2021年北京市东城区高三(一模)数学试卷

2021北京市东城区高三（一模）试卷数

学第部（择共40分一选题10小题每题4分共40分在小列的个项，选符题要的项（）知集合＝x－x，B＝xx<1}，么∪＝（1，）（∞，）

（1）（，）（）复平面内，复数1＋i）对的点位于（）一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）中学高一、高二和高三各年级人数见下.用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人那么该样本中高三年级的人数为

年级

人数（）（）40

（）22（）

高一高二高三合计

5505004501500（）四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）

92

（）927（）（）272（）知圆2＋2＝截线y＝（＋>0）所得弦的长度为1，么k的为（）

12

（）

33（）

（）

1/

1211212,121121（）知函数f(x2,

那么不等式f（）的集为（，

（，2]

（）[14]

（），6]（）”“lnxln

”成立的（）分而不必要条件（）充分必要条件

（）必要而不充分条件（）既不充分也不必要条件（）与长的比为心，

52

的矩形叫做黄金矩形它泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目在金矩形ABCD中，＝5，＞，么

的值为（）

5

（）

（）4

（）

5（）知椭圆

2yC：a2

（>b>0的右焦点F与物线

C：px(2

的焦点重合P为圆C与抛物线C的公共点，且PF⊥轴那么椭圆C的心率为（）

2

（）

33

（）

22

（）

3（）图，将线段CD用条连续不间断的曲线y＝（）连接在一起，需满足要求：曲线＝f（）经过点BC，并且在点B，处切线分别为直线CD，么下列说法正确的是（）在曲线＝3

＋2－＋（，b∈）足要求（）存在曲线＝

sin2

＋（，，∈）足要求（）若曲线＝

（）＝（）足要求，则对任意满足要求的曲线＝（在实数，，得g2（）＝（）＋（）（）曲线＝f满足要求

（）y＝（）足要求，则对任意实数λ，，当λ＋＝时曲线y＝（）μf（）212第部（选题分二、填空题共小，每小题5分，共25分2/

nn141212121212R11111111nn141212121212R1111111111

）

的展开式中x2

的系数____________.（数作答）（）知双曲线C：

x

y2

＝经过点（

，么m的为，渐近线方程。1（）知a为等比数列a＝，＝，么a的公比为，列的前5项和为。8（）知函数x

()Asin(2x0,4

0

2

)

，其中x和（x部分对应值如下表所示：124

3f（）

－

－

－

2

2

那么A____________。（）是空数集，若对任意x，∈，有＋y∈，∈，称A具性质P给以下命题：①若A具性质，A可以是有限集；②若A具性质P且∩，则A具性质；③若A具性质P则∪具性质P④若A具性质，，CA不具有性质P其中所有真命题的序号是____________.三解题6小，85分。答写出字明演步或明程（小13分如图，在长方体CD中四边形BCCB是边长为的方形，＝，，分为AD，B的中点（）证：MA//平面ANC；（）直线CN与面D所角的正弦.（小13分在△中cos＝（）的；

17

，＝，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：3/

312（）A的小和ABC的积条件①：＝；312条件②：＝

1114

.注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计.（小14分小明同学两次测试成绩（满分分）如下表所示：第一次第二次

语文8782

数学9294

英语9195

物理9288

化学8594

生物9387（）小明同学第一次测试的科目中随机抽取科求该科成绩大于90分的概率；（）小明同学第一次测试第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X抽取的2科中成绩大于90分科目数量，求的布列和数学期望E（（）有另一名同学两次测试成绩（满分分及相关统计信息如下表所示：6科

6科语文

数学

英语

物理

化学

生物成绩均值

成绩方差第一次

a

1

a

2

a

3

a4

a

5

a6

x1

D

1第二次

b

1

b

2

b

3

b4

b

5

b6

x2

D

2将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这科总评成绩的方差为·有一种观点认为：若x＝，D<，则DD你认为这种观点是否正?（写正或不正确）121324/

12niijnnii1212123（小1512niijnnii1212123－2－2x＋，中a＞已知函数（）x3（）a1时求f）的单调区间；（）曲线＝（）点－，（－）处的线与y轴交点为，＋

1a

的最小.（小15分已知椭圆C：

x2y2b2

＝（>）过点D（－，焦距为.（）椭圆的程；（）点（－，）直线l（与轴合）与椭圆C交于P，两，点T与关x轴称，直线TP与x轴于点H.是存在常数，使得说明理由

ADDHAD)

