2023年专升本高数章节练习题

高数章节习题练习第一节函数极限连续1、设，求２、设，，求．3、４、.5、设和为任意函数,定义域均为,试鉴定下列函数的奇偶性．(1）（2）6、鉴定函数的奇偶性．7、．８、．9、．1０、.．．１1、..1２、.．１３、.14、．【例1-6】已知是多项式,且,，求.【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶．1.比2、比.3、比．４.比【例1－８】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1.在处的连续性.2．在处的连续性．【例1-9】当常数为什么值时，函数在处连续?【例1－１0】求下列函数的间断点并判断其类型．1..2．．３.．4.．【例１-11】证明方程在区间内至少有一个根．【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根．一、选择题1.(2０23年,１分）函数的定义域是(）(Ａ)（B)（Ｃ)(D)2.（2023年,1分)极限等于(）(Ａ）（B）(C）(D)3．(2023年,1分)极限（）(A)(B)(Ｃ)(D）不存在4．（202３年,1分）若，则（）（A）(B)(C)(D)不存在５．(20２3年，1分）是函数的()（A）连续点（B）可去间断点(C)跳跃间断点（D）第二类间断点６．(2023年,3分）设,则等于（)（A）（B）不存在（Ｃ)（D)７.(20２3年，3分)当时,是的（）（A）高阶无穷小(B)同阶无穷小,但不等价(C）低阶无穷小(Ｄ）等价无穷小8.（20２3年，3分）当时,是()（A）比高阶的无穷小（Ｂ)比低阶的无穷小(C）与同阶的无穷小(D)与等价的无穷小９．(2023年,2分）设，,则()(A）(B）(C)(D）１0．(２023年,3分）设，则（）(Ａ)（B）（C)（D）1１．(20２3年，３分)设是无穷大，则的变化过程是()（A)(B)（C)（D）二、填空题１．(2０２3年，２分)若函数在处连续，则．2．(2023年,2分）是函数的第类间断点．３．(2０２３年，2分)设，，则.4．（2023年，2分）在处是第类间断点.５.(2０23年，4分)函数的定义域为．6．(2０23年,4分）设数列有界,且，则.7．(20２3年，4分)函数的反函数为．8．（2023年，４分)函数的定义域为.９．(2０23年,4分)．10．（202３年,2分）若函数在处连续,则.三、计算题1．(2０2３年，５分）求极限，其中为常数．2．(2０23年，5分）求极限.3．（20２3年，５分)求极限.４．(2０23年,5分）求极限．5．(20２３年，５分)求极限.6.（2０23年，5分）求极限.7．(２02３年，4分）求极限．８．(２02３年,4分）设，，求.9．(2023年，5分)求极限．第二节、导数与微分【例2－1】以下各题中均假定存在，指出表达什么．１．２.设，其中,且存在.3.． 【例２-2】分段函数在分界点处的导数问题.1.讨论函数在处的可导性．２.讨论函数在处的可导性．３．已知函数在处连续且可导，求常数和的值．【例2-3】已知,求．【例2-4】求下列函数的导数．1..2.3．．4．． 【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．（）.2.（).【例２-６】用对数求导法求下列函数的导数.１．（).2.【例2-７】求下列抽象函数的导数．１．已知函数可导，求函数的导数.2．设函数和可导,且，试求函数的导数．【例２－８】求由下列方程所拟定的隐函数的导数．1..2．．【例2-9】求由下列参数方程所拟定的函数的导数．1．．2.．【例2－10】求下列函数的微分.１．．2..3．4.．【例２-１1】求曲线在点处的切线方程和法线方程.【例2-１2】求曲线在点处的切线方程和法线方程.【例2-１３】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．【历年真题】一、选择题1．（２023年,1分)已知，则等于（）(A)ﻩ(B）(C)（Ｄ）2.（202３年，1分）曲线在点处的法线方程为（)(Ａ)(Ｂ）（C）(D）3．（２0２3年,1分）设函数在点处不连续,则()（A）存在(B）不存在（C)必存在（D)在点处可微４.(2023年,1分)若,则()(Ａ)（B）（C）（D)5．