2019北京通州高一（下）期末数学（教师版）

13/132019北京通州高一（下）期末数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）圆（x﹣1）2+y2＝4的圆心和半径分别是（）A．（﹣1，0），2 B．（1，0），2 C．（﹣1，0），4 D．（1，0），42．（5分）已知向量＝（﹣1，2），＝（2，y），且∥，那么y等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．43．（5分）已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取100辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，那么时速在区间[60，70）内的汽车辆数大约为（）A．30 B．35 C．40 D．454．（5分）北京市某年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示，由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最大的是（）A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，且α∥β，m⊂α，那么下列命题中正确的是（）A．若n⊂β，则m∥n B．若n∥m，则n∥β C．若n⊥m，则n⊥β D．若n⊥β，则n⊥m6．（5分）已知点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣4x＝0上，那么P，Q两点的距离的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图，在△ABC中，已知＝2，＝λ1+λ2，那么等于（）A． B．﹣ C． D．8．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面直角坐标系中的一个点P（a，b）．设“点P（a，b）落在直线x+y＝n上”为事件X．（1≤n≤6，n∈N），当事件Xn的概率最大时，n的值为（）A．3 B．5 C．3或4 D．3或5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）高一（4）班的甲、乙两组同学（每组5人）某次数学测试的成绩用茎叶图表示如图所示．用，分别表示甲、乙两组同学成绩的平均值，那么（填“＜”“＞”或“＝”）10．（5分）已知向量与夹角为60°，且||＝2，||＝3，那么•＝．11．（5分）设直线l：x+2y﹣2＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知点C的坐标是（3，0），那么∠CAB的正切值是；过C点且垂直于直线l的方程是．12．（5分）已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取20%的近视学生进行调查，则样本容量为，从中抽取的高中生近视人数为．小学初中高中人数90007000400013．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，写出满足以下2个条件的一个圆C的圆心坐标：．①r＝2；②直线y＝x与圆C相交，所得弦长为2．14．（5分）已知向量，满足||＝2，与的夹角为，那么||的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）现有5道数学题，其中3道选择题，2道填空题，小明从中随机抽出2道题解答．（Ⅰ）求抽出的2道题都是选择题的概率；（Ⅱ）求抽出的2道题中，至少有1题是选择题的概率．16．（13分）已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）．（Ⅰ）若直线l经过A，C两点，求直线l的方程；（Ⅱ）若圆D经过A，B，C三点，求圆D的方程．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，且AB＝AC，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D．18．（13分）为了解“书香飘万家，每天一小时”亲子阅读活动的开展情况，某社区对600个家庭每天进行亲子阅读的时间进行了调查．从中随机抽取100个家庭，记录他们亲子阅读的时间，将数据分成七组：（30，40]，（40，50]，…，（90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的600个家庭中，随机抽取一个家庭，估计其亲子阅读时间不大于60分钟的概率；（Ⅱ）已知样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的家庭有8个，估计总体中亲子阅读时间在区间（90，100]内的家庭有多少个；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从样本中亲子阅读时间大于80分钟的家庭中随机选取2个家庭，求这2个家庭中，恰有1个家庭的亲子阅读时间大于90分钟的概率．（只需写出结论）19．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2．点E是线段AM的中点．（Ⅰ）求四棱锥D﹣ABCM的体积；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面ABCM；（Ⅲ）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD．请说明理由．20．（14分）已知圆C的圆心为点C（2，0），且与y轴相切，直线l：y＝k（x+2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得直线l与圆C交于M，N两点，且弦MN的中点P到原点O与圆心C的距离相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若直线l上总存在点Q，使得过Q点的圆C的两条切线互相垂直，求k的取值范围．（只需写出结论）

