北师版八年级数学 7.5 三角形内角和定理（学习、上课课件）

7.5三角形内角和定理第七章平行线的证明逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2三角形内角和定理三角形的外角三角形内角和定理的推论知1－讲感悟新知知识点三角形内角和定理1内容图形三角形内角和定理三角形的内角和等于180°，即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

感悟新知续表知1－讲内容图形三角形内角和定理的证明基本思路构造平行线，利用平行线的性质说明三角形的内角和是180°思路1如图，过点A作EF∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∴∠BAC+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°

感悟新知续表知1－讲内容图形三角形内角和定理的证明思路2如图，过点C

作CE∥AB

，作BC

的延长线CD，∴∠A=∠1，∠B=∠2，∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°思路3如图，在BC

上取一点D，过点D作ED∥AC，DF∥AB，分别与AB，AC交于点E，F，易知∠B=∠3，∠C=∠1，∠A=∠2，∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°

感悟新知知1－讲特别提醒(1)三角形的内角和等于180°是一个共性的结论，与三角形的具体形状或种类没有关系.三角形的内角和等于180°常作为一个隐含条件，在有关角的计算中经常用到；(2)与三角形内角和定理有关的一个重要结论：直角三角形中两个锐角互余；三角形中最多只有一个直角或钝角；(3)证明三角形内角和定理的关键是如何添加辅助线，而其指导思想是利用平行线把分散的三角形三个内角集中起来.知1－练

例1知1－练感悟新知解题秘方：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程(组)求解.知1－练解：设∠B＝∠C＝x°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴40＋x＋x＝180，解得x＝70.∴∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；知1－练

(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度数；知1－练

三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组)求解.知1－练感悟新知方法点拨：求三角形内角的度数的方法:1.若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；2.若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系，或不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程(组)求解.知1－练感悟新知1-1.

[中考·湖北]如图，Rt△ABC的直角顶点A

在直线a

上，斜边BC

在直线b

上，若a∥b，∠1=55°，则∠2=(

)A．55°B．45°C．35°D．25°C知1－练感悟新知1-2.

[中考·张家界]如图，已知直线a∥b，

∠1=85°，∠2=60°，则∠3=_________．35°感悟新知知2－讲知识点三角形的外角2定义图示实质特征△ABC

内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC

的外角.如图，∠1是△ABC

的∠ABC的外角三角形外角的实质是三角形一个内角的邻补角(1)顶点是三角形的顶点；(2)

一条边是三角形内角的一边；(3)

另一条边是该内角另一边的反向延长线

知2－讲感悟新知特别提醒◆三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角.◆判断一个角是否为三角形的外角，关键看它是否满足三角形外角的特征.知2－练如图7-5-1，△CEF的外角为________________.解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角.∠AFC，∠BEF例2

知2－练解：图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE的延长线EB，延长线FA与边FC构成的角为∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三角形外角的定义可以得出∠AFC，∠BEF是△CEF的外角.知2－练2-1.如图，∠ACD是________的一个外角，∠AEC是________的一个外角，∠ECD是________的一个外角.△ABC△BEC△BEC感悟新知知3－讲知识点三角形内角和定理的推论3推论由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论推论1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和如图，∠1=∠2+∠3推论2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角如图，∠1＞∠2，∠1＞∠3

知3－讲感悟新知特别提醒这两个推论反映了三角形的外角与不相邻的内角之间的数量关系，利用它们可以求相关角的度数、证明一个角等于另两个角的和或差、证明两个角相等、证明角的不等关系等.知3－练如图7-5-2，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.解题秘方：利用三角形内角和定理的推论，将∠ACD

的度数转化为∠B＋∠BAC的度数进行求解.例3知3－练解：∵AD是∠CAE的平分线，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.知3－练感悟新知3-1.如图①，CE是△ABC

的外角∠ACD的平分线，且CE

交BA的延长线于点E．(1)求证：∠BAC=∠B+2∠E；证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.

∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠ACE＝∠B＋∠E.∵∠BAC＝∠ACE＋∠E，∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.知3－练感悟新知(2)如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD=60°，∠E=24°，求∠AFC的度数．知3－练知3－练如图7-5-3，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC>∠B.解题秘方：找出三角形内角和定理推论的模型，利用角的不等关系进行推理.例4知3－练证明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义).∵∠BAC>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC>∠2(等量代换).∵∠2>∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC>∠B.知3－练4-1.如图，在△ABC的边BC的延长线上取点