理论力学修改

理论力学修改第一页，共一百四十九页，2022年，8月28日课本及内容力学与理论力学（下册）中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书作者：秦敢，向守平科学出版社，2008其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是理论力学课程的主要内容。第二页，共一百四十九页，2022年，8月28日力学内容质点运动学质点的位置、速度、加速度，轨迹质点动力学质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动质点系力学多个质点体系的守恒量，内力和外力非惯性参考系（平动和转动）刚体的平面运动（角速度，角动量，转动动能，一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）第三页，共一百四十九页，2022年，8月28日质点运动学质点运动的描述：位置、速度、加速度随时间的变化轨迹坐标系：直角坐标系（x,y,z）柱坐标系(r,j,z)（极坐标系）(r,q)球坐标系(r,q,j)其他正交曲线坐标系自然坐标系力学内容第四页，共一百四十九页，2022年，8月28日其他一些应用课题有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射）碰撞（两体碰撞，散射截面）振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动）带电粒子的运动狭义相对论非线性力学流体力学连续介质体系的力学第五页，共一百四十九页，2022年，8月28日分析力学内容约束与虚功原理拉格朗日力学达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律哈密顿力学正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程刚体的欧拉运动学和动力学第六页，共一百四十九页，2022年，8月28日分析力学的基础以牛顿三定律的经典力学为理论基础应用数学方法建立完整的理论体系得到一些原理性的结果有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然第七页，共一百四十九页，2022年，8月28日分析力学与牛顿力学方法比较分析力学牛顿力学优点处理方法流程规范善于复杂的体系处理约束越多方程数越少直观，易于理解解算简单问题比较方便缺点不够直观对于简单问题的处理显得麻烦常常需要具体灵活的分析约束越多方程数越多越繁琐第八页，共一百四十九页，2022年，8月28日直角坐标系坐标：(x,y,z)yxzo第九页，共一百四十九页，2022年，8月28日直角坐标系中的矢量运算点乘：叉乘：矢量的表示和爱因斯坦求和约定：第十页，共一百四十九页，2022年，8月28日直角坐标系的矢量运算举例证明：其中：可证：第十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日柱坐标系坐标：xyzorp第1次课第十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日球坐标系坐标：zpxyor坐标转换可用单位并矢点乘：第十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日球坐标系与直角坐标的关系通过求导可得球坐标中：zpxyor第十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日曲线坐标系坐标：xyzop称为拉梅系数。曲线长度满足第十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日约束与自由度一个自由质点运动的自由度为3在有约束的情况下，运动的自由度有所减少：约束质点在平面内运动，自由度为2约束质点沿轨道运动，自由度为1自由度是描述物体运动所需的独立变量个数约束可使变量之间变得不独立，从而每个约束使系统的自由度减1。第十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日约束与自由度一般情况下，约束为k个方程假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。第十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日约束的类型约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束；依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束；依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。第十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日约束的类型完整约束（几何约束）稳定的几何约束不稳定的几何约束不完整约束且不可积分成完整约束，也称为微分约束。可解约束：或或双面可解第十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日可积分的条件非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使必须即则反之亦然第二十页，共一百四十九页，2022年，8月28日不可解和可解约束x2+y2=l2x2+y2≤l2OO(x,y)(x,y)第二十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程变分之后，可成为线性变分，形如约束的线性变分第二十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如可导致变分约束（注意到dt=0）可化为线性变分的非完整约束第2次课作业：1.1，1.2，1.4第二十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日广义坐标用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。第二十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日广义坐标的选用各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式越简洁越好第二十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日虚位移

