2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）

专题1.1菱形的性质与判定（知识讲解）

【学习目标】

1.理解菱形的概念；

2.掌握菱形的性质定理与判定定理；

3.掌握求菱形的两种方法，利用等面积法求线段；利用菱形的对称称求最值；

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

特别说明：：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个

平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。

要点二、菱形的性质

1.从边出发：菱形的四条边都相等；

2.从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称

中心.

特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱

形分成完全全等的两部分.利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角

线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边相等的四边形是菱形.

2.从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

特别说明；：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种

方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、利用菱形的性质求角

1.如图，8。是菱形ABCD的对角线，NC8£>=75。，（1）请用尺规作图法，作AB

的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接防，求"3尸的度数.

【答案】（1）见分析；（2）45。

【分析】

（1）分别以“、8为圆心，大于gA8长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可;

（2）根据。"=口48。-口/8尸计算即可；

解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

ABD=DBC=gABC=15°,DCAB,A=C,

2

□□48C=150。,U^C+aC=180°,

□□C=1力=30。.

E尸垂直平分线段48,

\JAF=FB,

□[/=口尸8力=30。，

□[DBF=：ABD-UFBE=450.

【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

【变式1】如图，在菱形43。中，AB=4,ZBAD=\20°,。是对角线3。

的中点，过点。作OE_LC£>于点E,连结。4.则四边形AOED的周长为（）

A.9+2百B.9+6C.7+26D.8

【答案】B

【分析1由已知及菱形的性质求得ABD=CDB=30。，AOBD,利用含30。的宜角三

角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE,进而求得四边形AOED的周长.

解：四边形ABCD是菱形，。是对角线的中点，

□AOBD,AD=AB=4,ABLDC

nnBAD=120°,

□CABD=：ADB=LCDB=30°,

□OEODC,

U在RtAAOD中，AD=4,AO=1AD=2,DO=_AO2=273-

在RtADEO中，OE=；OO=g,DE=yloD2-OE2=3-

四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2+G+3+4=9+G,

故选：B.

【点拨】本题考查菱形的性质、含30。的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质

及含30。的直角三角形边的关系是解答的关键.

【变式2】如图，在菱形中，48的垂直平分线交对角线8。于点尸，垂足为点E,

连接ZRAC,若□L>C8=70。，则ELE4C=.

【答案】20。

【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出8/1C和FAB

的度数，即可解决问题.

解：七厂是线段48的垂直平分线，

[1AF—BF,

QQFAB^aFBA,

口四边形45。是菱形，DCB=10°,

BC=AB,BCA=；DCB=35°,ACBD,

□□41C=8c4=35。，

□□F8/=90。-匚8/C=55。，

□□"8=55。，

FAC=FAB-BAC=55°-35°=20°,

故答案为：20°.

【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形

的性质是解题的关键.

类型二、利用菱形的性质求线段

©>2.如图，菱形A8C。中，作B£_LA£>、CFLAB,分别交A。、AB的延长线于

点尸.

(1)求证：AE=BF；

(2)若点E恰好是A3的中点，AB=2,求的值.

【答案】(1)见分析：(2)BD=2.

【分析】

(1)由“AAS”可证MEBgABFC,可得AE=BF；

(2)由线段垂直平分线的性质可得3D=AB=2.

解：(1)四边形A8CO是菱形,

AB=BC,AD//BC,

ZA=ZCBF,

BEYAD.CF-LAB,

ZAEB=NBFC=900,

□AA£B^ABFC（A4S）,

AE=BF；

(2)上是AD中点，且BELAD,

直线BE为AD的垂直平分线，

BD=AB=2.

【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质,

熟练运用菱形的性质是本题的关键.

\r

【变式1】如图，在菱形ABC。中，ZABC-600,连接AC、BD,则——的值为()

BD

【答案】D

【分析】设4c与BD的交点为0,由题意易得NAB£>=NCB0=gNABC,A2=BC,

ACrBD,BO=DO,AO=CO,进而可得/BC是等边三角形，BO=&AO,然后问题可求

解.

