｜(当P,A，F1共线时等号成立），∴｜PA|＋|PF|≤6＋eq\r（2），｜PA|＋｜PF|≥6－eq\r(2）.故|PA｜＋|PF｜的最大值为6＋eq\r（2),最小值为6－eq\r（2)。【答案】(1）x2＋eq\f（4,3)y2＝1（2)最大值6＋eq\r（2），最小值6－eq\r(2)考点二椭圆的标准方程及其应用【典例2】（1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A.eq\f（x2，5)＋y2＝1B。eq\f(x2，4)＋eq\f(y2，5）＝1C.eq\f（x2，5）＋y2＝1或eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，5)＝1D．以上答案都不对（2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f（y2,b2)＝1（0<b<1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点。若|AF1｜＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为___________________________________________________.【解析】(1）直线与坐标轴的交点为(0，1），（－2，0）,由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5）＋y2＝1。当焦点在y轴上时，b＝2,c＝1,所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(y2，5）＋eq\f（x2，4)＝1.（2)设F1（－c,0)，F2（c，0），其中c＝eq\r（1－b2)，则可设A（c，b2），B（x0，y0），由｜AF1|＝3|F1B｜，可得eq\o(AF1,\s\up6（→)）＝3eq\o（F1B，\s\up6(→)）,故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2c＝3x0＋3c,,－b2＝3y0,)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c,,y0＝－\f(1，3）b2，）)代入椭圆方程可得eq\f（251－b2，9）＋eq\f（1,9）b2＝1，解得b2＝eq\f（2，3)，故椭圆方程为x2＋eq\f(3y2，2)＝1.【答案】(1)C(2)x2＋eq\f(3y2，2）＝1反思归纳求椭圆标准方程的两种常用方法（1)定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程。(2)待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A>0，B〉0，A≠B)。【变式训练】（1)已知椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2)＝1（a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3），过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r（3)，则C的方程为（)A。eq\f(x2，3）＋eq\f（y2,2）＝1 B。eq\f(x2，3)＋y2＝1C。eq\f(x2，12)＋eq\f(y2，8)＝1 D。eq\f（x2，12)＋eq\f(y2，4）＝1(2)过点(eq\r(3），－eq\r（5）)，且与椭圆eq\f(y2，25)＋eq\f（x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_________________________________________________________。【解析】(1)因为△AF1B的周长为4eq\r(3)，所以4a＝4eq\r(3)，所以a＝eq\r（3），因为离心率为eq\f（\r(3)，3）,所以c＝1，所以b＝eq\r（a2－c2）＝eq\r(2)，所以椭圆C的方程为eq\f（x2,3）＋eq\f(y2，2)＝1。故选A.（2）椭圆eq\f（y2，25）＋eq\f(x2,9）＝1的焦点为(0，－4），(0,4），即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r（3）－02＋－\r（5）＋42）＋eq\r（\r（3)－02＋－\r(5）－42)，解得a＝2eq\r(5）。由c2＝a2－b2可得b2＝4。所以所求椭圆的标准方程为eq\f（y2,20)＋eq\f（x2,4）＝1。【答案】（1）A(2)eq\f（y2，20)＋eq\f(x2，4）＝1考点三椭圆的简单几何性质……多维探究角度一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例3】已知点F1,F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o（PF1，\s\up6（→)）＋eq\o(PF2，\s\up6（→))|的最小值是(）A．0 B．1C．2 D．2eq\r（2)【解析】设P(x0，y0），则eq\o(PF1，\s\up6(→)）＝（－1－x0，－y0），eq\o(PF2，\s\up6（→))＝(1－x0，－y0)，∴eq\o（PF1，\s\up6(→））＋eq\o(PF2,\s\up6(→））＝(－2x0，－2y0），∴｜eq\o（PF1,\s\up6(→)）＋eq\o(PF2,\s\up6（→)）｜＝eq\r(4x\o\al（2，0)＋4y\o\al(2，0）)＝2eq\r(2－2y\o\al(2，0）＋y\o\al(2，0））＝2eq\r(－y\o\al(2，0）＋2)。∵点P在椭圆上，∴0≤yeq\o\al（2，0）≤1,∴当yeq\o\al（2,0）＝1时，｜eq\o(PF1，\s\up6（→))＋eq\o（PF2，\s\up6（→))|取最小值2.故选C。【答案】C角度二：求离心率的值或范围【典例4】（1)（2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a〉b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.eq\f（1,3） B。eq\f(1,2）C.eq\f（2，3） D。