从一道教材习题引发的思考与发散性探究

从一道教材习题引发的探究与思考李彦鹏（宁夏回族自治区盐池高级中学）在高中数学教学过程中，从教学成果的评价层面上看，无疑是要关注学生高考成绩。高考试题对广大教师和学生都具有很强的诱惑力，一定程度上，反映着教学的成败。然而高考试题的命制，往往又来源于教材内容。而教材内容是权威专家集体的智慧，丰富且富有弹性。是课标的“血肉”，具备了可持续开发的潜能。因此，遵循课标理念，领会考纲精神，立足教材内容，依托教材各种题目，概括挖掘其背景和性质，揭示与提炼其中的数学思想方法，从而由一定的角度，落实课标理念和课程目标，为有效地培养学生的数学核心素养具有一定的教学价值和意义。1教材习题人教A版《数学》选修2-1第37页习题B组第2题：求证题目定位：考查的知识点是二项式定理应用，目的熟练掌握二项式公式的展开式，认识结构，把握公式恒等式两边的特点。涉及数学思想方法，是构造二项式定理的赋值恒等式。解法呈现：由二项式定理2知识联系与延伸注意到组合数的系数成等比数列，考虑从等比数列求和的角度探究。为了说明问题，把上述习题一般化，并给出简证。对于一些比较复杂等式，常常通过递推公式的变形转化为这类问题来证，这样的教学学生一定会感兴趣的，并为深入探索提供了可能。证明证：由得，故原式左边为：可以看出，二项式定理揭示了组合数与等比数列之间的内在联系，对于组合数系数（或其绝对值）成等比数列的恒等式，或者利用通项公式变形和式后，应用二项式定理推证，或直接利用组合的母函数（公式），给式中两文字以适当的值代入而得证。3知识的横向拓展组合数下标不变而系数成等差数列注意到：上式倒写，得得于是，根据等差数列的性质得：故有这里，运用了“倒序相加法”，这是推导等差数列前n项和及类似问题的重要方法。组合上标不变而系数成等差数列证明：证：构造混合数列令则得故有：故有这就是著名的李善兰恒等式，可以推广到一般情形。其证法利用组合公式与李善兰公式求和，整理化简。求和用到“错位相减法”，是等比数列求和公式的推导及高中数列求和常用的重要方法。4高考对接2022年江苏高考第23题证明：构造混合数列：令两式相减得：化简，得：故原命题成立。本题标准答案是利用组合数的性质和二项式定理求解，当然，还可以利用导数法，数学归纳法等方法。5教学反思教学中要关注教材习题的重要性教科书主要由课文、注释、插图、实验和习题等构成。而习题作为数学教科书的重要组成部分，其在数量、水平、风格和侧重点上的差异既反映了一个国家的课程的整体水平，也对具体的教学实践产生了不可忽视的影响。习题的特征直接关系到学生对数学的体验，数学能力的培养及数学观的形成。特别是数学文化发掘与渗透，践行“立德树人”为中心的政治思想教育活动，帮助学生建立正确的价值观念，对学科育人功能与学科核心素养都具有一定的促进作用。发展学生的思维水平在高中数学教学中，对教材例习题由表及内深入挖掘和研究，然后设计出问题，坚持引导学生跟进探究，循序渐进，一定能够有效的培养学生思维能力。探索习题非常规解法，能培养学生的良好思维水平。从习题中设计问题，引导学生思考；从习题中变换条件，引导学生探究；而习题本身从不同角度，横向纵向联系、拓展，推广等；课外兴趣探究和深思、反思，不断地提高解题能力，发展提高学生的思维水平。例习题教学灵活性高中数学教材上的例习题，都是经过专家精心构思，反复斟酌的。如何恰当运用，不断地挖掘例习题的多种功能，如重构例习题，分解例习题设问，追溯例习题的文化背景，几何直观与代数问题互相证明解释，合情推理与演绎推理并列探究，研究性学习，在高考解题中的二级结论等等，深化例习题在教学中内在潜能，实现培养高素质学生的终极目标。6结语本文通过对课本一道习题的探究和思考，可以看出高考背景下的教材（课本）内容，很多知识点都存在内在联系的，只要我们认真钻研就会有新的收获，教学也就会别具一格，创新与出彩。教学研究是永无止境的，潜心研究教材与高考试题，对提高课堂质量十分有益。更为重要的