2023年高考数学命题角度5.2直线与椭圆位置关系大题狂练理

命题角度5.2：直线与椭圆位置关系1.椭圆的两个焦点为，，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于两点(点位于轴上方)，假设，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，那么椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.2.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点．【来源】【全国市级联考】广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2023届高三5月联合模拟理科数学试题【答案】〔I〕；〔II〕详见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意求得，，椭圆的方程为．(2)首先讨论当的情况，否那么联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点．〔Ⅱ〕当时，由，可得，当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．当时，直线的方程为，联立方程组消去，得．①由点为曲线上一点，得，可得．于是方程①可以化简为，解得，将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．3.椭圆〔〕的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，说明理由.【来源】山西省太原市第五中学2023届高三第二次模拟考试〔5月〕数学〔理〕试题【答案】〔1〕；〔2〕不存在，理由见解析.【解析】试题分析：〔1〕由焦点坐标可得，再根据及点在椭圆上，可得，进而可得椭圆的方程；〔2〕设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，与判别式为正可得，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是，可判定点不在椭圆上，所以这样的直线不存在．试题解析：〔1〕设椭圆的焦距为，那么，因此椭圆方程为在椭圆上，解得故椭圆的方程为．所以，且，那么，由知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此，也是线段的中点，所以，可得，又，所以，因此点不在椭圆上．所以这样的直线l不存在【方法点晴】此题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.4.椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点〔点在轴的上方〕〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设，且直线与圆相切于点，求的长.【来源】【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2023届高三上学期期初考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据条件列出关于的方程组，，解方程组得，〔2〕设直线，那么根据圆心到切线距离等于半径得，由由，有，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得，，三者消得，最后关于的解方程组得，，根据切线长公式可得的长.试题解析：〔1〕由题意知，即，又，故，椭圆的方程为.〔2〕设，直线，由，有，由，由韦达定理得，由，那么，，化简得，原点到直线的距离，又直线与圆相切，所以，即，，即，解得，此时，满足，此时，在中，，所以的长为.5.椭圆的离心率，左右焦点分别为是椭圆在第一象限上的一个动点，圆与的延长线，的延长线以及线段都相切，为一个切点.〔1〕求椭圆方程；〔2〕设，过且不垂直于坐标轴的动点直线交椭圆于两点，假设以为邻边的平行四边形是菱形，求直线的方程.【来源】【全国百强校】河北省石家庄二中2023届高三下学期第三次模拟考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕圆为三角形内切圆，由内切圆性质及椭圆定义得，即，再由，可知〔2〕以为邻边的平行四边形是菱形，所以设，方程为那么可得坐标之间关系，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入坐标关系化简可得〔2〕设方程为，代入椭圆方程可得，设，那么，以为邻边的平行四边形是菱形，，的方向向量为，，方程为.6.设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.〔1〕求点的轨迹方程；〔2〕在点的轨迹上有一点且点在轴的上方，，求的范围.【来源】【全国校级联考】山西实验中学、南海桂城中学2023届高三上学期联考理数试题【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；〔2〕点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，因为点的坐标为在点的轨迹上，所以得，因为，，.所以解得.方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得所以〔1〕又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以得，代入〔1〕得.因为，，.所以解得.又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以代入〔1〕得，，，，.所以解得.方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得所以〔1〕将代入〔1〕得，，.因为，，.所以解得.方法五设点的坐标为，点的坐标分别为直线的斜率，直线的斜率由得.所以解得.点睛：此题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，防止不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．7.椭圆：的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点作椭圆的切线，记，且，求的值.【来源】河南省林州市第一中学2023届高三8月调研考试理科数学试题【答案】〔1〕椭圆的方程为〔2〕【解析】试题分析：(1)由题意求得，，，故椭圆的方程为.(2)很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得.试题解析：〔1〕依题意，，解得，，，故椭圆的方程为.〔2〕依题意，，，直线，设，那么.直线的方程为，令，得点的纵坐标为；直线的方程为，令，得点的纵坐标为；由题知，椭圆在点处切线斜率存在，可设切线方程为，由，得，由，得，整理得：，将，代入上式并整理得，解得，所以点处的切线方程为.令得，点的纵坐标为，设，所以，所以，所以，将代入上式，，因为，所以.8.椭圆：〔〕的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．〔Ⅰ〕求该椭圆的方程；〔Ⅱ〕过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点．记的面积为，的面积为．问：是否存在直线，使得，假设存在，求直线的方程，假设不存在，说明理由．【来源】【全国市级联考】辽宁省锦州市2023届高三质量检测〔二〕数学〔理〕试题【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析.试题解析：〔Ⅰ〕由题意，得，，即，∴，∴所求椭圆的方程为．〔Ⅱ〕假设存在直线使，显然直线不能与，轴垂直．∴直线的斜率存在，设其方程为〔〕，将其代入整理得，设，，，，∴，∵，∴，解得，即，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，整理得因为此方程无解，故不存在直线满足．9.椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点，,是椭圆上一点，的最大值为〔Ⅰ〕求椭圆的方程;〔Ⅱ〕假设直线与椭圆交于两点，且〔i〕求证：为定值;〔ii〕求面积的取值范围.【答案】1．〔1〕〔2〕见解析试题解析：〔1〕由题意得，得椭圆方程为：〔2〕i)当斜率都存在且不为0时，设，由消得，同理得，故当斜率一个为0，一个不存在时，得综上得，得证。ii)当斜率都存在且不为0时，又所以当斜率一个为0，一个不存在时,综上得点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点〞是什么、“定值〞是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.10.椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足〔，是常数〕.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.〔Ⅰ〕求曲线的轨迹方程；〔Ⅱ〕过曲线上点做椭圆的两条切线和，切点分别为，.①假设切点的坐标为，求切线的方程；②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？假设存在，求圆的方程；假设不存在，请说明理由.【来源】【全国市级联考】山东省淄博市2023届高三第二次模拟考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕〔2〕①②存在定圆恒与直线相切【解析】试题分析：〔1〕由相关点法，代入可得。〔2〕当过点切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即与椭圆组方程组，由，得，过点的切线方程为，斜率不存在时，切点为，方程为，符合方程形式.同理过点的切线