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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数2.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H3.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}4.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.5.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.6.已知等差数列中,,则()A.20 B.18 C.16 D.147.已知,,,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为().A.432 B.576 C.696 D.9609.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或110.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B. C. D.11.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()A. B.C. D.12.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________.14.角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则sin(π﹣α)的值是_____.15.若满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.16.在中,角的平分线交于,,,则面积的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.18.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.19.(12分)(某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为,工人乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为.己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲总分为i时,最终甲获胜的概率.①写出P0,P8的值;②求决赛甲获胜的概率.20.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由.21.(12分)在平面直角坐标系中,将曲线(为参数)通过伸缩变换,得到曲线,设直线(为参数)与曲线相交于不同两点,.(1)若,求线段的中点的坐标;(2)设点,若,求直线的斜率.22.(10分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;(2)求多面体的体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.2、C【解析】
由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.3、D【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合,故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.4、B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题5、B【解析】
将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.6、A【解析】
设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选:A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.7、B【解析】,选B8、B【解析】
先把没有要求的3人排好,再分如下两种情况讨论:1.甲、丁两者一起,与乙、丙都不相邻,2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有种不同排列方式,甲、丁排在一起共有种不同方式;若甲、丁一起与乙、丙都不相邻,插入余下三人产生的空档中,共有种不同方式;若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻,插入余下三人产生的空档中,共有种不同方式;根据分类加法、分步乘法原理,得满足要求的排队方法数为种.故选:B.【点睛】本题考查排列组合的综合应用,在分类时,要注意不重不漏的原则,本题是一道中档题.9、D【解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.10、B【解析】
基本事件总数,能表示为两个不同费马素数的和只有,,,共有个,根据古典概型求出概率.【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数,基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有,,,共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题.11、D【解析】
设直线:,,,由原点在以为直径的圆的外部,可得,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件,故可设直线:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直线的斜率的取值范围为.故选:D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12、B【解析】
双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、60【解析】分析:首先将选定第一个钉,总共有6种方法,假设选定1号,之后分析第二步,第三步等,按照分类加法计数原理,可以求得共有10种方法,利用分步乘法计数原理,求得总共有种方法.详解:根据题意,第一个可以从6个钉里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相等的,若第一个选1号钉的时候,第二个可以选3,4,5号钉,依次选下去,可以得到共有10种方法,所以总共有种方法,故答案是60.点睛:该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理,在解题的过程中,需要逐个的将对应的过程写出来,所以利用列举法将对应的结果列出,而对于第一个选哪个是机会均等的,从而用乘法运算得到结果.14、【解析】
计算sinα,再利用诱导公式计算得到答案.【详解】由题意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数定义,诱导公式,意在考查学生的计算能力.15、06【解析】
作不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出结果.【详解】作出可行域,如图中的阴影部分:求的最值,即求直线在轴上的截距最小和最大时,当直线过点时,轴上截距最大,即z取最小值,.当直线过点时,轴上截距最小,即z取最大值,.故答案为:0;6.【点睛】本题主要考查了线性规划中的最值问题,利用数形结合是解决问题的基本方法,属于中档题.16、15【解析】
由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式,借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形:因为,,由角平分线定理得,设,则由余弦定理得:即当且仅当,即时取等号所以面积的最大值为15故答案为:15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题,通过三角恒等变形后利用均值不等式处理,属于一般性题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;.【解析】
设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,求出;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,相应求出概率,求出期望,化简得,由题意可知,,即,求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,所以;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,且,,,所以随机变量的数学期望,,化简得,由题意可知,,即,化简得,因为,解得,即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法,属于常考题.18、(1);(2)见解析.【解析】
(1)分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的的解集;(2)利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为,进而可得出,再将代数式与相乘,利用基本不等式求得的最小值,进而可证得结论成立.【详解】(1)当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2),当且仅当时取等号,所以,.所以,当且仅当,即,时等号成立,所以.所以,即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立,涉及绝对值三角不等式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.19、(1)乙的技术更好,见解析(2)①,;②【解析】
(1)列出分布列,求出期望,比较大小即可;(2)①直接根据概率的意义可得P0,P8;②设每轮比赛甲得分为,求出每轮比赛甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,可的,可推出是等差数列,根据可得答案.【详解】(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元,随机变量,的分布列分别为10521052所以,,所以,即乙的技术更好(2)①表示的是甲得分时,甲最终获胜的概率,所以,表示的是甲得4分时,甲最终获胜的概率,所以;②设每轮比赛甲得分为,则每轮比赛甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,所以甲得时,最终获胜有以下三种情况:(1)下一轮得1分并最终获胜,概率为;(2)下一轮得0分并最终获胜,概率为;(3)下一轮得分并最终获胜,概率为;所以,所以是等差数列,则,即决赛甲获胜的概率是.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数列递推关系的应用,是一道难度较大的题目.20、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等
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