一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)

一个带约束条件的二元函数最值的求法江苏省东海县白塔高级中学 陈大连邮编222345电话近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题一一求带约束条件的二元函数最大值或最小值， 这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.问题(2015届江苏省宿迁市高三一模第 9题)已知实数x,y满足x2xyy21,则xy的最大值为.解法1令xyt,则ytx,将其代入条件得，x2x(tx)(tx)21,整理，xy2,得3x23txt210.令(3t)243(t21)0,解得2t2.当2 2即xxyy1xy1时右边的等号成立，所以t=xy的最大值为2.注此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值， 其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在 .需要提醒的是在得到 2t2时要注意检查等号成立的条件.解法2由x2xyy21配方，得(xy)23xy1,再由基本不等式，得2 xy2 2 xy2 2(xy)213xy13(-y^)2,即(xy)213(1)2,解得(xy)24,即2xy2,从而xy2.当xy1时等号成立，所以xy的最大值为2.注由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式 xy的不等TOC\o"1-5"\h\z式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路 ^「解法3由x2xyy21配方，得(x―)2-y21.令x—cos,—ysin,2 4 2 2则3y73sin,(x—)-yV3sincos，即xy73sincos2 2 22sin(-)2.易见当一时等号成立，所以所求的最大值为2.6 3注由于x2xyy21的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件.解法4由解法3知等式条件可配方为(x与3y21.令xys,—yt,则条件2 4 2 2化为s2 t21,目标函数 xys J3t.由线性规划知识，当动直线 s J3t P与圆2 2. |Pst1相切时P最大或最小，此时圆心到直线的距离 jL1,解得P2,其12(3)2

中2是最大值，即xy的最大值为2.注此解法通过换元将问题化为线性规划问题，借助约束条件与目标函数的几何意义求解，直观明了.解法5当x0时y21,y 1,xy1.2 2 22 2 2(xy)x2xyy当x0时，Qxxyy1,(xy) -—2-2 9xxyyxxyy12y(I)212y(I)212tt21tt2(1tt2)3t

1t t2，其中t?.易求1的1tt x 1tt2最大值为4（只需考虑t0情形），即（xy）24,从而xy2.综合，得所求的最大值为2.注上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次），而目标函数也是齐次式（一次），根据次数关系再将目标函法.x解法6令xy法.x解法6令xyS，则

xyt,y(St)2stst(St)

2 2 2 2范围是[2,2],而s就是xy,2代入x2xyy21,得st2,，一rs23t2 _,一，1,化简，得包工1,它表示椭圆，显然s的取值TOC\o"1-5"\h\z4 4xys,

xyt,所以xy的最大值为2.xys,

xyt,注由于条件中含有xy项，且x2项与y2项的系数相等，若我们作线性代换则可以化去变元的混合乘积项， 使等式条件只含有变元的平方项， 这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解 ^解法7令x y p,x - t,y - t,则（卫 t）2（-t）（- t）（-t）2 1,化2 2 2 22 22 2简，得E3t2 1,所以卫 1,从而p2 4, 2 p2,可见x y的最大值为2.4 4注上解法用的是平均代换，通常当条件为两变元的和等于一常数，会考虑这种方法 .以上各解法能紧扣问题特点，都比较简捷，而下面的解法虽对此题不够简捷，却值得注思.解法8当x,y中有一个为0时，由对称性，不妨x0,则y1,此时xy1.当x,y同号时，因求的是xy的最大值，只须考虑x0,y0情形.此时令xy,x cos2,ysin2,其中 0.代入条件，得2cos4 2cos2sin22 2 1 12 2 31y从而4cos2cos_•2sin, 2 —sin(cossin2 23cossin113sin224当x,y异号时,由对称性，不妨0,y此时令x12 ，cosy tan2，0，代入条件，得214cos2tan22cos2.4tan11tan2 .4-l-ltancoscos综合三种情况，得4cos Z 1.1sinsin2,即xy2,其中等号可取到,所以xy的最大值为2.注若目标函数为2y,则易想到三角换兀cos,ysin,但若目标函数为xy且x,y0,也可考虑三角换元2xcos,ysin2.若目标函数为x2y2,可考虑三角换元1 . ,ytancos，但若目标函数为y(x,y0),则也可考虑令1x —2cos,y2sin解法9xyy21得y|x243x2143x2.2由柯西不等式的二元形式axby•a2b2.x2，得争代x)；G732 12(2)2 (J(3x)2(43x2)22.当§：(1)(疝()："17，即x1时等号成立，所以xy的最大值为2.注上解法用的是消元法，此解法看似平淡无奇，但使用的范围也较广，只要能依据等式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示，都可考虑这一方法.另，使用柯西不等式的r31r_ r这一步也可改为运用向量求解：令 a(―,(1)),b(J3x,V43x2),据a2 2样可得解法10设1 2 /3、2 /1、2，43x，(——) ()2 ■2 2.(3x)2-223x2)2.为待定的正常数，则xy(xy)(y)x(x彳)2)234y(xy232--) (y2 412x412x42x1y2 3(xV) 4(y)2时等号成立，此时2时等号成立，此时21,解得1,从而有y,当y即xy