解：设/C与8。的交点为0,如图所示：

AD

O

B

四边形ABC。是菱形,

ZABD=ZCBD=-ZABC,AB=BC,AC1.BD,BO=DO,AO=CO,

2

ZABC=60。,

□□NBC是等边三角形，

ZABO=30°,AB=AC,

AO=-AB,

2

OB=>JAB2-AO2=6OA，

BD=2^OA,AC=2AO,

AC2OA8

BD2拒OA3

故选D.

【点拨】本题主要考查菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练学

握菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.

【变式2】如图，菱形488,以点8为圆心，8D长为半径作弧，交于点氏分别

以点。，E为圆心，大于;QE长为半径作弧，两弧交于点凡射线8厂交边于点G,连

接CG,若「8CG=30。，/G=3,则的长为.

BC

【答案】巫

2

［分析］由作法得「AGB=90°,利用菱形的性质得到ADBC,AB=BC,所以「G8C=90。，

在Rt^BCG中，设8G=x,则BC=&,所以ABfx,在R2BG中利用勾股定理得到^+32=

（V3.r）2,然后解方程求出x,从而得到48的长.

解：由作法得8GAD,

□L：XGB=90°,

四边形/8C。为菱形，

ADBC,AB=BC,

□匚G8C=90。，

在mABCG中,设3G=JG

□□BCG=30°,

BC=y/3x,

AB=43X,

在用zUBG中，x-+32=(6x)2,解得x尸逑，X2=--(舍去)，

22

/8=@述=述.

22

故答案为：巫.

2

【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线

段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线).也考查了菱形的性质.

类型三、利用菱形的性质求面积

©，3.如图，在ABCD中，BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点.

⑴求证：□ABEQCCDF；

(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

【答案】(1)见试题解析；(2)2后

【分析】

(1)由oABCD可得AB=CD,BC=AD,ABC=：CDA,再结合点E、F分别是BC、

AD的中点即可证得结论；

(2)当四边形AECF为菱形时，可得ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即

可求得结果.

解：□在uABCD中，AB=CD,

[BC=AD,[ABC=LCDA.

又BE=EC=；BC,AF=DF=3AD,

[BE=DF.

□□ABEQDCDF.

(2)当四边形AECF为菱形时，匚ABE为等边三角形，

四边形ABCD的高为6,

菱形AECF的面积为2G.

【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平

行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等.

【变式1】已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为1：2,则菱形的面积为()

A.86B.8C.4百D.273

【答案】D

【分析】

根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果.

解：如图，！两邻角度数之比为1：2,两邻角和为180。，

1ZU8C=60°,84。=120°,

口菱形的周长为8,

口边长AB=2,

菱形的对角线/C=2,SD=2x2sin60°=2^,

菱形的面积=3"喈。=92'26=26.

【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质.

【变式2】如图，在菱形45co中，E,尸分别是AD,0c的中点，若80=5,EF=4,

则菱形ABCD的面积为.

【答案】20

【分析】连接ZC,利用中位线的性质，得4C=2E28,再利用菱形对角线乘积的一半

求面积即可.

解：连接4c

E,F分别是A。，DC的中点

E/是♦的中位线

又EF=4

DJC=8

S差影ABCD=；x8OxNC=；><5x8=20

故答案为：20.

【点拨】本题考查了中位线的性质以及菱形的面积求法，熟练掌握以上知识点作出辅助

线是解决问题的关键.

类型四、利用菱形的性质证明

.如图，在菱形ABCD中，E,尸是对角线AC上的两点，且AE=CF.

（1）求证：AABEa„CDFt（2）证明四边形BEDF是菱形.

【分析】

（1）利用S4S证明即可；（2）从对角线的角度加以证明即可.

解：（1）四边形A8C。为菱形，

AB=CD,^.ZBAE^ZDCF.

又二AE=CF,

ZVLBEKDF.

(2)

证明：连接3。交AC于点。，

四边形A8CO为菱形，

AC1BD,且。为AC,8。中点，

又［AE=CF,

EO=FO

8。与EF互相垂直且平分，

故四边形BEDF是菱形.