eq\f（3，4)（2)（2015·福建高考）已知椭圆E:eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b〉0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点。若｜AF｜＋｜BF｜＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f（4，5），则椭圆E的离心率的取值范围是（)A。eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f（\r(3)，2）)) B。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（3，4））)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，2)，1）) D。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4),1）)【解析】（1）设E（0，m），则直线AE的方程为－eq\f(x,a）＋eq\f（y，m）＝1，由题意可知Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－c，m－\f(mc,a））），eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（m,2）))和B（a,0)三点共线，则eq\f（m－\f（mc,a)－\f(m,2），－c）＝eq\f（\f(m，2),－a)，化简得a＝3c,则C的离心率e＝eq\f（c,a）＝eq\f(1，3)。故选A.（2）不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形,所以|AF｜＋｜BF｜＝|BF2|＋|BF|＝2a＝4,所以a＝2,设M（0,b）,所以d＝eq\f(4,5）b≥eq\f（4,5)⇒b≥1，所以e＝eq\r（1－\f（b2,a2))＝eq\r（1－\f(b2,4）)≤eq\r（1－\f(1，4)）＝eq\f(\r（3）,2）,又e∈（0，1)，所以e∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（\r(3),2)））。故选A。【答案】（1)A(2）A反思归纳1.求椭圆离心率的方法（1）直接求出a，c的值,利用离心率公式直接求解。(2）列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式）求解。2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系。微考场新提升1．曲线eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k）＋eq\f(y2，9－k)＝1（k<9)的(）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析c2＝25－k－（9－k）＝16，所以c＝4,所以两个曲线的焦距相等。故选D。答案D2．椭圆eq\f（x2，16）＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的面积为（)A.eq\f(21,2） B。eq\f（21，4）C。eq\f(21,8） D．21解析依题意得|AB|＝eq\f(2b2，a）＝eq\f（7，2），|F1F2｜＝2eq\r(16－7)＝6，因此△ABF2的面积等于eq\f(1,2)｜AB|×｜F1F2|＝eq\f（1,2)×eq\f（7，2）×6＝eq\f(21,2）.故选A。答案A3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1，4),则该椭圆的离心率为()A。eq\f（1,3) B.eq\f(1，2)C。eq\f（2,3） D.eq\f（3,4)解析通性通法:不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点(－c，0），b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得eq\f（bc，\r(b2＋c2))＝eq\f（1,4）×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以eq\f(c2,a2）＝eq\f(1,4)，即e2＝eq\f(1,4),所以e＝eq\f(1，2）（e＝－eq\f(1，2)舍去).故选B。光速解法：不妨设直线l过椭圆的上顶点（0,b）和左焦点(－c，0)，b〉0，c>0,则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0,由已知得eq\f(bc,\r（b2＋c2）)＝eq\f(1，4)×2b，所以eq\f（bc,a）＝eq\f(1,4)×2b，所以e＝eq\f（c，a)＝eq\f（1，2)。故选B.答案B4．(2016·安徽皖西七校联考）已知圆M：（x＋eq\r（5)）2＋y2＝36，定点N(eq\r(5)，0),点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足eq\o(NP,\s\up6(→））＝2eq\o（NQ，\s\up6(→）），eq\o(GQ,\s\up6（→））·eq\o（NP,\s\up6(→))＝0，则点G的轨迹方程是__________。解析由eq\o（NP，\s\up6（→))＝2eq\o（NQ，\s\up6(→)）,eq\o(GQ,\s\up6(→））·eq\o(NP,\s\up6(→））＝0知,GQ是线段NP的垂直平分线，｜GN｜＝|GP|，∴|GM｜＋｜GN|＝|MP|＝6。点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由2a＝6，得a＝3。又c＝eq\r(5)，∴b2＝4。点G的轨迹方程为eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，4)＝1.答案eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，4)＝15．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆,已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率为________。