假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直的方向。用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。第二十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日理想约束约束力是与约束的切线方向相垂直的，有其中是虚位移习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理想约束。对于不是理想约束的情况，分析力学常用的方法是不成立的。第二十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标为广义坐标，曲面的几何约束为对于曲面上相邻的任意点，相距dr，有即与曲面的切面垂直。同时，约束力也与曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系其中c是常数，R是约束力。理想约束第二十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日理想约束两质点A和B安置在刚性轻杆两端，杆可绕中央的O点旋转。在质点A上施加一个力F，考虑两质点所受到的约束力，是否一定与虚位移方向垂直？是否为理想约束？这个例子，虽然每个质点的约束力并不与虚位移垂直，可验证其仍是理想约束。AOBF第二十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日虚位移和真实的微小位移的差别1.虚位移是瞬时完成的（dt=0），而实位移需要一小段时间（dt≠0）。2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真是发生，而实位移一般与质点的真实运动相关。3.虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向，而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬行的小虫）第三十页，共一百四十九页，2022年，8月28日虚功原理系统处于平衡时，每个质点所受合力为0考虑虚位移所做的功，有对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而在虚位移下主动力做的功总和也为0，即第三十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日虚功原理虚功原理能使我们处理系统的平衡问题。此时，我们只要关注系统的主动力的虚功为0的事实。而约束力在方程中消失，我们不必去解算。显然，这是系统处于平衡的必要条件。对于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明也是充分条件（约束如果不是稳定的，就不会有静力平衡的情况出现）。第三十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日虚功原理使用广义坐标，方程可以化为：由于广义坐标是独立变量，因此有必要定义广义力方程化为第三十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日由于广义坐标的独立性，可得对于保守力体系，则虚功原理第三十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日对于保守力体系，虚功原理可化为则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，极大值时平衡是不稳定的虚功原理第三十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日双连杆的平衡问题匀质的双连杆一端固定在顶部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡时两杆的角度。求约束力时，可将约束力看成主动力，同时解约束，增加自由度，然后求解。（本书29页。秦家桦，285页。陈世民，170页。金尚年，46页。）虚功原理举例Fq1q2l1l2第3次课作业：第三十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日求解解：第三十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日圆弧中两球的平衡问题半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。这个问题用虚功原理或势能最小原理。虚功原理举例Rq1q2第三十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日求解解：这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。第三十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日求约束面的形状一个均质杆一端靠在光滑的墙壁，另一端所在的约束面是什么形状才能使杆在任何位置都能平衡？（本书第10页）用势能最小原理，当虚位移发生时，杆的重心高度应该不变。虚功原理举例yqxO第四十页，共一百四十九页，2022年，8月28日达朗贝尔原理考虑动态情况，这时可以将系统中的每个质点的加速运动看成在局部的非惯性参考系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，因此第四十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日达朗贝尔原理进一步深化由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理可进一步推出第四十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日方程的由来注意到由同时将广义速度与广义坐标视为不同的变量，可推得第四十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日方程因此，得到拉格朗日方程其中T是系统质点的总动能第四十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日保守力体系的拉格朗日方程对于保守力，由于拉格朗日方程成为其中L=T-V是系统的拉格朗日量。第四十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日方程方法的长处拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力学给出的结果必然相同。拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不需要知道的约束力未知数。拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量，处理较繁琐。第四十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日方程解法步骤确定系统自由度选择广义坐标将各个质点的位置矢量用广义坐标表达计算各个质点的速度给出系统的总动能如果是保守系，给出势能，如果不是保守系，给出广义力相应得到拉格朗日方程组结合初始条件求解第四十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日实例rm1m2qOxz连线穿孔两小球的运动自由度为2广义坐标r，q。r1=rer，r2=(r-L)ez第4次课作业：1.6，1.8，1.13，1.14第四十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日哈密顿原理作用量的定义体系从时刻t1到时刻t2的运动过程中，定义其作用量为哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移动。“可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的所有连续可微的函数关系qi(t)，且在初始时刻t1和终了时刻t2的位置是已知的确定值。第四十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程（得到坐标与时间的函数关系）就是寻求作用量函数达到极值的问题。对于自变量为“函数”的函数极值问题，可以使用变分法。为了求S的极值，使函数q(t)稍作改变，改变量为l*dq(t)，其中dq(t)在两端为0且连续可导，l为系数参量。第五十页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值函数q(t)变成q(t)+l*d(t)，这时积分值S也可以看成是参数l的函数。如果函数q(t)可以使S取到极值，同样必须在l=0时，S(l)取极值。即第五十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值积分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在两端为0且其他点的任意性，从而必须有第五十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值S取极值时，所需满足的条件正是拉格朗日方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方程，能使作用量函数S取到极值。以上过程也能直接用变分法进行：第五十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值的其他例子最速下降线问题。上下两端点固定，求哪种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在最短时间内运动到下端点？第五十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值的其他例子最速下降线问题，解为摆线。令q为曲线上的切线与x轴的夹角，则Xyq第五十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日变分法求极值的其他例子悬链线问题，解为双曲余弦线。Xy第五十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日光线行进时间为极值（通常是极小值）的路径。变分法求极值的其他例子Xy第五十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日单位球面上短程线问题。

