牛顿迭代应用

牛顿迭代应用第一页，共十八页，2022年，8月28日例1平方根算法收敛性分析令思考:如果迭代初值x0

为负数是否也收敛？第二页，共十八页，2022年，8月28日例2*.采用迭代法计算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。

Ex2：对是否都有这一性质?第三页，共十八页，2022年，8月28日

例3

应用牛顿迭代法于方程

x3–a=0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。解：令

f(x)=x3–a，则牛顿迭代公式

故立方根迭代算法二阶收敛第四页，共十八页，2022年，8月28日例4.设a

为正实数,试建立求1/a

的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含除法运算,并考虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,当|1–ax0|<1时，迭代公式收敛。

解:建立方程利用牛顿迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2

整理，得第五页，共十八页，2022年，8月28日应用:设取X0=1,递推公式牛顿迭代设第六页，共十八页，2022年，8月28日例5

用牛顿迭代法求解非线性方程组第七页，共十八页，2022年，8月28日分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下

n xn

yn

xn

yn0 1 0 2 21 1.0625 0.1250 1.6458 1.58332 1.0673 0.1391 1.5570 1.41633 1.0673 0.1392 1.5465 1.39174 1.0673 0.1392 1.5463 1.3912第八页，共十八页，2022年，8月28日手机位置的三点定位法已知三个基站的位置

P1(x1,

y1)P2(x2,

y2)P3(x3,

y3)手机位置

Q(x,y)？？已测得Q到点P1、P2以及P3的距离d1,d2和d3d1d2d3Q第九页，共十八页，2022年，8月28日数学模型

其中，

矩阵表示

第十页，共十八页，2022年，8月28日例1已知三个接收站位置数据及手机距离数据PkxkykdP1104033.5P2501040P31005060x=40.9500y=47.5625直接法定位第十一页，共十八页，2022年，8月28日非线性超定方程组方程组局部线化第十二页，共十八页，2022年，8月28日线性超定方程组超定方程组最小二乘解初值修正高斯-牛顿迭代第十三页，共十八页，2022年，8月28日非线性方程组初值选取:第十四页，共十八页，2022年，8月28日高斯-牛顿迭代法53.333341.292141.080641.082341.082441.0824········33.333349.471349.304949.298649.298349.2983········x=40.824y=49.2983比较直接法结果x=40.9500y=47.5625第十五页，共十八页，2022年，8月28日牛顿迭代法的收敛域问题:

用牛顿迭代法求解复数方程

z3–1=0，该方程在复平面上三个根分别是z1=1选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。

第十六页，共十八页，2022年，8月28日收敛到z1的牛顿迭代初值点集合收敛到z2的牛顿迭代初值点集合收敛到z3的