复习卷子2013高数微积分习题册

第一章函数（

yx

微积分练习题册参考解x2（x2（

yarcsinu，u

，这两个函数可以复合成一个函数x2yx2 √）4.

y

x1

（ ）5.

y

在(0,)内（ ）6.

y 1x2

在(0,)内（

1f(x) （

f(xx

g(x)

x

（

y

（ ）10.

f(xsinx

f[(x)]1

，则x的定义域是(0,1（ ）11.yx与y 是同一函数（ ）12.（ ）13.

yx3xyarcsinx2

的定义域是(13)（ ）14.函数ycos

的周期是3 √）15.yx

y x（ ）16.

yxcosxy3u,uv2vtan

yf(x)

3tan2x

x x4x

xx

f(0)

f(x)

2

，则f(2)

f(x)1g(x)1xx

f[g(x)]

1

ye(sinx)2

yeu

u

,vsin

y4x

y1(x3)

f(

，则f(2) 1111y

1xx

x

f(x)

xxx

yln(x

x2

函数ye2xy1lnxye2xy2

函数y

xx

的定义域是（ （A）(2,（C）(,

（B）[2,（D）

yx2(x1)2在区间(0,1)内 （A）单调增 （B）单调减（C）不增不 （D）有增有下列函数中，是奇函数的是 yx4

yx

y2x

y2x

f(x)ax

x

，则f(0)的值为（ a

x2 b

x

（ x0x0 √

x

x与sinx（

f(x00f(x00

f

必在x0点连续（

x

x2sinx与x（ ）5.

y2x2

在(

√

f

在点x0

f(x00)f(x00) √

f(x)

x0

xx

在x

（

x

是函数y

x2x2

（

f(x)sin

（

x

x

ln(1x2

（

f

f(x)

x0（ 若x与y是同一过程下的两个无穷大量，则x

（

y x2

√

1（

x0xsin limxsin11 （

lim(12)xe2 √

数列1,0,1,0,1,

收敛 （ ）18.

yxsin11 x

在x

√

当x0时,1x √）20.f(x)xcosx

，当x时为无穷大 √）21.

x

时，lnx

x

（

x0是函

yln(xx

（

limsinx1 （

limsin2x x0sin （ （

ln(1x)~x √

limxsin1 1 √

lim(1x)xe1 √

limtanx1

limsinx

x7x xxsin

yx x2

x

； y v n5n2 y v

y

，ulnv

1x21x2

11x2

x

时，1cos

是比 高阶的无穷小量

x

时，若sin2x与ax是等价无穷小量，则a

x(xx(x

sin

sin2x

x

f(x)

x

连续，则a

xh x 22 函数y 在

x

lim(12)x

limln(13x)

sin

f(x)

x2

x099

x

（是、否）连续4x4

2

3 （同阶、等价）无穷小量

x0时ysinx

为（ x1时，下列变量中为无穷大量的是（ 1（A）3x

x2

（D）x

x

x

x2

f(x)

x1,1x2,

1x00x

limf

和limf （A）都存 （B）都不存第一个存在，第二个不存在（D）

f(x)

xx

的连续区间是 1（A）1

（B）(1,（D）(,

y4cos

的周期是 （A） （B） 2

f(x)3x

x

f(x) x2x

x

（A） （B） （C） （D）

f(x)

xx

x

处（ 左连 （B）右连 （C）连 （D）左、右皆不连当n时nsinn

是（ （A）无穷小量（B）无穷大量 变量（D）有界变 x05arcsin（A） 5

f(x)

x

f(x)

xx0处连续的（A（A）必要条 （B）充分条 （C）充分必要条件（D）无关条下列极限存在的有

x(x

lime

x02x

x2xx23xx2x

f(x)

x2f(x)

xa

x2求 x

f(x)

x23xx

(x2)(xx

1

limcosx limcosx1＝

sinx

lim(2x13x2x3lim(2x1)x1＝lim1

2)

)2

2x

2x

2x 12lim

2x1lim

x4

x4

1x

4(1) 1

)

4e

12x(1

1)2e11

sinx x

x0

1(11解lim1

…

1)＝lim

1)

12

解lim(12)2nlim12

nn2]4

x)x

1)x

x

x1

x(11 x2

ln

＝x1x

lim2xxx

ex

x0x22

x02x12x100lim(1

x

2 解： 1x1x23

(1x3)((23x(1x3)((23x)(4

(x8)(423x

x2

(8x)(1xlimx

1x x)2xx

xx

x1

xx

3(1xx2 )

x 2x112

1

2x1(1x)(1xx2

x1(1xx （

f(x)

x0点可导，

f(x0)[f(x0 √ f(x)

x0处可导，

f

√

f(x)x

（

f(x)

（

f(x在[a

f

在(a

（ ）6.yef(x则yef(x)f(x（ ）7.