解析由题意知∠F1MF2＝eq\f(π,2)，｜MF2|＝c，|F1M｜＝2a－c，则c2＋（2a－c）2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1。答案eq\r（3）－1第二课时椭圆的综合问题微考点大课堂考点一直线与椭圆的相交弦长问题【典例1】椭圆两顶点A(－1，0），B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C,D两点。当｜CD｜＝eq\f（3,2）eq\r(2）时,求l的方程。【解析】由题意b＝1，c＝1。∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为eq\f(y2，2)＋x2＝1.若直线l斜率不存在时，|CD|＝2eq\r(2）,不合题意。若直线l斜率存在时，设l方程y＝kx＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,,y2＋2x2＝2，）)得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0。Δ＝8（k2＋1）〉0恒成立。设C(x1,y1），D(x2，y2).∴x1＋x2＝－eq\f（2k，k2＋2)，x1x2＝－eq\f（1,k2＋2）.∴|CD|＝eq\r（1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2）＝eq\f(2\r（2)k2＋1，k2＋2）。即eq\f(2\r(2)k2＋1，k2＋2)＝eq\f(3\r(2），2)，解得k2＝2.∴k＝±eq\r(2）。∴直线l方程为eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r（2)x＋y－1＝0。【答案】eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r（2）x＋y－1＝0反思归纳1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。2．设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1）,B（x2,y2），则｜AB｜＝eq\r（1＋k2［x1＋x22－4x1x2］）＝eq\r（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,k2)))［y1＋y22－4y1y2]）(k为直线斜率）。【变式训练】已知椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝eq\f（\r（5），5），直线l交椭圆于M，N两点。(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式。【解析】(1)由已知得b＝4，且eq\f(c，a)＝eq\f(\r(5)，5)，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,5）。∴eq\f（a2－b2，a2）＝eq\f（1,5），解得a2＝20。∴椭圆方程为eq\f（x2，20)＋eq\f（y2，16)＝1。则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立。消去y，得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝eq\f(40,9).∴所求弦长|MN|＝eq\r（1＋12)|x2－x1|＝eq\f(40\r(2),9)。（2）椭圆右焦点F的坐标为(2,0）,设线段MN的中点为Q(x0,y0)，由三角形重心的性质知eq\o(BF，\s\up6（→））＝2eq\o（FQ，\s\up6（→）)。又B（0，4)，∴(2，－4）＝2(x0－2，y0)。故得x0＝3,y0＝－2，即得Q的坐标为(3，－2）。设M(x1，y1），N(x2，y2),则x1＋x2＝6,y1＋y2＝－4，且eq\f（x\o\al（2，1）,20）＋eq\f（y\o\al（2,1)，16)＝1，eq\f(x\o\al(2，2）,20)＋eq\f（y\o\al(2，2），16）＝1。以上两式相减，得eq\f(x1＋x2x1－x2，20)＋eq\f(y1＋y2y1－y2，16)＝0。∴kMN＝eq\f（y1－y2,x1－x2)＝－eq\f（4，5）·eq\f（x1＋x2，y1＋y2）＝－eq\f(4，5)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（6,4）)）＝eq\f（6，5)。故直线MN的方程为y＋2＝eq\f(6,5)（x－3),即6x－5y－28＝0。【答案】（1)eq\f(40\r（2),9）(2)6x－5y－28＝0考点二中点弦问题【典例2】已知椭圆eq\f(x2，2）＋y2＝1.（1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;（2）过N（1，2）的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；（3）求过点Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,\f(1,2）)）且被P点平分的弦所在直线的方程。【解析】设弦的两端点为A(x1，y1)，B（x2,y2）,中点为M（x0，y0)，则有eq\f（x\o\al（2，1）,2）＋yeq\o\al（2,1）＝1，eq\f(x\o\al（2，2）,2)＋yeq\o\al（2,2)＝1。两式作差，得eq\f（x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0。∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f（y2－y1，x2－x1）＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0）。①（1）设弦中点为M(x,y），由①式，2＝－eq\f（x，2y），∴x＋4y＝0.又点M(x，y）在椭圆内部。故所求的轨迹方程为x＋4y＝0eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（4，3)<x〈\f(4,3)))。（2)不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M（x，y)，由①式kl＝kAB＝－eq\f（x，2y）.又∵kl＝kMN＝eq\f（y－2,x－1），∴－eq\f(x，2y）＝eq\f（y－2,x－1).