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文档简介

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目规定.(1)已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则().(A)k=1,c=4(B)k=1,c=-4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=-4(2)已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0.则=().(A)-2f'(0)(B)-f'(0)(C)f'(0)(D)0(3)函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为().(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ>0)的特解形式为().(A)a(eλx+e-λx)(B)ax(eλx+e-λx)(C)x(aeλx+be-λx)(D)x2(aeλx+be-λx)(5)设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)>0,g(0)<0,且f'(0)=g'(0)=0.则函数Z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充足条件是().(A)f"(0)<0,g"(0)>0(B)f"(0)<0,g"(0)<0(C)f"(0)>0,g"(0)>0(D)f"(0)>0,g"(0)<0(6)设.则I,J,K的大小关系是().(A)I<J<K(B)I<K<J(C)J<I<K(D)K<J<I(7)设A为三阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B.再互换B的第2行与第3行得单位矩阵,记,则A=().(A)P1P2(B)(C)P2P1(D)(8)设A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,A*为A的随着矩阵,若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可为().(A)α1,α3(B)α1,α2(C)α1,α2,α3(D)α2,α3,α4二、填空题(9)=______.(10)微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______.(11)曲线的弧长s=______.(12)设函数则=______.(13)设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所组成,则二重积分=______.(14)二次型f(x1,x2,x3)=,则f的正惯性指数为______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.(15)已知函数.设,试求α的取值范围.(16)设函数y=y(x)由参数方程拟定,求y=y(x)的极值和曲线y=y(x),的凹凸区间及拐点.(17)设函数Z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1,求(18)设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点,记α为曲线l在点(x,y)外切线的倾角,若.求y(x)的表达式.(19)①证明:对任意的正整数n,都有成立.②设(n=1,2,…),证明数列{an)收敛.(20)一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成.(Ⅰ)求容器的容积;(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部所有抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m.重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m(21)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,.其中D={(x,y)}0≤x≤1,0≤y≤1),计算二重积分(22)设向量组α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T,不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T线性表达(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表达.(23)设A为三阶实矩阵,A的秩为2,且(Ⅰ)求A的特性值与特性向量;(Ⅱ)求矩阵A.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)[考点]无穷量的比较[答案解析]由于,所以f(x)=4x3+o(x3)~4x3,于是c=4,k=3,故选(C).(2)[考点]导数的定义[答案解析],故选(B).(3)[考点]拟定f'(x)的零点个数[答案解析]求出f'(x):由判别式122-4×3×11=12>0,3x2-12x+11有两个零点(不是x=1,x=2,x=3),因此f(x)有两个驻点.故选(C).(4)[考点]微分方程的求解[答案解析]原方程相应的齐次方程的特性方程y2-λ2=0,解得y1=λy2=-λ,则y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλxC1y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λxC2故原方程的特解y=x(C1eλx+C2e-λx)故选(C).(5)[考点]运用导数求函数的极值[答案解析]z=f(x)g(y)在(0,0)点,A=f"(0)g(0)B=f'(0)g'(0)=0C=f(0)g"(0)AC-B2>0且A>0f"(0)<0,g"(0)>0故选(A).(6)[考点]定积分的计算[答案解析]sinx<eosx<1<cotx则lnsinx<lncosx<0<lncotx故即I<K<J故选(B).(7)[考点]矩阵的初等变换[答案解析]显然P2AP1=E,,由于,所以,故选(D).(8)[考点]线性方程组的基础解系[答案解析]由于Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量,所以r(A)=3,于是r(A*)=1,故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量,又A*A=|A|E=0且r(A)=3,所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系,由于(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的基础解系,所以α1+α3=0,故α1,α2,α4或α2,α3,α4线性无关,显然α2,α3,α4为A*x=0的一个基础解系,故选(D).(9)[考点]极限的计算[答案解析](10)e-xsinx[考点]一阶微分方程求解[答案解析](C+sinx),由于y(0)=0,则C=0,故y=e-xsinx.(11)[考点]曲线积分的计算[答案解析](12)[考点]反常积分计算[答案解析](13)[考点]二重积分的计算[答案解析](14)2[考点]二次型[答案解析]特性值λ1=0,λ2=1,λ3=4,f惯性指数为2.三、解答题(15)[考点]极限的逆问题[答案解析]当a=0时,由于,所以结论不对的;当a<0时,由于,所以结论也不对的;当a>0时,所以a<3,于是1<a<3.(16)[考点]运用导数求函数的凹凸区间及拐点[答案解析]当t=1时,由于,所以当t=-1即x=-1时,函数取极大值y=1.当t=1时,由于,所以当t=1即时,函数取极小值.令得t=0,当t<0时,,当t>0时当t<0时即时,函数为凸函数,当t>0即时,函数为凹函数.(17)[考点]二元函数求偏导[答案解析]由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1,所以g'(1)=0.(18)[考点]运用导数求曲线的切线[答案解析],两边对x得,即(1+y'2)y'=y",于是有令y'=P,则,于是有,变量分离得,两边积分得由P(0)=1得,代入得解出由y(0)=0.面积分得:(19)[考点]数列与积分中值定理综合题[答案解析]证明:①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理其中②其中易知an+1-an<0,则an+1<an即{an}单调递减又所以{an}单调递减有界,故{an}收敛.(20)[考点]积分的应用[答案解析](Ⅰ)(Ⅱ)(21)[考点]二重积分的计算[答案解析]于是(22)[考点]向量的线性相关性[答案解析](Ⅰ)由于,所以r(α1,α2,α3)=3又由于α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表达,所以r(β1,β2,β3)<3,于是|β1,β2,β3|=0,解得a=5.(Ⅱ)于是(23)[考点]矩阵的特性值、特性向量[

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