x 22 2 2xxyy(xy)11,即1(xy)1,即xy2,且等号能成立，所以xy的最大值为2.注此解法先引入待定的系数 ，然后依次对x,y进行配方，当得到两个式子的平方和后便根据其非负性将构建的式子放缩，最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定系数的值，其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法 .这种解法是处理带等式(二元二次整式)约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法 .如果我们在解此类TOC\o"1-5"\h\z题问题时一时没有找到简单的方法，不妨试用这一方法 ^以上10种解法思路各不相同，是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法，希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法，读者可继续探究 .为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法，下面备几道练习题供参考使用：.已知正实数x,y满足2xy2xy3,求xy的最小值.2 y的最小值..已知实数x,y满足2xy2xy3,求4x2y2 y的最小值.2 2 2.已知实数x,y满足x2xy3y1,求x4.已知实数24.已知实数2x,y满足土4__21,则3x2xy的最小值是5.若实数5.若实数x,y满足x24xy4y24x2y24,则x2y的最大值为2.已知正实数x,y满足x23yx2.已知正实数x,y满足x23yx4_ , …—，—10,则xy的取值范围为y2.已知(2xy)=(5+2y)(1-2y),x,y>0,贝U2x+y的最大值为3 3 2.已知头数x,y满足xy1,x0,y0,求(xy2)(xy)的取值范围练习答案：1.2夜3；2.2;3.35；4.64白；5.2 4 逑;6.畤"山;8.4(1，3)练习解答(仅提供一种)：TOC\o"1-5"\h\z32x- 32x1.由2xy2xy3得y ,所以xyx x2x1 2x14 34 32x12所以xy的最小值是2也2.由基本不等式得2x2.2(2x1)2x412且等号能成立.『2x-2[(2x)y2xy2xy(2x)2y2

2J2[(2x)2 y2,解得(2x)2y22当2xy且2xy2xr1 …~y3即x-,y1等号成立，所以24x2y2的最小值为2.3.2 2令xrcos,yrsin，贝Uxy条件化为2 2rcos2 2.22rcossin3rsin21,由此得r22cos22cossin3sin1cos2 1cos2 sin2 3 1

2cos2sin2 11.5cos(2)2叵」，其中等号4能显然成立x14.令- ,ytan2cos124sin4(3sin)

1sin2 (9sin2)8[(3 sin)Esin ——8——即sin3sin25.配方，得(x2y)—3x2cos2xy342-cos4tancos122cos4sin2cos48

(3sin)——3sin46(3sin)83sin(x2y)28,所以x2y(162J(3sin)——, 3sin32y/2时等号成立.4x2y28xy48,(x2y2y)24(xy一21) 8,所以0、4xy2 224y4xy4— 1x J2,y 3时等号成立，故x2y的最大值为42)x210x(2t,则y-,代入条件，得x 43t)0.其判别式1004(1；)(24x

t3t)0,解得110,整理，得- 4. 8..一 8当x2,y一时t一.故xy的取值氾围为［1,一］.3 3 37.对条件配方，得(2xy)24(y1)29.令2xys,2(y1)t,则有s2t2=9(t>s2t2=9(t>2)条件下求p=stt中当动直线p=st2与圆3.22.2t=9(t>