高三数学专题复习多面体外接球半径常见的5种求法

第第页共4页多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球•有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用•一、公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为是.解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.••把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2-2-2-2292R3,339.•R.故其外接球的表面积S4tR29n小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、bc,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有底面周长为3,则这个球的体积为2R.则有986则有986-x2h,41解：设正六棱柱的底面边长为x,高为h，6x3,四、寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为,2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为.•••正六棱柱的底面圆的半径1r2，球心到底解：设正四棱锥的底面中心为。1,外接面的距离d倉•外接球的半径R=.r2d2=1.V球4n.3小结：本题是运用公式R2r2d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式•二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则这个球的表面积是（）A.16nB.20nC.24nD.32n解：设正四棱柱的底面边长为x,外接球的半径为R,则有4x216,解得x2.球的球心为0,如图3所示.•由球的截面的性质，可得OO1丄平面ABCD.又SO1丄平面ABCD,•球心O必在SO1所在的直线上.C•••△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在厶ASC中，由SASC.2,AC2,得SA2SC2AC2.•△ASC是以AC为斜边•2R2"4"2尿R亞..•.这个球的表面积是4tR224n选C.小结：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，3，则其外接球的表面积的Rt△.•-1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球士.3小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究这种等价转化的数学思想方法值得我们学习五、确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为39A.—nB.2nC.3nD.—n225.已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为A竺b•竺129A.4n64nD.-3C.12571解：设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知0A=0B=0C=0D.•••点0到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，如图4所示.•••外接球的半径5亠R0A-.故2DC0V球4tR336n.选C.练习：1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）CA.3^B.UC•空D•仝43412■一个四面体的所有棱长都为，2，四个顶i点在同一球面上，则此球的表面积为（）AA.3nB.4nC.3、J3nD.6n■在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,i/DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）C4、3nAV6nB.C.6nD.虽A.2728244•已知三棱锥A-BCD内接于球0,AB=AD=AC=BD=^,BCD=60°则球0的表面积为（）D6.已知三棱柱ABC-ABC,侧棱AA丄底面ABC,AA=4,BC=.3,A60°,则该三棱柱外接球的表面积为（）CA.18nB.19nC.20nD.21n7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA1=12，则球O的半径为（）A.^B.2怖2【答案】C【解析】由球心作面D.310ABC的垂线，则垂足为5BC中点M.计算AM=-，由垂径定理，OM=6,所以半径R=621328.（2014全国大纲）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2,则该球的表面积为（）81A.B.16C.94【答案】A27D.—49.若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是10.在正三棱锥S-ABC中，M,N分别是SC,BC的中点，且MN丄AM，若侧棱SA=2,3，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是.【答案】36n【解析】一定要用上隐含条件正三棱锥对棱垂直，又MN//BS,可得BS丄SA,BS丄SC.又AS丄BC,AS丄SB得AS丄SC即SA,SB,SC两两垂直.又因正棱锥SA=SB=SC,所以此三棱锥外接球与补成正方体的外接球相同.所以2R=73g応=6,所以R=3.所以正三棱锥S-ABC外接球的表面积是4nR2=36n.（2015•唐山二模）在三棱锥P-ABC中，△ABC与厶PBC都是等边三角形，侧面PBC丄底面ABC,AB=2・.3，则该三棱锥的外接球的表面积为【答案】的表面积为【答案】20C在菱形ABCD中，A=60°,AB=3,将厶ABD沿BD折起到△PBD的位置若平面PBD丄平面CBD，则三棱锥P-BCD的外接球体积为【答案】已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为（）为【答案】36n16.三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.【思路分析】法一：内切球球心O到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB和CD的中点的连线的中点，求出OH即可.法二：先求四面体的体积，再求表面积,利用体积等于表面积和高乘积的1，求出3内切球半径.【解析】法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.设E、F为CD、AB的中点，贝UO在EF上且O为EF的中点.3/7在厶ABE中，AB=6,AE=BE=4,OH=.8A.3B.5C..2D.2CHA【答案】B14.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，侧面PAD丄平面ABCD，/APD=120°,AB=PA=PD=2，则该四棱锥P-ABCD外接球的体积为（）A.32n3【答案】m205nB.-3BC.8-6nD.3615.已知AB是球O的直径，C,D为球面上的两动点，AB丄CD，若四面体ABCD体积的最大值为9,则球O的表面积法二：设球心O到各面的距离为R.4X-S^BCDXR=Va-bcd,31SaBCD=—X6X4=12,2VA-BCD=2Vc-ABE=6^7.••