a代表切线et与经线eq夹角。这说明由于z轴选取的任意性，erxet必须为常矢量。且短程线在与之垂直的平面内。变分法求极值的其他例子zp1xyorp2第五十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日事实上，可积分求解球面上短程线问题：是过零点的平面方程，应该是同时过始末两点，且与球面相交所得的圆。变分法求极值的其他例子第5次课作业：1.16，1.18，1.20，1.21第五十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日条件变分问题积分约束条件下的变分问题举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上固定点的曲线与x轴围成最大面积。通用的处理方法：将约束条件乘以参数l，加到被积函数之中，使之取极值。参数的某些取值可以使S取到极值。Xy第六十页，共一百四十九页，2022年，8月28日条件变分问题令q为曲线切线与x轴的夹角，则Xy第六十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日与哈密顿原理类似的其他原理莫培督原理。应用于保守力体系。等能而不等时的变分为0。由哈密顿原理：上式中的广义动量p和哈密顿函数H以后再介绍。为了强调是等能变分而不是等时的，变分符号用D代替d：第六十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日莫培督原理进一步，通过将动能T改写，有：这即是莫培督原理的变分形式。第六十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日莫培督原理举例，求抛体运动yxa第六十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日与哈密顿原理类似的其他原理费马原理应用于几何光学。光线沿用时最短的路径前进平衡体系能量最小（重力势能，静电能，磁场能量），如果没达到最小，可经过一段时间的调整，最后达到最小。而哈密顿原理和费马原理的最小值取得是瞬时的。第六十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日从哈密顿原理看拉格朗日函数的

相加性两个相互独立体系组成统一体系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB由于两系统相互独立，必须两项都为0第六十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，对作用量的变分没有贡献。由于始末端固定，f的变分为0也可以直接验证满足拉格朗日方程。从哈密顿原理看拉格朗日函数的

非唯一性第六十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日直接验证：为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以适当去除。从哈密顿原理看拉格朗日函数的

非唯一性第六十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日解题实例螺旋线上的珠子轨道方程为已知陈世民，P25例1.5第六十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日解题实例在竖直平面内的弹簧摆q第七十页，共一百四十九页，2022年，8月28日解题实例在竖直平面内的两个绳连重物第6次课作业：1.24，1.25，1.26，1.28MMm第七十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数与运动积分一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分方程（s为自由度），求解之后，有2s个积分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0时的广义坐标和广义速度）确定，得到有时，某个Ci可以表示为广义坐标和广义速度的组合，在运动过程中保持守恒，成为运动积分：第七十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数与运动积分广义动量的定义：拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有某个广义坐标，则此坐标成为循环坐标。循环坐标对应的广义动量守恒，是运动积分。第七十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数与广义能量当拉格朗日函数不显含时间时，能够得到的运动积分是广义能量H。第七十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数与广义能量对于几何约束，可以求速度表达式为：动能表达式中所含的广义速度的第七十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数与广义能量此时，L不显含t时，有守恒量对于稳定的几何约束，T=T2，H=T+V是机械能。这里着重指出的是，如果约束是不稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的是广义能量H。第七十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日广义能量举例求解一个弹簧振子在一个以w角速度绕z轴旋转的、在xy平面内的光滑管中的运动。与机械能守恒不同qzxy第七十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和时间的参量变化保持下式不变（都为0）：推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运动位移成为4维向量而ds正比于它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。相对论时的拉格朗日函数第七十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的标量。因此，取为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数，必须取恰当的系数相对论时的拉格朗日函数第七十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日这样，我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并能验证它在低速情况下能回到经典力学的拉格朗日函数（仅相差一个常数）：从而，质点的动量为与经典情况相比，产生了质量增加的效果。相对论时的拉格朗日函数第八十页，共一百四十九页，2022年，8月28日保守场中，质点的运动方程为：这即是质点的受力方程动能相对论时的拉格朗日函数第八十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日质能公式：这里b是归一化速度，g是相对论因子。拉格朗日函数这时并不是动能减势能。有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典物理的结果作比较分析。相对论时的拉格朗日函数第八十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日4维时空的“位移”：位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同的坐标系而变化。对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学给出伽利略变换：我们需要寻找4维时空的变换，使得在低速时是伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。相对论的时空变换第八十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日两个惯性系之间的4维时空的坐标进行变换时，由于起始时间和原点重合，因而时空坐标原点也重合。因为x'=x-v0t=x+ibict，这里b=v0/c，可看作位置（x，ict）在x'坐标轴上的投影（点乘积）。故x'轴的向量平行于(1，ib)，归一化为(g，igb)，这里g=(1-b2)-1/2相对论的时空变换xict'x'ictx'=x-v0t(x,ict)而时间轴（ict')与空间轴(x')应该相“垂直”，才能保证"长度"不变，故时间轴向量为（-igb，g)，从而得到洛仑兹变换：第八十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日因为dt