整理，得x2＋2y2－x－4y＝0eq\f（2－4\r(7)，9)<x<eq\f(2＋4\r（7），9)，eq\f(4－\r（7)，9）<y〈eq\f(4＋\r（7),9），此即所求的轨迹方程。(3)由①式，弦所在的直线的斜率k＝－eq\f（x0,2y0）＝－eq\f（1，2）,∴其方程为y－eq\f(1，2)＝－eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（1,2）)）,即2x＋4y－3＝0。【答案】（1)x＋4y＝0eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（4,3)〈x〈\f(4,3））)(2）x2＋2y2－x－4y＝0eq\f（2－4\r（7)，9)〈x〈eq\f(2＋4\r（7)，9)，eq\f（4－\r(7)，9）<y〈eq\f（4＋\r（7)，9)(3)2x＋4y－3＝0反思归纳本类型题目常见问题有：①过定点被定点平分的弦所在直线的方程;②平行弦中点轨迹;③过定点的弦的中点的轨迹.解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理"和“点差法”.这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点。【变式训练】(2016·南昌二模)已知椭圆：eq\f(y2，9)＋x2＝1，过点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2),\f(1，2）)）的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（）A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0【解析】设A(x1，y1）,B(x2，y2)，因为A，B在椭圆eq\f(y2,9）＋x2＝1上,所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al（2，1）,9)＋x\o\al(2，1)＝1，，\f(y\o\al(2，2）,9）＋x\o\al（2，2）＝1，））两式相减得eq\f（y\o\al(2，1）－y\o\al(2，2),9）＋xeq\o\al(2，1）－xeq\o\al(2，2）＝0，得eq\f（y1－y2y1＋y2，9)＋（x1－x2)（x1＋x2)＝0，又弦AB被点Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f（1，2))）平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1,将其代入上式得eq\f（y1－y2，9）＋x1－x2＝0，得eq\f(y1－y2，x1－x2)＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－eq\f（1，2）＝－9eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）)),即9x＋y－5＝0。故选B。【答案】B考点三最值与范围问题【典例3】(2017·大庆模拟)P为椭圆eq\f(x2,16）＋eq\f(y2，15）＝1上任意一点，EF为圆N:（x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq\o（PE,\s\up6（→））·eq\o（PF,\s\up6(→）)的取值范围是（）A．［0，15] B．[5,15］C．[5，21] D．(5,21）【解析】eq\o(PE，\s\up6(→))·eq\o（PF,\s\up6（→））＝（eq\o(PN,\s\up6（→））＋eq\o(NE,\s\up6(→）))·(eq\o（PN,\s\up6(→))＋eq\o（NF,\s\up6(→)))＝（eq\o(PN,\s\up6（→）)＋eq\o（NE，\s\up6（→）））·(eq\o（PN,\s\up6（→))－eq\o(NE，\s\up6（→)))＝eq\o(PN,\s\up6(→))2－eq\o(NE,\s\up6(→）)2＝｜eq\o（PN,\s\up6（→)）|2－4，因为a－c≤｜eq\o(PN，\s\up6（→）)｜≤a＋c，即3≤｜eq\o(PN，\s\up6(→))｜≤5，所以eq\o(PE，\s\up6（→））·eq\o（PF,\s\up6(→)）的范围是［5,21]。故选C。【答案】C反思归纳解决椭圆中与向量有关问题的方法(1）设出动点坐标,求出已知点的坐标。（2)写出与题设有关的向量的坐标.(3）利用向量的有关知识解决与椭圆、直线有关的问题.（4）将向量问题转化为实际问题。【变式训练】椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f（y2,3）＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上任一点，则｜eq\o（PF1,\s\up6（→）)｜·|eq\o（PF2,\s\up6(→）)｜的取值范围是（)A．（0,4] B．(0，3]C．［3,4) D．［3，4]【解析】因为椭圆eq\f(x2,4）＋eq\f(y2，3)＝1的左、右焦点分别为F1(－1,0),F2(1,0)，设P(2cosθ,eq\r（3)sinθ），θ∈R。所以eq\o（PF1,\s\up6（→））＝（－1－2cosθ，－eq\r(3）sinθ)，eq\o（PF2，\s\up6(→)）＝（1－2cosθ，－eq\r(3）sinθ),所以|eq\o(PF1,\s\up6(→））｜·|eq\o(PF2,\s\up6(→))｜＝eq\r（－1－2cosθ2＋3sin2θ）·eq\r(1－2cosθ2＋3sin2θ)＝eq\r(2＋cosθ2）·eq\r（2－cosθ2）＝4－cos2θ。因为θ∈R，cos2θ∈[0,1］，4－cos2θ∈［3，4］，所以｜eq\o(PF1，\s\up6(→)）|·｜eq\o（PF2，\s\up6（→)）|的取值范围是［3，4］。故选D.【答案】D考点四由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质【典例4】（2016·全国卷Ⅱ）已知椭圆E：eq\f（x2，t）＋eq\f（y2,3)＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点,斜率为k(k>0）的直线交E于A，M两点,点N在E上，MA⊥NA。