参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．【分析】由题意利用圆的标准方程，得出结论．【解答】解：根据圆的标准方程可得圆（x﹣1）2+y6＝4的圆心和半径分别是（1，7），2，故选：B．【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．2．【分析】直接利用向量共线的坐标运算列式求解．【解答】解：∵＝（﹣1，＝（2，且∥，∴﹣3×y﹣4＝0，即y＝﹣8．故选：A．【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．3．【分析】由频率分布直方图求出时速在区间[60，70）内的频率，由此能求出时速在区间[60，70）内的汽车辆数．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[60，70）内的频率为：0.04×10＝0.5，∴时速在区间[60，70）内的汽车辆数大约为：0.4×100＝40．故选：C．【点评】本题考查时速在区间[60，70）内的汽车辆数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】根据方差是描述数据波动性大小的量，由图得出第四季度中PM2.5的平均浓度指数方差最大．【解答】解：根据图中数据知：第一季度的数据是72.25，43.96；第二季度的数据是66.5，55.25；第三季度的数据是59.36，38.67；第四季度的数据是82.09，104.6；观察得出第四季度的数据波动性最大，所以第四季度的PM8.5平均浓度指数方差最大．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查考查方差的概念与应用问题等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，n∥β或n⊂β，或n⊂α；在C中，n与β相交、平行或n⊂β；在D中，由线面垂直的性质定理得n⊥m．【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，且α∥β，知：在A中，若n⊂β，故A错误；在B中，若n∥m，或n⊂α；在C中，若n⊥m、平行或n⊂β；在D中，若n⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为C1（6，0）1＝2，圆C2：x2+y5﹣4x＝0的圆心坐标为C7（2，0）5＝2．作出两圆图象如图：P，Q两点的距离的最大值是5．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．【分析】由平面向量基本定理及平面向量线性运算得：＝＝＝+3（）＝3﹣2，又＝λ1+λ2，所以λ1＝3，λ2＝﹣2，得解．【解答】解：由＝2，所以＝＝＝+6（﹣2，又＝λ1+λ3，所以λ1＝3，λ7＝﹣2，所以＝＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理及平面向量线性运算，属中档题．8．【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b，组成一个有序数对，共有3×4种方法，要计算事件Xn的概率最大时n的最大值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值．【解答】解：事件Xn的总事件数为为：3×4＝12．只要求出当n＝5，2，3，7，5．当n＝1时，落在直线x+y＝2上的点为（0；当n＝2时，落在直线x+y＝7上的点为（0，（1，当n＝6时，落在直线x+y＝3上的点为（0，（5，（2；当n＝4时，落在直线x+y＝5上的点为（0，（1，（5；当n＝5时，落在直线x+y＝5上的点为（8、（2；当n＝6时，落在直线x+y＝2上的点为（2；∴当n＝3或n＝7时，事件Xn的概率最大，最大值为P＝，故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】由茎叶图分别求出，，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图得：＝（92+94+84+86+79）＝87，＝（91+88+88+89+79）＝87，∴＝．故答案为：＝．【点评】本题考查两组数据的平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求得•．【解答】解：∵向量与夹角为60°|＝2，|，那么•，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．11．【分析】先算出直线与x轴、y轴交点坐标，继而求出直线AB、AC的斜率，用到角公式可以求得∠CAB的正切值；垂直于l的直线斜率是直线l斜率的负倒数，由点斜式可以求得方程．【解答】解：由题意知：A（2，0），3），则kAC＝0，，故∠CAB的正切值是．∵垂直于直线l的直线的斜率为2，∴过C点且垂直于直线l的方程为y﹣0＝8（x﹣3），即2x﹣y﹣3＝0．故答案为：﹣，2x﹣y﹣6＝3．【点评】本题考查直线的方程，到角公式等，属于一般基础题．12．【分析】用分层抽样的方法抽取20%的近视学生进行调查，利用分层抽样、频数分布表、条形图的性质求出样本容量和从中抽取的高中生近视人数．【解答】解：由题意得：用分层抽样的方法抽取20%的近视学生进行调查，则样本容量为：（9000+7000+4000）×20%＝4000．从中抽取的高中生近视人数为：4000×20%×50%＝400．故答案为：4000，400．【点评】本题考查样本容量、频率的求法，考查分层抽样、频数分布表、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．【分析】根据圆的标准方程、两点间距离公式、直线和圆相交弦问题的等价条件进行求解即可．