（２０23年，3分)函数，在点处（)（A)可导(B）间断(Ｃ）连续不可导（D)连续可导6．(２0２3年,3分）设在处可导,且，则不等于(）（A）（Ｂ)（C）(D）7.（2023年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是(）(A）(B)（C）（D）8．（2023年，３分)若可导,且，则（）(A）(B)(Ｃ)（D)9．（2023年,2分)设,为可导函数,则（)（A）（B）（C）（D）１0.（202３年，3分)设，则（）（A）(B）(C)（Ｄ)1１．（2０23年，3分）设,则()（A）(B)(C）（D)1２.（2023年，３分)（）(Ａ）(B)(C)（D)二、填空题1.（2０2３年,2分）若曲线在点处的切线平行于直线,则.２.（２0２3年,2分)设,则．3.(202３年,4分）曲线在点的切线的斜率等于.4.(2０２3年，4分)由参数方程拟定的.5．(2023年,2分)曲线在点处的切线方程是.６.（２02３年,２分)函数不可导点的个数是．7．(2023年,２分）设，则.三、计算题1.（２0２3年,5分)设函数由方程所拟定，求.2.（2023年，5分）求函数()的导数．3．(2０23年,5分）设,求.4.(２02３年,4分）设可导,且，求．5.(2023年,５分）已知．(1）在处连续，求；(2)求．第三节、微分中值定理与导数的应用【例3-1】验证罗尔定理对函数在区间上的对的性.【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的对的性．【例3-3】不求导数，判断函数的导数有几个零点,这些零点分别在什么范围．【例3-4】证明,其中．【例3－5】求下列函数的极限.1.求．2．求．3.求．4.求.５.求．6.求. 7．求.8.求.【例3-6】求下列函数的单调区间．1..２..【例3-7】运用函数的单调性证明不等式．１.试证当时，成立．2．试证当时,．【例3-８】证明方程在区间内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值．１．．2．.【例3-１０】求函数在区间上的最值．【例3－11】求下列曲线的凹凸区间和拐点.1.．2．.【历年真题】一、选择题1．（20２3年,1分）若函数满足,则必为的（）（Ａ）极大值点（B)极小值点(Ｃ）驻点(D)拐点2.(2０２３年,１分)当时,曲线（)(Ａ)没有水平渐近线（B）仅有水平渐近线(Ｃ)仅有铅直渐近线（D)既有水平渐近线,又有铅直渐近线3.（20２3年,3分)函数在区间上满足拉格朗日公式中的等于(）（A）（Ｂ）（C）(D）４.（202３年,3分）曲线上切线平行于轴的点为（）(A）（Ｂ）（C）（D）5．（202３年，3分)若在区间内，导数，二阶导数,则函数在该区间内（）（A）单调增长，曲线为凸的(Ｂ）单调增长,曲线为凹的(C)单调减少，曲线为凸的(D)单调减少，曲线为凹的二、填空题1.（2023年,２分)函数的单调减区间是．2.(2023年,2分)当时,是函数(填“单调递增”、“单调递减”).3．(20２３年,2分）函数在区间上的最大值点是.4.(2０２3年,4分）曲线在处的切线方程为.5.（2023年，３分）的凸区间是．６．(20２３年,3分）曲线通过点的切线方程为.三、应用题或综合题１.(20２3年，1０分)现有边长为厘米的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱,问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？2．（2023年,１0分)设函数在上连续，并且对于上的任意所相应的函数值均为,证明：在上至少存在一点,使得．３.（20２３年,1０分）某工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场,一边可以运用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才干使砌墙所用的材料最省？4．（202３年，10分)当，时，.5．（2０23年,８分)求函数的单调区间、极值、凹凸区间与拐点.6.(2０2３年,8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．