2x2f(x)

x

在x

0x √）8.

f(xxn,

f(n)(0)n!（

d(ax2b)2ax（ ）10.

f(x)

x0

f

在

（ ）11.

f(x)x

在点x

处不可导1f(x) ，则f(0)1

y

在点(1,1)y3x2

yxeexlnxee，则y

exe1ex1 ysin(ex

dy

excos(ex1)dx

yx22xe

，则yx2x1x22xln2

yxn

y(n)

n！

yx

在点(0,1)y2x1；

与

在x

[u(x)]

u'(x)v(x)u(x)v' (xx)=xx(lnx1)f(x)x0处可导，且

f

)A

f(x02hf(x03h)Ah代数式表示为 导数的几何意义为切线的斜率；

y

y1x xx

yx3

(1

y3(x

yx3sin(x21则dy

[3x2sin(x21)2x4cos(x2

y

在点(00)

y dy 的近似值 yxn（n是正整数）的n

f(x)

x0处可导，则下列命题中正确的是（

x

f(x)f(x0)xx0

存

x

f(xf(x0)x

xx0

f(x)f(x0)存 x

f(xf(x0)设f(x)在x处可导且

1

f(x)等

f

2x)f(x （A） （B） （C） （D）x21f(x

1x0

f(x)

x

处 0x （C）不连

yf

f(x2h)f

=

f(x)h

2f(x)h

f(x)h

2f(x)h

f(0)0

limf

limf

等于 （A）f

（B）f

f

2

f

yef(xef(ef(x)[f

y"

ef(x)fef(x){[f'(x)]2f

f(x)(x1)x的导数为 （A）x(x1)xxln

（B）(x1)(x1)x[

f(x)

xx0处连续，是f(x)

xx0处可导的 （A）充分不必要条 （B）必要不充分条（C）充分必要条 （D）既不充分也不必要条

yxlnx

y(10) （A）

f(x)xxx

在x

处 （B）连续且可 （D）不连续也不可

f(x)

xx

x

处 左连 （B）右连 （C）连 （D）左、右皆不连

yex

，则y ex

ex

ex

ex

f(x)

x

x

不连续是因为 x

x（A）f(00)

f

f(00)

ff(00)不存 （D）f(00)不存

f(x2)

x

，则f(x) （A）

(x

（B）

(x

（C）x

x

yln

，则dy 2x

x1

x

1dxxcosx

x

f(x)11

tanx2

x0x

f(x)

x0处（ （A）极限不存 （B）极限存在，但不连（C）连续但不可 （D）可

ysin

，则y(10) （B）cos

sin

cos

f(x)

aarccosx2x2

（a0

f 解：f(x) a ) 24a2af4a2a

x2

1a((a

x24a2(4a4a2(4a2a22

x2(x2a2

y

确定y是x的函数，求解：y'lnxy)]'

1(xy)'xy

1(yxy')xyxyy'y

y'

x(y1)设yln1cos

，求 解y'x(1

1(1)1

xdy(1

x1

x x2sinx

y1x2arctanx1cosx，求2解y'2xarctanx1sinx2

eyyln

确定y是x的函数，求解：eyy'y'lnx dy x(eyln1 设y x)，求1 dyy'dx

1

dx

xlnxx2ye2xx2yarcsin1x2x

y'及y'2e2x2x

(1)y'arcsin12e2x12e2x2xyx2(x2y'

1arcsinx

dyy'dx

2e2x22e2x2xyx2(x2xylntanx 求'及2解：y' sec2x1csc

，dyy'dxcsctan2ysin(xy)，

y'及y'cos(xy1y

y'

cos(xy)1cos(xy)dyy'dx

cos(x 1cos(x

yln5cosx2x

，求y及解y'2xsinx2x3

dyy'dx(2xsinx2

2)dx12x(1yearctanx，求y12x(1y'

x 1x

dyearctanx

2yexxy,求y2

y

y'

ex1

dy

ex1x

ycos23x，求y'2cos3x(sin3x33sin设2y2xsiny02y'2cosyy'

y'

22cos

dyy'dx3e13xcosxe13xsinx)dxe13x(3cosxsin12121

yxln(x

1x2，求y'ln(x

1x2) x11xx11x

yecos2

，求解：y'ecos2x(sin2x22ecos2xsindyy'dx=2ecos2xsin

eyexxy

确定y是x的函数，求eyy'

yxy'

