2023年河南专升本高等数学真题和详细答案

２0２3年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题（每小题1分,共30分,每小题选项中只有一个是对的的,请将对的答案的序号填在括号内).1.函数的定义域为()A.[０,3)B．(0,３)C.(０,3]D.[0,３]2．已知,则等于（)A．B．C．D.３．设,，则当时，是的()A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．等价无穷小D.同阶但不等价无穷小4.对于函数，下列结论中对的的是(）Ａ．是第一类间断点，是第二类间断点;B．是第二类间断点，是第一类间断点;C．是第一类间断点，是第一类间断点；Ｄ．是第二类间断点,是第二类间断点．5.设,则的值为（)A．B．2Ｃ.0D.6.设，则等于()A.B.C．D．７.已知椭圆的参数方程为,则椭圆在相应点处切线的斜率为()A．Ｂ.C.D.ﻩ８．函数在点处可导是它在处连续的()Ａ.充足必要条件B．必要条件C．充足条件D.以上都不对9．曲线的拐点为(）Ａ．Ｂ．Ｃ．D．１0．下列函数中,在上满足罗尔定理条件的是(） A.B.Ｃ.D．１１.设是的一个原函数,则等于()A.B.Ｃ.Ｄ．ﻩ１2.下列式子中对的的是() A．B.C.D．13.设,,则它们的大小关系是()Ａ．B．C．D.１4.定积分等于（）A.B.C．D．15．下列广义积分中收敛的是()A.Ｂ.C．Ｄ．16．等于（）A．Ｂ．C.D. １7．设,则等于（)Ａ．B.C．D．18.函数的驻点是()A.B．C.D.１９.平面与的位置关系是（)A.平行B.垂直C．重合D.斜交２0．设，则在极坐标系下,可表达为()Ａ．B.C.D.21．设级数收敛，则等于(）A．１B．0Ｃ.Ｄ．不拟定22．下列级数中收敛的是（)A.B.C．Ｄ.23．设正项级数收敛，则下列级数中一定收敛的是()A.B.C．Ｄ．２4.下列级数中,条件收敛的是(）A．B．Ｃ.D.25．设幂级数(为常数，）在点处收敛，则该级数处（）A发散B．条件收敛C．绝对收敛Ｄ.敛散性无法鉴定2６.某二阶常微分方程的下列解中为通解的是(）A.B．C.Ｄ.27.下列常微分方程中为线性方程的是()A．B．C．D．２8．微分方程的通解是（）A．B.Ｃ．D．29.微分方程的通解是(）A.B.Ｃ．D.30．对于微分方程运用待定系数法求特解时,下列特解设法对的的是（)A．Ｂ．C.D．二、填空题（每小题2分，共20分）1．_＿＿＿____.2．设,则＿_______.３.曲线在点的法线方程为________.４．＿_＿___＿＿.5.由曲线所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积是＿___＿_＿．6．设,则________.7．互换积分的积分顺序，则___＿＿__＿.8.幂级数的收敛半径为__＿＿____．9．幂级数的和函数为___＿___＿．10．方程①的通解为__＿___＿_.三、计算题（每小题4分,共36分）1．求极限2.求函数的导数．３．已知且可微分,求.4.计算．5．计算６.计算，其中为所围的右半圆．7．计算积分，其中是曲线上从点到点之间的一段有向弧.８.求过点且平行于平面与的直线方程．9．将函数展开为麦克劳林级数,并写出收敛区间．四、应用题(每小题5分,共1０分)１．某工厂生产某产品需两种原料、,且产品的产量与所需原料数及原料数的关系式为.已知原料数的单价为１万元/吨，原料数的单价为2万元/吨.现有100万元,如何购置原料,才干使该产品的产量最大?2.已知位于第一象限的凸曲线通过原点和点且对于该曲线上的任一点,曲线弧与直线所围成的平面图形的面积为．求曲线弧的方程.五、证明题(４分)ﻩ证明方程在区间内有唯一实根．答案1,【答案】A.【解析】规定；规定，即取两者之交集,得应选A.2，【答案】C.【解析】由于,故,应选C.3，【答案】D.【解析】由于，所以由定义知，是的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B．【解析】由于,故第二类间断点,且为无穷型间断点;又由于，故是第一类间断点,且为可去型间断点.所以选Ｂ.5，【答案】D.【解析】