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全

等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键.

【变式1】如图，四边形A5CO是菱形，点E,尸分别在8C,DC边上，添加以下条件不

能判定AABEgAAZ）「的是（）

A.BE=DFB.ZBAE^ZDAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

【答案】C

【分析】根据三角形全等判定定理"S可判定Z,三角形全等判定定理/SZ可判定8,

三角形全等判定定理可判定C,三角形全等判定定理/ZS可判定D即可.

解：四边形ABCD是菱形，

AB=AD,B=仅

A.添加3石=。厂可以，

在A/1BE和△力。尸中，

AB=AD

</B=/D,

BE=DF

^ABE^ADF(SAS),

故选项/可以；

8.添加Nfi4£=NZMF可以，

在△48E和尸中

ZBAE=ZDAF

<AB=AD,

NB=ND

^ABE^ADF(ASA)；

故选项8可以；

C.添加他=AD不可以，条件是边边角故不能判定；

故选项C不可以；

D.添加NA£B=NAFD可以，

在A/BE和△/£)尸中

ZBEA=ZDFA

<NB=ND,

AB^AD

„ABE^ADF(SAS).

故选项。可以：

故选择C.

【点拨】本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱

形性质是解题关键.

【变式2】如图，四边形力88为菱形，/ABC=70。，延长BC到E,在NOCE内作射

线CM,使得/£。/=15。，过点。作OF_LCM,垂足为F.若DF=娓,则对角线8。的

【答案】2娓

【分析】连接/C交8。于，，证明A。。“ADCF,得出。〃的长度，再根据菱形的性

质得出8。的长度.

又匚MCE=\50,

DCF=550,

LDFCM,

CDF=35。，

又四边形是菱形,

口8。平分口/QC,

□L7/£>C=35°,

在ACOH和ACO/中，

'NCHD=NCFD

<NHDC=NFDC

DC=DC

ACDHACPF(AAS),

DF=DH=A,

DB=2瓜，

故答案为2斯.

【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题

的关键知识点，得出/〃)C=/DC是这个题最关键的一点.

类型五、添加一个条件证明四边形是菱形

©，5.如图，/C是口/8。。的一条对角线，过/C中点。的直线分别交8c于点

E,F.

(1)求证：□/OE"CO尸；

(2)当E尸与/C满足什么条件时，四边形/尸CE是菱形？并说明理由.

【答案】(1)证明见分析；(2)EFQ4C时，四边形/尸CE是菱形，理由见分析.

【分析】

(1)由平行四边形的性质得出45OBC,得出匚尸CO,利用对顶角相等

AOE=COF,。是/C的中点，。/=。。，所以由4S4即可得出结论；

(2)此题应用菱形的判定，先说明四边形/尸CE已经是平行四边形，再应用对角线互

相垂直的平行四边形是菱形即可.由口力社口匚COF,得出对应边相等/E=CF,证出四边形

/FCE是平行四边形，再由对角线或吧/C,即可得出四边形/FCE是菱形.

解：(1)口四边形是平行四边形，

JADUBC,

33EAO=UFCO,

□O是。)的中点，

OA=OC,

又AOE=COF(对顶角相等)，

□□JOfOQCOF(ASA)；

(2)QDAOEJJCOF,

AE=CF,

AECF,

四边形NFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，

当EF/C时四边形NFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)，

声/C时，四边形/"E是菱形.

【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

【变式1】如图，要判定QABCO是菱形，需要添加的条件是()

D

--------VC

A.AB=ACB.BC=BDC.AC=BDD.AB=BC

【答案】D

【分析】

根据菱形的判定方法即可解决问题.

解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，

故选：D.

【点拨】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

【变式2】如图，在A/BC中，/ODBC于点。，点E,尸分别是N48./C边的中点，

请你在A/BC中添加一个条件：使得四边形4EDF是菱形.

【答案】AB=AC（或匚B=DC,sgBD=DC）

【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当

/8C满足条件或；8=CE1寸，四边形/EDE是菱形.