，

exyarctan(2x，求

ey1

) 1(2x

1

1

2x

1x

1y2cosxey

1x确定y是x的函数，求2y

cosxy

sinx

y'0

y2sin2ycosxeyx3cosxecosx，求dyy'dx3x2cosxx3sinxecosxsin

yxln

求解：y'lnx1

y"x

yln(xx x2x x2

x2a2

，求22x2

2x) x2yx2

yxlnx

1y'lnx1y

y‘=xx(lnx已知f(x)sin3x

2fx3cos3xe2

f(x)9sin3x

f()9

y x

2e2xxe2x

e2x(2x

dy

e2x(2x √ y

y4(x1)

√

yx3

在(

是下凹的，在(0

√

x

f(x1x333

[2

（

y

x

√ √ √

y

y4(x1)2x（

x1是曲线y1x31x

（

f

在[a

上连续，在(abax1x2b

(x1x2，使得f(bf(a

√

f(x00f(x00

f(x0

f(x)

f(x)ln(2x

在[0,2]上满足日定理（

x

f

f'(x00（

f

在[a

（ ）14.当xln(1x)~x（

limxsinx1 √）16.

yx3的拐点是(00) √）17.

yf(x)xx0f(x0)0（

f(x00y

f(x)xx0 √）19.

y1ln

（√）20.f(x)(xa)(xxxaf(a)(a（ ）21.y1在区间(0,1内连续，所以在(0,1x

yx

5y(x2)5

的拐点 (2,

yx

x x

（a

n为正整数 幂函数yx（为常数）的弹性函数是 yx22x 的单调递增区间为(, x33函数f(x) 的间断点为xx33

y x2

y2x2ax3

x

处取得极小值，则a

y(x

在(1,)是上凹的，则a

f

在区间(a,b)

f

yf

在(a凹(下凸

f(xx3，则曲

yf

的拐点横坐标是

y32x

x

处的弹性

yx3

）

y

y

Qp(8

，P为价格则需求弹性

44

y(x1)(x

个间断点

y

在[0,5]上满 日中值定理的 5 5

y(x

的单调递增区间 函数yx2cosx在区间[0,]上的最大值 x曲线y 的下凹区间 x

y2x2

在[0,2]上满足日中值定理的 x函数yx x

ysin

在区间[0,π]上满足定理的ξ= （A）

4

2

y1

的铅垂渐近线的方程是

y

（B）y

x

x

yf(x)

x

处取得极大值，则必有

f(x0)f(x00

f(x0)

f(x0)f(x0)

lim( 1)limxlnxx1

lnxx1xx1x ln1

(x1)ln

x1lnx(x1)x＝lim 1x11 x销量为30销量为30销量为30

P10

5（Q为销量销量为30解： P

5

252

R

1205R

120''

R'102Q5

R

105

(4)Q505P（Q30PEQ

1010

(505P)'

10 EP

3

Q75P2（PQ为需求量

P4P

P

1%P为多少时，总？最大总收益是多少

Q'

，

P4

EQ

(75P2)

75 7575 75

41%R(P)PQP(75P2)75PP3ER 3 7575P

(75PP)

7575P3P227

75

R'(P)753P20，P5，R(5)(75PP3价格为5时总，最大总收益是

p5设某糕点生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别C(x)1002xR(x)7x当产量分别是200，250公斤和300

L(x)R(x)(7x0.01x2)(1002x0.02x2)0.01x25xL'(x)0.02x 200200L'(300)0.023005200P设商品的需求函数为Qe4

P

EQP

44)'4

4

p4

p4p4

4时，价格上涨1%Q

CC(Q)1000

4Q20产量Q解：(1)

C(20)10004

1100平均成本C(20)1100C'(Q)2

C'(20)20'2'

C(Q)C(Q)1100

，C(Q)

1000

0Q

Q

Q

10)

1042020

C(x)8x

（万元）,其中 为产品

R(x)12x0.004x2（万元L(x)R(xC(x)0.004x24x125Lx)0.008x令L'(x) 得xL"(x)0.008 L"(500)500L(500)875（万元

C(x)5x

R(x)10x

L(x)R(xC(x)0.01x25x200Lx)0.02x令L'(x) 得xL"(x)0.02 L"(250)250L(250425（万元某产品的总成本C（万元）与总收益R（万元）都是产量x（百台）数，其边际成本函数为C