是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不变量，用它代替dt求速度时，可得

4维空间的速度向量u(4)=(dr,icdt)/dt=g(v,ic)4维向量：动量-能量mu(4)=(p,iE/c)它们都遵从洛仑兹变换。如它们都有不变的模相对论的时空变换第7次课作业：1.30，1.33，1.36，1.37第八十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数的空间均匀性拉格朗日函数的空间均匀性指当将系统进行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改变。由dr的任意性得到动量守恒。第八十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日拉格朗日函数的空间各向同性拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统进行一个微小的转动之后，拉格朗日量不改变。由dw的任意性得到角动量守恒。空间均匀性可看作x,y,z是循环坐标，各向同性可看作j是循环坐标。第八十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数在相对论中，我们取4维时空的位移向量为空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向量描述：描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函数dS还需要有一个标量部分，这个标量要有描述粒子运动位移的成份，也要有描述电磁场的成份。此时，dr(4)∙(A,ij/c)符合要求。两个4维向量点乘，得到不随坐标变化的标量。另外还要乘以粒子的电荷e。第八十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数在相对论中，可取作用量函数为而对于低速情况，可取普通的动能代替拉格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。得到拉格朗日函数拉格朗日方程：第八十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程x分量为拉格朗日方程：利用得到洛仑兹力方程第九十页，共一百四十九页，2022年，8月28日粒子在电磁场中运动方程的4维形式用4维向量重新写拉格朗日函数和方程：得到Fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变换下形式不变。第九十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日粒子在电磁场中运动方程的4维形式矩阵形式：矩阵[Fji]是反对称的，求本征值方程|Fji-lI|=0时，是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变换时的不变性，因而方程系数也是不变的。第九十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日粒子在电磁场中运动方程的4维形式其中，是标量，以后在电磁场的拉格朗日函数中需要用到。另一个系数E∙B也是不变的，但它是赝标量（考虑时间反向的运动，速度反向，电场不变而磁场反向，因而E∙B反号，而真标量应该不变。）第8次课作业：1.29，1.34，1.38，1.39第九十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日两体碰撞两体问题是质点相互作用中最简单最基本的过程。大到太阳和地球的相互作用，小到原子核之间的散射碰撞，都可以简化为两体问题。两体问题可以约化为单质点的有心力问题。用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位移r代替两质点的位置r1，r2。第九十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日两体碰撞的拉格朗日函数定义m=m1m2/(m1+m2)是约化质量，可解得从而拉格朗日函数可写为rm2m1r1r2rc第九十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日两体碰撞是有心力作用下的平面运动利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为m的在势能V(r)中运动的粒子。牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用是沿着r

方向的，因此势能V(r)产生的作用力是有心力。有心力作用时，力矩为0，因而角动量

J=rxmv守恒。以角动量的方向为z轴，因为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。第九十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日两体碰撞的方程约化质量质点的拉格朗日函数：相应的拉格朗日方程：角动量守恒可写为b是瞄准距离，v0是初始速度Jrzxy第九十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日弹性碰撞与非弹性碰撞弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械能守恒。约化质量的质点的初速度与末速度相等。这意味着它的速率不变但运动方向可能改变。|v1'-v2'|=|v1-v2|非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机械能转变成热能，因而其末速率比初速率小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，而非弹性碰撞时e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|第九十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日弹性碰撞与非弹性碰撞一般来说，碰撞之后的速度表示为v1'=vc+|v1-v2|em2/(m1+m2)v2'=vc-|v1-v2|em1/(m1+m2)其中vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)是质心的速度，e