7．（2０２3年,８分)在周长为定值的所有扇形中,当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大?8.（2023年,10分）求函数的单调区间、极值及凹凸区间、拐点.9.（20２3年,10分)设函数在上连续,且．证明方程在内有且仅有一个根.10．(2023年,8分)已知与在处切线相同,写出该切线方程并求.第四节、不定积分【例4-1】计算下列不定积分.1．.２．.3．4.．5．.6．．7．．8．．9.．10.．11..12.．１3．．14.．【例4-2】计算下列不定积分.1..2．．3．.4．.5.．6．.7.．8.．【例４－３】计算下列不定积分．１.．2．.３.．4．．【例4-4】设,求．【例４－5】已知是的一个原函数,求．【历年真题】一、选择题1．(202３年,1分)下列等式中，对的的一个是（)(A）(B)（Ｃ）(Ｄ）2.（2023年，3分)设（）,则（）（A)(B)(Ｃ)(D）３.(2023年，2分)若，则()（A)(B)(Ｃ)(D）4.（2023年，3分）()(A）（Ｂ）（C）(D）二、填空题１．（2023年,2分）不定积分.2.（２023年,2分）设,则．三、计算题１．(20２3年，5分）求不定积分.2．(2023年,５分）求不定积分．3.（２0２3年,4分)若，求．４.（2０23年,５分)求不定积分.四、应用题或综合题１.（2023年，8分）设的一个原函数为,求.第五节、定积分【例5-1】计算下列定积分．1．．2．.3..4．.５．.６．．7.（)．8.．【例5-2】计算下列定积分.1．.2．.3．．４．.【例5-3】计算下列广义积分.1..2．.3.．４．.【例５-4】计算下列积分上限函数的导数．１．．２．．3．．４．.【例5-5】求下列极限.1．．2..3．．4.．【例5－6】设函数计算．【例５-7】计算定积分.【例5-8】求下列平面图形的面积.计算由两条抛物线和所围成的平面图形的面积．2．求由抛物线，直线及所围成的平面图形的面积．３．计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积．一、选择题1．(2023年，1分）设,则等于(）（A)(B）（Ｃ)（D)2.(20２3年,1分）曲线与直线所围成的图形的面积为(）(A)(B）(C)（D)3．(2023年，1分)定积分等于(）（Ａ）(B)（Ｃ)（D）二、填空题１．(2023年,2分)．２．(２02３年，2分)设,则.３．（２023年,2分）由曲线,及轴围成的图形的面积是.4.（2023年,4分)积分的值等于．5.(2０2３年，２分)积分.解:６．(2０23年,2分).7．(2０23年,3分)．三、计算题１．(２02３年，５分)求定积分.2．（20２3年,5分)求定积分．3.(２０２3年,５分）求定积分．4．(20２3年，7分）求广义积分．5.（２023年,5分）求定积分.6.(2０23年,4分）设函数，求在内的表达式.7．（20２3年，４分）求定积分．8．(２0２3年,５分）求定积分.9．（20２3年,8分)求由曲线与直线,，所围平面图形的面积.第六节、微分方程【典型例题】【例6-1】求下列微分方程的通解.１．．２．.3．.4..【例6-2】求下列微分方程的通解．1．．2．．3．.4..【例６－3】求下列微分方程的通解.1．．２.．3．.4．．【例6-4】解微分方程．【例6-5】求微分方程满足初始条件的特解.【例６-6】求满足初始条件，的特解．【例6-7】已知曲线过点,且在点处的斜率为,求该曲线方程.【例6-8】设可导函数满足,求．【历年真题】一、选择题1.（2023年，3分)微分方程的通解为(）（A）（B)（C）（D）2.（２023年,２分）微分方程的通解是(）（A）（B)（Ｃ)(D）二、填空题1.（2０23年，2分)微分方程的通解为．２．(２0２3年,２分)微分方程满足初值的特解为.3．(２0２3年,4分)微分方程的通解为．4．（2０2３年,2分）方程的通解为．5．（2023年，3分)微分方程的通解为.三、计算题１.(２023年，5分)求微分方程的通解．2．（２０23年,5分)求微分方程的通解.3.(2023年，5分）求微分方程的通解．4．(２０2３年,7分)求微分方程的通解.第七节、向量代数与空间几何【典型例题】【例7－1】在轴上求与两点和等距离的点．