解：要使四边形力ED尸是菱形，则应有。房“力房/尸，

□£,尸分别为4G8c的中点

DAE=BE,AF=FC,

应有DE=BE,DF=CF,则应有BDECDF,应有BD=CD，

「当点。应是8c的中点，而45BC,

□「S8C应是等腰三角形，

匚应添加条件：或口8=0C.

则当4BC满足条件N8=NC或8=口（7时，四边形4ED尸是菱形.

故答案为：AB=AC（或：B=C,或8Z>ZX?）.

【点拨】

本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维,

多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向''纵、横、深、广”

拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论.

类型六、证明已知四边形是菱形

©^6.如图，在QABCD中，G为8C边上一点，DG=DC,延长。G交的延长

线于点E,过点Z作AF〃”交C。的延长线于点F.求证：四边形尸是菱形.

【分析】先证四边形/切厂是平行四边形，再证44D=ZAZ)E，则AE=OE，即可得

出结论.

解：,•・四边形/8CD是平行四边形，

：.ZBAD=ZC,ADUBC,ABHCD,

AF//ED,

二四边形/EDf是平行四边形，

AD//EC,

:.ZDGC=ZADE,

•;DG=DC,

4DGC=/C,

ZBAD^ZADE,

/.AE=DE,

，平行四边形ZE。尸是菱形.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上

几何性质是解题的关键.

【变式1】如图，在AABC中，BRCE分别是边AC,A3上的中线，3OLCE于点0,

点M,N分别是OB,OC的中点，若OB=8,0C=6,则四边形DEMN的周长是()

D

A.14B.20C.22D.28

【答案】B

【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN,OM,

OE,计算出EM,可得结果.

解：匚BD和CE分别是:]ABC的中线，

□DE=yBC,DEIBC,

门M和N分别是OB和OC的中点，OB=8,OC=6,

MN=；BC,MNBC,OM=；OB=4,ON=yOC=3,

□四边形MNDE为平行四边形，

□BDJCE,

平行四边形MNDE为菱形，

□OE=ON=3

BC=7C>52+OC2=10-

口DE=MN=EM=DN=5,

四边形MNDE的周长为20,

故选B.

【点拨】本题考查了菱形的判定，中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判

定.

【变式2】如图，是边长为1的等边三角形为线段NC上两动点，且口Q8E=30。,

过点。，E分别作8c的平行线相交于点尸，分别交BC,AB于点、H,G.现有以下结

论：口5口/8。=立；□当点。与点C重合时，FH二;UAE+CD=^DE；□当4E=CD时，

四边形8"尸G为菱形.则其中正确的结论的序号是.

E

，F

BHC

【答案】□□□

【分析】过/作4/8C垂足为/,然后计算IZ3C的面积即可判定口；先画出图形，然

后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定；如图将58绕5点逆时针旋转

60°得至ijABN,求证NE=OE；再延长胡至ij尸使/尸=CZ>/N,证得P=60°,NP=AP=CD,

然后讨论即可判定：如图1,当/E=CO时，根据题意求得C，=C£>、ZG=C”，再证明四边

形为平行四边形，最后再说明是否为菱形.

解：如图1,过工作Z/1BC垂足为/,

是边长为1的等边三角形，

BAC=ABC=C=60°,Cl=-BC=~,

22

A1^4AC2-Cl2=

S^ABC=-Al.BC=-xlx^-=^-,故正确;

2224

Si

如图2,当。与C重合时,

DBE=30°,AABC是等边三角形,

□iDBE=lABE=30°,

DE=AE=-AD=-,

22

UGE//BD,

BGDE,

——=——=1,

AGAE

BG=-AB=-

22f

□GF//BD,BG//DF,

HF=BG=g,故：正确;

如图3,将8CQ绕8点逆时针旋转60。得到ABN,

□□>□2,口5=口6=60。，AN=CD,BD=BN,

□□3=30°,

□□2+口4=山+口4=30。，

□□^£=□3=30°,

又DBD=BN,BE=BE,

\JUNBE\J\JDBE(SAS),

UNE=DE,

延长EA到P使AP=CD=AN,

□[JNAP=180。-60。-60。=60。,

□ANP为等边三角形,

口P=60°,NP=AP=CD,

如果4E+CD=^DE成立,则PE=6NE,需NEP=90。,但NEP不一定为90。,

故□不成立;