是不超过1的向量，代表质点在质心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对于非弹性碰撞，其数值小于1。第九十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日平方反比力的碰撞对于平方反比力，假设F(r)=k/r2，k的符号决定是斥力或者是引力。对时间积分：从而qeqerAB第一百页，共一百四十九页，2022年，8月28日平方反比力碰撞的偏转角代入各个矢量由此得到偏转角这里b是瞄准距离，

b0是偏转90°的瞄准距离qABb第一百零一页，共一百四十九页，2022年，8月28日微分散射截面通过散射过程，某一小块立体角dW（可以看作是单位球上的一块小面积）与某块入射面积ds对应起来，微分散射截面就是指ds/dW。由偏转角和瞄准距离的关系就能得到散射截面。卢瑟福散射实验BqAb第一百零二页，共一百四十九页，2022年，8月28日微分散射截面平方反比力的散射截面为刚性球的散射截面qb第一百零三页，共一百四十九页，2022年，8月28日碰撞速度的图示质心系中，m1和m2的初始速度为v1，v2~（m2，m1）碰撞之后速度为v'1，v'2，~（em2,em1）质心速度为vc还原到实验室坐标系里，末速度为v'1，v'2v1v2v'1v'2v'2Lv'1LvC第9次课第一百零四页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的偏转角考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。画出速度v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc长度比例m2，m1，em2,em1,??，??，m1qLq第一百零五页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的微分散射截面只要求出实验室参考系与质心系的立体角之比，就能利用质心系的微分散射截面公式。由得第一百零六页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的微分散射截面考虑质量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三种情况。a<<1a=1a>>1第一百零七页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的微分散射截面对于卢瑟福散射，考虑a=m1/m2<<1，=1，>>1的三种情况。a<<1第一百零八页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的微分散射截面a=1a>>1第一百零九页，共一百四十九页，2022年，8月28日实验室参考系的动能交换碰撞之后m1的动能平均值为（刚性球模型）考虑质量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三种情况，a=1时碰撞交换走的动能最大。第一百一十页，共一百四十九页，2022年，8月28日碰撞问题举例平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速度为0。证明1、若m1=m2时碰撞之后两小球的运动方向相互垂直。2、若m1>m2时，偏转角最大为多少？qLqqqL第一百一十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日相对论高能粒子的碰撞以p1，E1，p'1，E'1和p2，E2，p'2，E'2

分别代表m1和m2

质点在碰撞前、后的动量和能量，运用动量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面问题，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，p'2y，四个未知量，最后一个方程给出了能量E的表达，E视为已知。需求解的方程只有3个（动量2个能量1个）还需要一个条件，如偏转角，或其中一个粒子的末动能等。第一百一十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日相对论碰撞例题能量为Ei的光子被质量为me的静止电子所散射。散射后光子能量为Ef并偏转q

，证明这几个量有关系1-cosq=mec2(1/Ef-1/Ei)证：第一百一十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日相对论碰撞例题一个静止的p+介子衰变成m+子和中微子。三者静止质量分别是mp0，mm0和0。求m子和中微子的动能。第10次课第一百一十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动各个质点在平衡位置附近作微振动。广义坐标一般为qi=qi(0)+qi(1)，其中0阶量是常量，是平衡时的位置，而1阶量是振动的变量。在解微振动的问题时，要重新取广义坐标使得qi(0)=0。因为有平衡位置，因此是稳定约束，动能都是广义速度的二阶齐次项：T=T2。第一百一十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动势能对势能V(q)在平衡位置附近进行小量展开取V(0)=0，平衡点上又有∂V/∂qi=0，并记kij=∂2V/∂qi∂qj|0，且保留到2阶小量。写为矩阵二次型形式：由于在平衡点V取极小值0，因此V≥0，是正定的。第一百一十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的拉格朗日函数对动能T同样记为这里m