【解答】解：设直线y＝x与圆C相交于A、B两点，则，半径为r＝|CA|＝2，连接CM，可知CM⊥AB，得∴圆心C（a，b）到直线y﹣x＝0的距离为，∴∴满足|b﹣a|＝5的圆心C（a，b）即为所求，C（1，C（﹣1，C（2故答案为（1，﹣1）．【点评】本题主要考查直线和圆的相交问题，数形结合解题时，通常要设点的坐标方便书写计算；直线与圆相交弦问题，使用“点到直线距离公式”与“勾股定理”．14．【分析】设，，则，然后在△OAB中，由正弦定理，得到，再求出OB，进一步得到||的最大值．【解答】解：如图，设，，则，由与的夹角为，得，在△OAB中，由正弦定理，有，则＝，所以当时，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，难度偏易．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n＝＝10，抽出的2道题都是选择题包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出抽出的2道题都是选择题的概率．（Ⅱ）抽出的2道题中，至少有1题是选择题包含的基本事件个数m′＝＝9，由此能求出抽出的2道题中，至少有1题是选择题的概率．【解答】解：（Ⅰ）现有5道数学题，其中3道选择题，小明从中随机抽出5道题解答．基本事件总数n＝＝10，抽出的7道题都是选择题包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽出的2道题都是选择题的概率p＝．（Ⅱ）抽出的7道题中，至少有1题是选择题包含的基本事件个数m′＝，∴抽出的2道题中，至少有3题是选择题的概率p＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．【分析】（Ⅰ）若直线l经过A，C两点，用截距式求直线l的方程，再化为一般式．（Ⅱ）设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，把A、B、C三点的坐标代入，求得d、e、f的值，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0），2），），若直线l经过A，则由截距式求得直线AC的方程为+＝1，即＝0．（Ⅱ）若圆D经过A，B，C三点2+y3+dx+ey+f＝0，则有，求得2+y2﹣4x﹣3＝0．【点评】本题主要考查用截距式求直线的方程，用待定系数法求圆的方程，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥CC1，AD⊥BC，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）连结A1B，交AB1于O，连结OD，推导出OD∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1D．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C2中，CC1⊥底面ABC，且AB＝AC，∴AD⊥CC1，AD⊥BC，∵BC∩CC8＝C，∴AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）连结A6B，交AB1于O，连结OD，∵D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面ADB8，A1C⊄平面ADB1，∴A5C∥平面AB1D．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出亲子阅读时间不大于60分钟的频率，由此能求出从总体的600个家庭中，随机抽取一个家庭，估计其亲子阅读时间不大于60分钟的概率．（Ⅱ）求出样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的频率为＝0.08，由频率分布直方图得到亲子阅读时间在区间（90，100]内的频率，由此能估计总体中亲子阅读时间在区间（90，100]内的家庭的个数．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，样本中亲子阅读时间大于80分钟的家庭有11个，其中样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的家庭有8个，亲子阅读时间在区间（90，100]内的家庭有3个，由此能求出这2个家庭中，恰有1个家庭的亲子阅读时间大于90分钟的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：亲子阅读时间不大于60分钟的频率为：（0.002+0.012+3.015）×10＝0.29，∴从总体的600个家庭中，随机抽取一个家庭，估计其亲子阅读时间不大于60分钟的概率为0.29．（Ⅱ）样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的家庭有6个，∴样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的频率为，由频率分布直方图得：亲子阅读时间在区间（90，100]内的频率为：1﹣（7.002+0.012+0.015+8.04+0.02）×10﹣0.08＝4.03，∴估计总体中亲子阅读时间在区间（90，100]内的家庭有600×0.03＝18个．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，样本中亲子阅读时间大于80分钟的家庭有11个，其中样本中亲子阅读时间在区间（80，90]内的家庭有8个，亲子阅读时间在区间（90，100]内的家庭有5个，从样本中亲子阅读时间大于80分钟的家庭中随机选取2个家庭，基本事件总数n＝＝55，这8个家庭中，恰有1个家庭的亲子阅读时间大于90分钟包含的基本事件个数m＝，∴这7个家庭中，恰有1个家庭的亲子阅读时间大于90分钟的概率为：p＝．【点评】本题考查概率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础