一元二次方程重点题型(全)

第第页（共 27页）（1）求证：不论 k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根，求^ABC的周长.【解答】（1）证明：△=（k+3）2―4X3k=（k—3）2>0,故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当^ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k-3）2=0,解得k=3，方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3，故4ABC的周长为：2+3+3=8;当4ABC的一腰长为2时，方程有一根为2,方程为x2-5x+6=0,解得，x1=2，x2=3，故4ABC的周长为：2+2+3=7.（2016?西峡县二模）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-3=0.（1）若原方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；（2）若原方程的一个根是 1，求此时m的值及方程的另外一个根．【解答】解：（1）由题意知，m-1^0,所以m^1.•••原方程有两个不相等的实数根，.・・△=22-4(m-1)X(-3)=12m-8>0,解得：m>|,综上所述，m的取值范围是m>■|且mw1;⑵把x=1代入原方程，得：m-1+2-3=0.解得：m=2.把m=2代入原方程，得：x2+2x-3=0,解得：xi=1,X2=—3.「•此时m的值为2,方程的另外一个根为是-3.(2016?平武县一模)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根.(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)当k=0时，方程变形为x+2=0,解得x=-2;当kr0时，△=(2k+1)2-4?k?2=(2k-1)•••(2k-1)2>0,0,・••当kr0时，方程有实数根，・•・无论k取任何实数时，方程总有实数根；(2)存在，设方程两根为x1、x2,贝1x1+x2=-誓，x<x2=1,•.」+_l=2,即4=2,_2H1・・・廿二2,即-弩=2,k解得：k=-1,故存在实数k使方程两根的倒数和为2.(2016?宛城区一模)已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【解答】(1)证明：当m=0时，方程变形为-2x+2=0,解得x=1;当m^0时，△=(m+2)2-4m?2=(m-2)2>0,方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；(2)设方程的另一个根为t,根据题意得2丑=旭，2t=2,m rr贝U2+t=1+2t,解得t=1,所以m=1,即m的值位1方程的另一个根为1.(2015秋？余干县校级期末)已知x2+y2+6x-4y+13=0,求(xy)2.【解答】解：:x2+y2+6x—4y+13=0,・•.(x+3)2+(y-2)2=0,.・.x+3=0,y-2=0,第第26页（共27页）・・x=-3,y=2,・•.(xy)2=(-3X2)24.30.（2016?洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的亮上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：V5-2.236）.【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm,左、右边衬宽均为3xcm）贝U（40—8x）（30—6x）=1X40X30.整理，得x2-10x+5=0,解之得x=5±2e,・・.xi=0.53,x2=9.47（舍去））答：上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm.解二：设中央矩形的长为4xcm,宽为3xcm,贝U4xX3x=1X40X30,解得xi=4Ex2=