R83x100解：(1)设L(x)R(xC(x)，Lx)RxC令L'(x)

R'(x)C'

即83x x又R"

C"

R"

""x23(2)3L'(x)dx (83xx)dx3(84x)dx(8x2x2)33 2P10Q5

C20

解：L(Q)R(Q)C(Q)PQC(Q)10Q 205

得Q又L"(Q25

Qep ，

P3,P5

P6

EQQ'(P) 1eP

55 55

e

35

1

5 √

F(x)dxF(x)C（

d f(x)dx

f(x)C（

f

可导，则df(x)

f ）4.sin cosx的一个原函数（

f(x)dxx3C,

f(x)x2（ ）6.f(x)1f(0)0,则f(x)dx1x2xC2（ ）7.xcosxdxxsinx2cosxlnx1lnx1x

exsinx

f

f(x)

exsin lnlnxlnlnxy

1x6

x2dxy2dy

x3y3

的原函数是ln(5x)

f(x)dxarcsin2xC，

f(0) 函数y 2

若f(x)dxx

，则xf(1

)dx

x 2

f(x)g

，则必有（

f(x)g(x)df'(x)dxd

f(x)dxdf(x)dxd

F(x)G(x)，则

F(x)

为常

F(x)G(x)

F(x)G(x)

dF(x)dxd 下列等式中，正确的是

df(x)dxd f(x)

ff(x)

d f(x)dxdf(x)dx

ff

df(x)

，则下列各式不一定成立的是

f(x)

f(x)

df(x)

df(x)dxd

f

的导数是sinx

f

（A）cos （B）cosx 下列计算过程正确的是

cos2xdx1sinxdx1(xcosx) cos2xdx1cosxdx1(xsinx) cos2xdx1cosxdx1(xsinx) cos2xdx1sinxdx1(xcosx)

f(x)dxx2e2xC

f(x)（ 2xe2x

eeeex

2xe2x(1

exexedx＝(ex1)2d(exexexeex

ex12ex1

dx＝22ex

d1

1)

1)1x211x1x211x21x21x21x21x22解：1xdx＝( )dx1x21x21x21x21x22

1x2

1 1

x2xarctanxdx＝arctanxd2

) 2

arctanx21x21x2arctanx

)dx1x2arctanx1x1arctanx2x4x1x2

2 1x x (x41) 11x2dx＝

1

dx(x

1 )dx 1x2

xarctanx

a2x2xasina2a2a2sin2

d(asint)a

tdt222

(1cos2＝a1(1cos2t)d(2t)2 xa2xa2

a(2tsin2t)C242

at22 22

sintcost 求求

1x2x2x1x2dx＝xex2

(x21)11x2

dx(1 )dxxarctanx 1解xex2dx＝1ex2d(x21ex2 ex

1ydy

ex1

y2ln(ex1)ln2y22lnC(ex1

C 1yx1

C1

y21解(1y)dx1

1

1

ln(1y)ln(1x)ln

y1C(1

C求解微分方

dyx ydy

1y21x21r 即y2x2r

r11111111113333339xd(e)

edx

ed(3x)

e1exe 解：原式=1d(1ex)ln(ex1 1

x1dxx1解：原式

dx

dx

d(x21)

x2x2x211

x2 2x2

x211解：令t 则xln(t21原式=1

2tdt 1dt

dt

(1

1ttex1ex1ttex1ex1

(t1)(t t t1

lnt1lnt1 (a2x2)32

C 解：令xatan 则dxasec2xa2原式= 1dt costdt1sintxa2a2sec a2

111

dx

x0时t1，x3时t2t21

t

原式= xln

2tdt2(3t)1解：原式lnxd1x21x2lnx1x21dx1x2lnx1x2 x（√）

f

在区间[a

F(x)fa

[ab]ada √）

dxf(x)dx

f(x)11 √）3.定积 1

在

ab ab ）4.

f1

在[ab1

dxf(x)dx

f(x) √）5.

2xx

不能 ━━莱不尼 计算 2 ）6.x2dx d √）7.若f(x)在[a,b]上连续， f(x)dx0aa 0x（ ）8.设f(x) , 1x

2f(x)dx 0b b f(x)dxf(x)aa1 √）10.x4sinxdx0（ ）11.