如图1,当/E=CD时，

UGE//BC,

□□力GE=M8C=60。，V\GEA=\C=60°,

o

nn.AGE=DAEG=60f

QAG=AEf

同理：CH=CD,

4G=CH,

口BG〃FH,GF//BH,

□四边形BHFG是平行四边形，

IBG=BH,

四边形8/VG为菱形，故正确.

故答案为：□□□.

【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及

菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键.

类型七、用菱形的性质与判定求角度

©>7.如图，AE3BF,ZC平分口历1E,且交8F于点C,8。平分口489，且交NE于

点。，4C与8。相交于点O,连接CD

(1)求口/。。的度数；

(2)求证：四边形/8C。是菱形.

AD

E

B

【答案】(1)W)=90。；(2)证明见分析.

【分析】

(1)首先根据角平分线的性质得到口。力。=口84。，口力DBC,然后根据平行线的

性质得到DAB+(784=180。，从而得到BAC+4BD=；(DAB+ABC)=1X180°=90°,

得到答案iAOD=90°；

(2)根据平行线的性质得出口ZZ^nQDBG「D4GOBC4根据角平分线定义得出

DDAC=nBACf：2ABD=JDBC,求出口"GZUCB,DABDKADB,根据等腰三角形的判定

得出根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案.

解：(1)DAC.8。分别是口力8。的平分线，

J\JDAC=UBACfDABD=nDBC,

□4EJBF,

DAB+LCBA=180°9

B4C+ABD=^(DAB+UABC)=^180°=90°,

AOD=90°；

(2)证：AE\BF,

[JDADB=rDBCrHDAC^BCA,

-\AC.8。分别是LA4Q、U/5C的平分线，

口口D4C=DB4C,口ABALDBC,

\J\JBAC=JACB,UABD=UADB,

口AB=BC,AB=AD

UAD=BC,

ADBC,

四边形是平行四边形，

QAD=AB1□四边形力8co是菱形.

【点拨】菱形的判定.

【变式1】如图，四边形438为菱形，若CE为边A3的垂直平分线，用NAD8的度数

为（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【分析】连接/C,证明/8C为等边三角形，得到ABC=W，根据菱形性质即可求解.

解：连接/C,

四边形A8CD为菱形，

□AB=BC,

CE为边AB的垂直平分线,

OBC=AC,

DAB=BC=AC,

□NBC为等边三角形，

U48c=60。，

四边形A8CD为菱形，

ADB=-ZADC=-ZABC=30°.

22

故选：C

【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质，证明

/8C为等边三角形是解题关键.

【变式2】如图，在菱形A8a＞中，NB=60。，E在CO上，将AAZ）E沿AE翻折至

AAZ7E,且AD刚好过BC的中点P,则印EC=

【答案】30。

【分析】由菱形的性质得出AB=BC,□D=OB=60°,C=120°,得出匚ABC是等边三角

形，由等边三角形的性质得出ADBC,由翻折变换的性质得：N£>'=D=60°,求出CME=

NPMD=30。,即可得出/DEC的度数.

口四边形ABCD是菱形，□6=60°,

OAB=BC,OD=DB=60°,□C=120°,

ABC是等边三角形，

AD，刚好过BC的中点P,

ADBC,

CaD'PC=90°,

由翻折变换的性质得：Z/y=D=60°,

CME=EPMD'=30°,

D'EC=180°-C-CME=30°；

故答案为：30。.

【点拨】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三

角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键.

类型八用菱形的性质与判定求线段

四，8.如图，在矩形ABCD中，。为对角线AC的中点，过点。作直线分别与矩形的

边A£>,BC交于M,N两点，连接CM,AN.