选D．６，【答案】A.【解析】由于，所以,故选A.7，【答案】Ｃ.【解析】，,所以故椭圆在相应点处切线斜率为，应选Ｃ.８，【答案】选C．９,【答案】A.【解析】；．令，得;无二阶不可导点.又当时，,而当时,，故为拐点,选A．1０，【答案】C.【解析】（1).在处不可导，故在内不可导,排除A;(２)．在端点及处的值不相等，排除B; （3）.在处无定义，故在上不连续，排除Ｄ.选C.11，【答案】B．【解析】选B.12，【答案】D.１3,【答案】C.【解析】由于当时，,而，且不恒等于,故,选Ｃ.1４,【答案】D.【解析】选Ｄ.1５,【答案】Ａ.【解析】，故收敛，选A.１6，【答案】B.【解析】，选Ｂ.17，【答案】C.【解析】;.故所以，．选Ｃ.18，【答案】Ｄ.．【解析】由方程组得故驻点为.选D．１9,【答案】Ｂ.【解析】平面的法向量为;平面法向量为．由于，所以⊥,平面与垂直,选B.2０，【答案】C.21，【答案】A．【解析】由于收敛,故由级数收敛的必要条件知所以,选A．2２,【答案】B.【解析】(1）为的—级数,故发散，排除A；(２)为公比的等比级数,故收敛，选Ｂ；(3）记,由于,故由达朗贝尔比值审敛法知发散,排除C；(４)由于为的—级数,故收敛；又为公比的等比级数，故发散.所以由级数的性质知发散.２3，【答案】D.【解析】(１)取，则收敛，但发散,排除A； (2)取，则收敛，但发散，排除,选Ｂ;(3)记，则收敛，但发散,排除C；(４）由于收敛,故;所以由，且收敛知,也收敛.选Ｄ.24，【答案】Ｃ.【解析】（1），由于且收敛，故绝对收敛,排除A；ﻩ（2）收敛，故绝对收敛，排除Ｂ；（3)收敛，故绝对收敛,排除D；(４）记，则显然单减,且，所以由莱布尼兹审敛法知收敛;但发散,故条件收敛.25,【答案】C．【解析】由题意,在点处收敛,故由Aｂeｌ收敛定理知，在的点处均绝对收敛,又由于，所以在点处绝对收敛．选C.26,【答案】B.由通解的定义知,应选B.2７，【答案】Ｄ．所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的,据此定义知，应选Ｄ．28，【答案】A.【解析】；；29,【答案】A.【解析】微分方程的齐次方程的特性方程为所以,特性根为:故通解为，选A.3０，【答案】A．【解析】微分方程的齐次方程的特性方程为所以,特性根为：这里右端项，由于非特性根，故可设故选A.填空１,【答案】填.【解析】.2，【答案】填．【解析】;;；．所以，.3,【答案】填.【解析】;故切线斜率为.所以法线方程为,即.４,【答案】填【解析】5,【答案】填． 【解析】.6,【答案】填. 【解析】．７,【答案】填.【解析】积分区域是由直线及轴所围成的三角形区域，互换积分顺序后.８，【答案】填1. 【解析】记,由于，所以收敛半径为9，【答案】填.ﻩ【解析】由展式知１0，【答案】填【解析】①式可化为②②两边积分,得,即也就是所以原方程的通解为计算题1，【解析】(洛必达）－－--－-－－－-----－---－--－---------－－－-－----－2分-－－－-－----－---－-------－-－--－---------－--－-3分---－－－---－－－------－－-----－－－--－－-－----－－----4分2,【解析】－－－---－-－－----－-------－-----－－－-－－-－---－---－－-－－--1分上式两端关于求导，得--－----－---－-－-------－---2分即-－－－----－－－---－-－---－--－－--－----------------－-------3分所以--－-－-----－----4分3，【解析】由微分形式的不变性知--－－－－-－---－-－－-－--------------－---－----------－-－--－-－-2分即-－------------------－－------------－--－-－--－－－------4分所以；.-－－---－---－－－-－---－---－---－-－-－-－--－-－--－---－-----－５分4，【解析】--－---－－--------－-----－---－-－----－－--－－------－-------１分（分部)－----－-－-－---－－-－-------－－－－--－---－-----２分----－－－-3分－-－－--－--------－--－-－--－---－---－--－－4分5,【解析】令，则----－-－-------－－-----－--------－-－--－--－－--－-－--－---－1分原式化为-----------－－－---－-－----2分-－-－--－-－----－------－--3分－－－---－---－-------－-----－－---－----4分注意:倒数第二步用到６,【解析】---－-－-－－－-------－---－-－--－－-－--－-－----－--1分(极坐标）-－-－--－--－-----－－--－-------------－-－－---－－-3分.--－---－----４分７,【解析】的参数方程为----－-－--－--------－-－-－-----------－--－--－2分故------－---－-4分８，【解析】的法向量是；的法向量是.-----------－－－1分可取所求直线的方向向量为---－--－------－---－--－---－---3分故所求直线方程为 －-------－--------------－----------－--－－---4分9，【解析】--－--－--－-－---－－--－---－