2023年高考数学大题狂练系列（第01期）综合模拟练01理

综合模拟练011．数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和，假设Tn≥m恒成立，求m的最大值．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．试题解析：〔Ⅰ〕因为，，成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；所以所以所以是递增数列所以所以所以的最大值为考点：1．数列的通项公式；2．数列的求和；3．数列的最值．【方法点睛】数值最值的求解方法如下：1．邻项比拟法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．2．在五面体中，,,，，平面平面.〔1〕证明:直线平面；〔2〕为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.【答案】(1)见解析；(2)点靠近点的的三等分点处.〔1〕∵,∴∴四边形为菱形,∴∵平面平面，平面平面,∵∴平面∴,又∵∴直线平面〔2〕∵,∴为正三角形，取的中点,连接,那么∴,∵平面平面,平面，平面平面,∴平面设平面的法向量为∵,∴，令，那么∴∵二面角为,∴，解得∴点靠近点的的三等分点处点睛：此题考查了线面垂直的证明方法．线面垂直可以转化成证明面面垂直，也可以证明直线垂直平面内的两条相交直线．同时考查了空间直角坐标系在立体几何中的运用能力和计算能力，属于难题。3．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水〞活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x〔单位：箱〕76656收益y〔单位：元〕165142148125150(Ⅰ)假设x与y成线性相关，那么某天售出8箱水时，预计收益为多少元？(Ⅱ)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；⑵甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望。附：，。【答案】〔Ⅰ〕186元；〔Ⅱ〕〔1〕；〔2〕分布列见解析，期望为600.试题解析：，，…当时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。即的分布列为：〔元〕4．椭圆：〔〕的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：与椭圆交于，两点.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕点，假设是一个与无关的常数，求实数的值.【答案】〔1〕；〔2〕1【解析】试题分析：〔1〕由题意，，又，求得椭圆方程；〔2〕联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得.〔2〕设，，联立方程消元得，，∴，，又是一个与无关的常数，∴，即，∴，.∵，∴.当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.5．函数〔〕.〔1〕判断函数在区间上零点的个数；〔2〕当时，假设在〔〕上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).解析：〔1〕令，，得.记，，那么，当时，，当时，，由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，.又，故当时，在区间上无零点.当或时，在区间上恰有一个零点.当时，在区间上有两个零点.〔2〕在区间〔〕上存在一点，使得成立等价于函数在区间上的最小值小于零..点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决。但要注意别离参数法不是万能的，如果别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法。6．选修4-4:坐标系与参数方程直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．(1)假设直线与曲线交于两点，求的值；(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值．【答案】(1)2(2)16试题解析：(1)曲线的直角坐标系方程为:∴∴直线的参数方程为〔为参数〕将代入得：设两点所对应的参数为，那么∴(2)设为内接矩形在第一象限的顶点，，那么矩形的周长∴当即时