(1)求证：四边形4VCM为平行四边形；

(2)若AD=4,AB=2,且MV_LAC,求DM的长

3

【答案】(1)证明见分析；(2)-

【分析】

(1)通过证明和△CON全等，可以得到AM=NC,又因为AM〃/VC,所以可以

证明四边形4VCM为平行四边形；

(2)根据MNJ_AC,从而可以证明平行四边形4VCM是菱形，得到A"=4V=NC,

再使用勾股定理计算出8N的长度，从而可以得到的长度.

解：(1)口四边形N8CD是矩形

AD//BC,AM//NC

ZAMN=AMNC,ZMAC=ZACN

在和△CON中

ZMN=NMNC

■ZMAC=NACN

AO=CO

AOM^CON

AM=NC

又AM//NC

四边形ANCM为平行四边形.

(2)四边形ANCM为平行四边形

MN1AC

平行四边形4VCM是菱形

AM=AN=NC

AD=BC=4

设8N的长度为x

在RtMBN中,AB=2,AN=4-x

AB2+BN2=AN2

22+x2=（4-x）2

3

x=­

2

AN=AM=~

2

3

DM=-

2

【点拨】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形是解题的关键：（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对

角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键.

【变式1】四边形N8C。中，AB//CD,ZB=90°,AT>=CD,点。为NC中点，DO

的延长线交于£若BE=3,BC=4,则Z8的长为（）

A.5B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】连接CE,根据已知条件证明四边形A£CE是菱形，勾股定理求得CE,根据

A3=AE+E8即可求解.

解：如图，连接CE

•.•4)=8,点。为ZC中点,

:.ZDAC=ZDCA.DOLAC

：.ZADO=ZCDO

•••AB//CD

:.NCDE=NDEA

:.ZADE=ZAED

:.AD=AE

:.CD=AE

，四边形AECE是平行四边形

-.-AD^DC

四边形AECE是菱形

:.CE=AE

在中，BE=3,BC=4,

CE=4BC-+BE1=5

AB=AE+EB=5+3=8

故选C

【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明四

功形A£CE是菱形是解题的关键.

【变式2】如图，在□/BCD中，以/为圆心，长为半径画弧交于尸.分别以点

F,5为圆心，大于;8F长为半径作弧，两弧交于点G,作射线4G交8c于点区若BF=

6,AB=5,则的长为_.

【分析】根据作图痕迹得出/E为।8/。的平分线，AB=AF,根据平行四边形性质和平

行线性质可证明四边形/8E尸是菱形，再根据勾股定理求解即可.

解：连接EF,设AE与8厂交于点。，

由作图得：UBAE=UE4E,AB=AF,

L四边形ABCD是平行四边形，

ADJBC,即/尸BE,

FAE=BEA,

□BAE=BEA,

DAB=BE=AF,

QAEDBE,

二四边形45砂是平行四边形，

AB=AF,

四边形48所是菱形，

0SO=ySF=3,OA^AE,AEBF,

在RtINOB中，月8=5,23/08=90°,

由勾股定理得：OA7AB2-BCP=5/52-32=4,

UAE=2OA=S,

故答案为：8.

【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等

腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答

的关键.

类型九、用菱形的性质与判定求面积

©，9.如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在A8的延长线

上，CE1AB,垂足为E,点F在的延长线上，b_LA。，垂足为尸.

(1)若/加。=60°,求证：四边形CEHP是菱形；

(2)若CE=4,AACE的面积为16,求菱形A3CO的面积.

【答案】(1)证明见分析；(2)20.

【分析】

(1)由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证

EH=CE=CF=FH=-AC,即可证明结论；

2

(2)由根据三角形面积求法可求NE,设N8=x,在RNBCE,由勾股定理列方程即可

求出菱形边长，进而可求面积.

解：四边形A8CD是菱形，ZB4£>=60°,

NB4c=30°,

CELAB,,

EC=-AC,

2

又［AH=CH,

EH=LAC,

2

EH=CE=、AC

2

同理可得：CF=FH=-AC,

EH=CE=CF=FH,即：四边形CE〃尸是菱形；

(2)/\ACE=-AE.CE,