(1)当t＝4,｜AM｜＝｜AN｜时，求△AMN的面积；(2)当2|AM｜＝|AN|时，求k的取值范围。【解析】(1)当t＝4时,椭圆E的方程为eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1，A点坐标为（－2,0），设直线AM的方程为y＝k(x＋2)。由｜AM｜＝|AN|可得M，N关于x轴对称,由MA⊥NA，可得直线AM的斜率为1,直线AM方程为y＝x＋2，代入椭圆eq\f（x2，4)＋eq\f(y2，3)＝1得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或－eq\f(2,7）,Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2，7），\f（12，7))），Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2,7)，－\f（12，7)））。于是△AMN的面积为eq\f(1，2）×eq\f（24,7）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2,7)＋2））＝eq\f（144，49)。(2)由题意知A(－eq\r(t），0)。设直线AM的方程为y＝k（x＋eq\r（t））,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2，t）＋\f（y2，3)＝1,，y＝kx＋\r（t），））得(3＋tk2）x2＋2teq\r(t）k2x＋t2k2－3t＝0，解得x＝－eq\r(t）或x＝－eq\f（t\r(t）k2－3\r(t),3＋tk2），所以|AM|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f(t\r(t）k2－3\r（t)，3＋tk2)＋\r(t））)＝eq\r（1＋k2）·eq\f（6\r(t）,3＋tk2)。同理可得|AN|＝eq\r(1＋k2）·eq\f(6\r（t),3k＋\f(t,k））。因为2｜AM｜＝|AN|，所以2·eq\r(1＋k2）·eq\f(6\r(t）,3＋tk2)＝eq\r（1＋k2)·eq\f(6\r（t），3k＋\f(t,k）），整理得t＝eq\f(6k2－3k,k3－2）。因为椭圆E的焦点在x轴上,所以t〉3,即eq\f(6k2－3k,k3－2)〉3，整理得eq\f(k2＋1k－2，k3－2）〈0，解得eq\r（3，2）〈k<2。所以k的取值范围为（eq\r(3，2)，2)。【答案】（1)eq\f(144，49）(2）（eq\r(3，2），2)反思归纳求解有关直线、椭圆与三角形面积的综合问题的关键：一是公式意识，即会利用三角形的面积公式,把所求的三角形的面积转化为求距离、求角的问题；二是方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；三是不等式意识，需认真审题，寻找关于参数的不等式,如本题,由椭圆E的焦点在x轴上，得t〉3。【变式训练】已知椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b〉0)的左，右焦点分别为F1，F2,且｜F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A,B两点。(1)若△AF1F2(2)①若k＝eq\f（\r（2),4），且A，B，F1，F2四点共圆,求椭圆离心率e的值；②在①的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，若直线PA的斜率k1∈（－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围。【解析】（1)｜F1F2|＝6，即2c＝6,c＝3,又|AF1|＋|AF2｜＝2a，而｜AF1|＋|AF2｜＋|F1F2｜＝16，所以2a＝10，a＝5，b＝4,故椭圆的标准方程为eq\f（x2，25)＋eq\f（y2，16）＝1。(2）①若A，B,F1，F2四点共圆,则AB，F1F2互相平分，必定有AF2⊥BF2将y＝eq\f(\r(2),4)x与eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1联立整理,可得（a2＋8b2）x2－8a2b2＝0,设A（x1，y1)，B（－x1，－y1），则xeq\o\al（2,1）＝eq\f(8a2b2，a2＋8b2)，eq\o（F2A，\s\up6(→)）＝（x1－c，y1）,eq\o(F2B,\s\up6（→）)＝(－x1－c，－y1)，eq\o(F2A,\s\up6(→））·eq\o(F2B,\s\up6（→））＝c2－xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al（2,1）＝c2－eq\f(9,8)xeq\o\al(2,1）＝c2－eq\f(9a2b2，a2＋8b2)＝0，即a2c2＋8b2c2＝9a2b2，而b2＝a2－c2,8e4－18e2＋9＝0，解得e2＝eq\f（3,2）(舍去），或e2＝eq\f(3,4）,因此e＝eq\f（\r(3）,2）。②由e＝eq\f（\r（3）,2）和c＝3，可得a＝2eq\r（3),b＝eq\r(3），椭圆的方程为eq\f（x2，12)＋eq\f(y2,3)＝1.由A（x1,y1），B（－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1，x0－x1)，k2＝eq\f（y0＋y1，x0＋x1)，所以k1k2＝eq\f（y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1)，x\o\al（2,0)－x\o\al(2，1））。又yeq\o\al(2，0)＝3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0），12）)），yeq\o\al(2，1）＝3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al（2,1）,12）))，所以eq\f（y\o\al(2,0)－y\o\al（2，1)，x\o\al(2,0）－x\o\al(2，1））＝－eq\f(1，4)，即k1k2＝－eq\f(1，4),k2＝－eq\f（1,4k1)。由－2〈k1<－1可知，eq\f(1,8）〈k2<eq\f（1,4）。故直线PB的斜率k2的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4