的各个分量一般是位置q的函数，但我们对动能只保留到2阶小量，只取平衡点上计算m，因此得到的m

为常量。拉格朗日函数为第一百一十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的拉格朗日方程拉格朗日方程为这是一个线性常微分方程组，即如果q(A)和q(B)

都是方程的解，则q(C)=aq(A)+bq(B)也是方程的解。因此，q的运动尽管可能出现多种频率的振动，我们可以把每一个频率的振动单独分解出来研究。对于频率为w

的振动（无论sin，cos），得到线性方程组：第一百一十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的久期方程q=0显然是方程的解。若要得到非0解，必须满足久期方程：对于不满足这个久期方程的频率，线性方程组只有0解，意味着该频率的振动不存在。反之，能够出现的振动频率必须满足久期方程，且能从线性方程组解得一组成比例的非0振幅qw（但总比例待定）。满足久期方程的频率叫本征（简正）频率，对应的qw叫本征（简正）向量。第一百一十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的本征振动用qwT

乘以线性方程，可知：由于m和k

都是正定的实对称二次型矩阵，w2

也是非负的。因此，本征频率都是实数。事实上，w2

也是矩阵m-1k

的本征值，而qw正是对应的本征向量，满足：由于久期方程是关于w2

的一元s次方程，应该有s个根，前面已经说了这些根都是非负实数，因此对应s个本征频率的振动。第一百二十页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的本征坐标广义坐标q随时间的变化是由这s个本征频率的振动的线性组合。即：其中，常数Aj

和aj

依初始条件待定。事实上，上式可以改写为：这里引入了本征坐标x，它的每一个坐标分量对应一个频率的振动，它与广义坐标q

之间的线性变换是矩阵s，由本征向量排列而成。本征坐标x

可由x=s-1q

求得，以x为新的广义坐标则能得到单一频率的振动。第一百二十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动的本征坐标反之，用新的广义坐标x替换q，可得到关于本征坐标x的方程。首先注意到其中，w2是以s个w2j

构成的对角矩阵。因此：这样关于本征坐标x的方程就是非常简单的形式了。第11次课第一百二十二页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动实例耦合摆问题：q1q2第一百二十三页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动实例三原子问题：第一百二十四页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动实例三原子问题：w=0相当于不动（或匀速运动）。对应的解为第一百二十五页，共一百四十九页，2022年，8月28日微振动实例双单摆问题：q1q2第一百二十六页，共一百四十九页，2022年，8月28日阻尼振动物体在运动过程中经常遇到阻尼。阻尼力与物体运动速度有关。常见的有：摩擦阻尼（与速度无关）。粘滞阻尼（与速度v成正比）。尾流阻尼（与速度平方成正比）。波阻尼等与速度关系复杂的类型。这里处理与速度v成正比的粘滞阻尼。第一百二十七页，共一百四十九页，2022年，8月28日耗散函数粘滞阻尼力：阻尼的广义力：这里耗散函数F定义为第一百二十八页，共一百四十九页，2022年，8月28日带耗散的拉格朗日方程耗散函数是非负的。耗散现象使得系统的机械能丧失。有阻尼时的拉格朗日方程：化为矩阵形式：第12次课第一百二十九页，共一百四十九页，2022年，8月28日方程组求解使用试探解elt

能方便的求出本征振动频率和阻尼率。其中，如果是简谐振动，l就是纯虚数。若要q有非0解，方程的系数行列式必须为0。这样就得到一个关于l的一元2s次方程。为了研究根l的性质，用非0解qT乘以原方程得由于三个系数都是非负的，可知：l的实部非负，与c成正比。l若是复数，则与其共轭l*一同出现。此一元二次方程的两个解具有同一个本征向量。第一百三十页，共一百四十九页，2022年，8月28日本征值和本征坐标记每个本征值lj对应本征向量为qlj，j=1,2,..,s。同时具有同样这个本征向量还有另一个本征值lj+s。则最后整体的解为对应实根lj的系数Aj是实数，对应复根lj的系数Aj是复数，但必须满足Aj=A*j+s

，lj+s=l*j+s（共轭关系），使两者相加之后为实数。本征坐标同样可以通过线性变换得到第一百三十一页，共一百四十九页，2022年，8月28日阻尼振动实例被3根弹簧连接的两个质点，具有阻尼。第一百