成立，若存在，求出λ值；若不存在，（小15分设n（≥2）为正整数若＝（，，，）满足：①x∈，，，n－，＝，，，；②对于1≤<≤，均有x≠x；则称具性质E（）对于＝（，，，）＝y，，…，y义合（，）＝{|t＝x－，＝，，，}.（）a0，，β＝y，，）有性质（出一个及应的（，）；（）α和具性质（么（，）否可能，，，，，，可能，写出一组α和，若不可能，说明理由；（）和β具性（于给定的α求证：满足（，）{0，，，－的β有数.5/

2021京东城高三一模数学参考答案一、选择题（共题，每小题，共40分（1）（）（3）A（4）B（5D（6）（）（8）C（9A（10）D二、填空题（共5小，每小题5分共25分（115

（）

（13

12

（14）（15①②④三、解答题（共6小，共85分（16（本小题13分解：（I）取AC中，接OM，。因为M是中，所以

OMCD

，

12

CD

。在长方体

ABCDABCD1

中，因为N是

A11

的中点，所以

，1

12

CD所以

NA∥OM，=OM所以四边形是行四边形。所以

∥ON

。又因为

平

，

ON平

，所以∥平面ANC。分（Ⅱ）在长方体

ABCDBCD1

中，如图建立空间坐标系B-xyz则（，0，），A，20），

D6/

31（1，，1），N（01，），所以CNCA31设平面D的法量，1

）由

CA

，知2令y=1，则，z=-2，则平面

D

的法向量

设直线CN与面D所成角，则sin

cosn

|33|||n|所以直线与平面DAC所角的正弦值为。……13分3（17（本小题13分解：选择条件①。（I因为，a=7由余弦定理

abcos，

解得b=5或（）。所以b=5。…………………分（Ⅱ）因为

=

17

，

0

，43所以sinC2C1a由正弦定理，3所以sin。2

78sinA，77/

因为c>a，所以。所以

π3

。所以

sinC。……………13分选择条件②。（I因为

cos

1114

B

，所以1

31。14因为

C

17

，所以sinC

431。由正弦定理

bBsinC

b8，得43，147解得b=5…………分（Ⅱ）由（I）知sin

543，sinC147又因为

cos

111，C14在△ABC中A以cosAB)BsinBC

1141147142所以

=

3

。所以

13bcA103。……………13分22（18（本小题14分解：（I）设事件A为从明同学第一次测试各科中随机选取，该科成绩大于分。根据表中数据，在小明同学第一次测试的6科，有科成绩大于90分分别是数学，英语，物理，生物。所以

(

4263

…………分8/

）3（Ⅱ）X的有可能取值为，，2。）3因为小明同学第一次测试的6科中，有4科的成绩大于，第二次测试的科，有科成绩大于分所以

CP(1C166P(P(2)

C1C133C6CCC16所以X的布列为X

12

16

12

13故X的学期望

1162

。（Ⅲ）不正确………分（19（本小题15分解：（）当a=1时

2

，

1当x或x>1时3

13

x时

，所以的单调递增区间为

1-3

，单调递减区间为

。………5（Ⅱ）

，

。

a

曲线

y点

3x即

ya3

。令，得

。9/

3H3H此时

m

111，()ag(a)aaa2

3，得，3当

33时，g()；a时33

ga3区间递减，在区间

上单调递增，故

m

1a

的最小值为

3

3

。…分（20（本小题15分解：（）由题意得

c3,22.

4,解得故椭圆方程为

x2

y

。……分（Ⅱ）设y，因点T与关x轴称，所以y所以直线的率为122yk1x

，直线PT方程：

yyy2x

x

。令y=0，解得

xyyx2y所以

xy|2112yy因为

|

，“存在常数，得

||DH|DH|)

成立”等价于存常数λ使得yyx1，即2112yyyyy112122

成立。化简得：

2y222

y212

设直线

l:y(k

。即存常数，使得

x

成立。由

(4)2y2

得

xk2

。10/

2121221212

2

2

2

，解得

k

112

。32k64x,x42

。2x212

84k2

624

4k

8

，64k64xx4k2k24k

。欲使

4

8

成立，只需λ=2。故存在，得

|DH

(|DH

成立。。……15分（21（本小题15分解：（I），T(

；(0,2,1)，T

；(1,0,2)，T(

{0,1}

；(1,2,0)，T(

；，

；

(

……………………分（Ⅱ）假设存在

,,x124

,y156

E(6)，({0,1,2,3,4,5}

，则

0

xii

。因为

与iiii

i同奇同偶，所以

xii

与

ii

同奇同偶。i

i又因为

xii

为奇数，

xii

为偶数，i

i这与

xi