【例7-2】已知两点和，求与同方向的单位向量．【例７-3】已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.【例7－4】设，，计算和．【例7-5】已知三角形的三个顶点分别是、和,求三角形的面积.【例７-6】已知向量,向量，向量和的夹角，求．【例7-7】求过三点、和的平面方程.【例7-8】求平行于平面:,且与平面垂直,求此平面的方程．【例7-9】求平行于平面：,且与球面相切的平面方程．【例7-10】求过两点和的直线方程.【例７-11】求过点且平行于直线的直线方程．【例７－12】求直线:与平面:的交点．【例7-１3】求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.【例7-1４】拟定直线:与平面:的位置关系.【历年真题】一、选择题1.（2023年，1分)已知向量与向量垂直,则等于（)（A）（B）（C)(D）2．(2023年，1分）直线：与平面:的位置关系是（）(Ａ)平行(B）垂直相交（Ｃ)在上(D)相交但不垂直3．（20２3年，３分）过点且垂直于轴的平面方程为（)（Ａ)(B)(C)(Ｄ）4.(2023年,3分）直线与下列平面垂直(）（Ａ）(B)（C)(D）5．（2023年,３分）直线与平面的位置关系是（)(Ａ）平行但不共面(Ｂ)直线垂直于平面(C)直线在平面上（D）两者斜交二、填空题1．(２02３年，２分)通过点，和三点的平面方程是．2．（２０23年,2分）设，为向量，若,,与的夹角为，则.3．(2023年,２分)点到平面的距离是.三、计算题1．(2０２３年，5分）求平行于轴且过点和的平面方程.2.(2023年，5分)求通过点和且垂直于平面的平面方程.第八节、多元函数与微分学【典型例题】【例8-１】求下列函数在指定点处的偏导数．1．，求,．２.，求，．【例８-２】求下列函数的偏导数.1．．2．.３．.4.．5.．6．．【例８-3】求下列函数的所有二阶偏导数．1.．2..【例8－4】求下列函数的全微分．1.．２.．【例８-5】设,而,,求和．【例８-６】设，而，,求．【例8－7】求下列函数的偏导数(其中具有二阶连续偏导数).１..2．．【例８-8】求下列方程所拟定的函数的导数或偏导数．1.方程拟定了函数，求．2．方程拟定了函数,求.3．方程拟定了函数，求和．4.方程拟定了函数，求和．【例8-9】求函数的极值．【例8-10】求函数的极值.【历年真题】一、选择题1.（２023年,１分）二元函数在点处存在偏导数是在该点可微分的（)（A）必要而不充足条件（Ｂ）充足而不必要条件（Ｃ)必要且充足条件（D)既不必要也不充足条件2.(2０2３年，3分)已知，则()（A)(B）(C)(D)3.(2０23年,3分）设,则(）（A)（Ｂ)(C)（Ｄ）二、填空题１.（2023年,2分）“函数的偏导数、在点存在”是“函数在点可微分”的条件.三、计算题1.(2023年，５分)求由方程所拟定的二元函数的全微分．2．(2023年，５分）求函数的全微分．３.(２023年,5分）求二元函数的全微分.4.(２023年，5分）设，，求，.5.（2023年,4分)设，求．6.(20２3年，４分）求的极值．7.（２０23年，5分）设,求.第九节、二重积分【典型例题】【例９-1】计算,其中是由直线、及所围成的闭区域.【典型例题】【例9-1】计算，其中是由直线、及所围成的闭区域.【例9-2】求,其中是由直线、及所围成的闭区域.【例９-3】求，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.【例9-４】计算，其中是由直线、和曲线所围成的闭区域．【例9-５】计算，其中是由中心在原点、半径为（）的圆周所围成的闭区域.【例９－６】计算，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.【例9-7】计算,其中是圆环形闭区域.【例9－8】互换下列二重积分的积分顺序.1..2..3．．4．．【历年真题】一、选择题1．（20２3年,３分)设：,则等于（)(Ａ）(B）(Ｃ)(D）２.（20２３年,2分）互换积分顺序（)（A)(B）（Ｃ)（Ｄ）3．(2023年,3分）设：,,则(）（A)（B）（Ｃ）（Ｄ）二、计算题1.（２023年，5分)求二重积分,其中是由，，所围成的闭区域.２．(2０23年，5分）计算，其中是由抛物线及直