1dx11

定积分1x2dx 1 定积分12

exx20x20

e2 1

1x2dx1，其中k为常数，则k= ；

x3sin2

1x2dx x(tsint3dt)0

xsin 1d

dx 1adxf(x)dx a 设f(x)在[ab

f(x)dxf

yx2与y1

dh(f(x)在[ab上连续,h(x)dxx

f(t)dt

f[h(x)]h' 当x

F(x)tet20

f(x)tetdt0

1

ekxdx01

，则k e1

dx x(ln

x3ex2dx dxdt2sintdt

x2sin

dxk

(2x3x2)dx0

，则k

0或

1xxdx 1x

xarctanxdx101

1x2

2

1x2

1x1下列积分可直接使 ─莱不尼 的有 1 00

1x2

1

xlne0(x2 ex

f

f(t)dt为（ a（A）f(t)的一个原函 （B）f(t)的所有原函（C）fx

的一个原函 （D）f

0f(t)dt2f(x2，0

f(0)1

f(x) x（A）e

1 2

e2

1e221x2dx x（A）- （B） （C）

(x)cos0 解(xcosxdx＝0

xcosxdx0cosxdx

xd(sinx)0cos0(xsinxcosx)00 0

1x2 0解10

dx＝

1

)dx(xarctan

1040

(1sin30 (1sin3x)dx0

0dx

sin2xsinxdx0

dx

(1cos2x)dx(cosx1cos3x) 9求定积分1

x x31解：令tx x31

xt

当x1时，t1,当x9时,t31931

t2

1t x x 1

dt2ln(t1)32ln0

1x2xsin

，当x0时，t0,当x1时t2原式

sin2tcostcostdt1

sin22tdt1

(1cos01

2(1cos4t)d(4t)

201(4tsin 208411elnx

1e 1e解：lnxdxe

(lnx)dx

ln11e1(xlnx (xlnxx)55ln5211e12

bb1 x21bb111解：

dx

lim

dxx2

lim2 2x

1)(xlim b

)dx1

ln(x1)b1lim[ln(b1)ln1]1lnb222

x

x

2

x1

2

b

cos5xsin0

解：cosxsin0

xd(cosx) cos 220求定积分1x解：令x

xx则xt2

3x1t0当x4t3 原式

2tdt

)dt2(tarctan

0t230330 30330

t2

1 xdxx解tx

则xt

x0t0当x4t原式＝212tdt22(11)dt2[tln(1t22(2ln012

1

sin01解：原式＝1

2sin2xd(2x)0

1cox2x2

0

1xd(ex)xex1

1exdxxex1ex1000解：原式＝ 0005计算1

u1du2解：令t2

则ut2

当u1t0当u4tu1u1原式

2tdt

1)dt2(tarctan 2(2arctan10t2

t2 计算0

111解：令t

则xt2

x0t1当x3t2t2 2 原式＝

1)dt(3

11x22x 解：原式 dx x22x x22x ＝

dx

aax22x

b

x22x ＝

d(x1)

d(xaa(x1)2 b0(x1)2＝

arctan(xa

arctan(x1)＝0求在区间[02x

ysin

y02Sy02

sinxdx2cosx00

y

y

yyy0 解S1(xyyy0

x21x3)1

yexyex

x

1S1

(exex)dx(exex)0e10e

y1x2x

y

解： 2

(4xx(2x2ln

152ln212212

yx21

yx

y3yxy3yxyx20 2

(x1x2(1x21x32x)2

y

ye

x0围成，（1）（2）将上述平面图形绕xyyexe01x1x解：（1）Syyexe01x1x

)dx(ex

)10（2）Ve21(ex)2dxe211e2xd0 =e21e2x11(e2

y2x

y14

解S10(2x51x2dx x3(x5x12)2

y2x6

yx1)2解S5[2x6x1)2yy2yy2xy(x1)15x

3

5x)5

y

与y 所围成的图形的面积3 33

yyy1301x解：S (yyy1301x0

x3

)022 √）1.x2y2R2在立体空间中表示圆柱面；（ ）2.

zf(x,

dzfxdyfydx（ ）3.yef(x则yef(xf(x（

1

dx

1

dyZexyyx2，则Z

xexyx f(xyyx2y2，则f(xy

x2 4x2函数f(x,y) ln(x2y21)的定义域是{(x,y)|1x24x2已知f(x,y)=ex2y则fxy2xyex2yx x

f(xy)5x2y3,

f'(0,1) 设f(x,y)ln(xy)，则f'(1,0) 2

exy(1xy)dx 二元函数Zexy全微分

zlnxy，则

等于（ 1y

x

(D)x设Zsin(xy2),则Z等于 xycos(xy2

xycos(xy2

y2cos(xy2

y2cos(xy2

Z3xy

Z=

3xyln

y3xyln

ZZ(xy由方程eZx2ylnZ0确