激光原理第三节课

激光原理第三节课2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新1第一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新2平行平面腔Fox-Li数值迭代法优点是：光束方向性好，模体积大，容易获得单模模振荡，缺点是：谐振腔调整精度要求高，衍射损耗和几何损耗都比较大，其稳定性介于稳定腔与非稳定腔之间不适用于小增益器件，在中等以上功率的激光器中仍普遍应用。平行平面腔的优点和缺点：第二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新3平行平面腔Fox-Li数值迭代法（1）假设在某一镜面上存在一个初始场分布，将它代入迭代公式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场；（2）利用(1)所得到的代入迭代公式，计算在腔内经第二次渡越而在第一个镜上生成的场；谐振腔内描述场渡越的迭代公式，表示为：谐振腔的迭代解法的思路：（3）如此反复运算多次后，观察是否形成稳态场分布；第三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新4平行平面腔的迭代解法

即当足够大时，由数值计算得出的是否满足下述关系：如果直接数值计算得出了稳定不变的场分布，则表明已经找到了腔的一个自再现模或横模ïïïîïïïíì==+++.....................u1uu1u1q2qq1qgg第四页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新5平行平面腔的迭代解法？如何选取初始入射波分布函数若取：均匀平面波基模TEM0；

一阶模TEM1初始入射波分布函数不同，最后的稳态自再现模分布函数也不同。第五页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新6平行平面腔的迭代解法流程图第六页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新7对称矩形和条形镜平行平面腔矩形平行平面镜腔对称矩形(方形镜)平行平面镜腔是指谐振腔镜面是平行的，并且在垂直与光轴方向上的尺度有限。条形镜平行平面腔是指镜面在某一方向上的尺度有限，而另一方向上的尺度是无限的。第七页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新8对称矩形和条形镜平行平面腔将上式展开，当,并忽略高次项:()()222Lyyxx+¢-+¢-=rLyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),,,(2222¢-+¢-+»úúûùêêëéøöçèæ¢-+øöçèæ¢-+=¢¢r对矩形平面腔，在图示的坐标系中，有第八页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新9对称矩形和条形镜平行平面腔自再现模的积分方程：则，积分方程的核为：第九页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新10对称矩形和条形镜平行平面腔自再现模的积分方程可以简化为：

因此有：上述方程是可以分离的，令：第十页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新11对称矩形和条形镜平行平面腔其中有：表示在x方向宽度为2a而沿y方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模；表示在y方向宽度为2b而沿x方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模；第十一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新12对称矩形和条形镜平行平面腔用和分别表示它们的第m和第n个解，表示相应的复常数，则有本征积分方程式：本征值本征函数复常数为

：m,n表示为谐振腔的横模在整个镜面上的自再现场分布函数为第十二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新13圆形镜平行平面腔第十三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新14对圆形平面腔，在图示的极坐标系中，有：将上式展开，当,并忽略高次项,可以得到:圆形镜平行平面腔)]cos(2[21),,,(22ffffr¢-¢-¢++=¢¢rrrrLLrr第十四页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新15圆形镜平面腔将上式代入自再现模积分方程，有：对上述积分方程进行分离变量，令：第十五页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新16可以证明所满足的积分方程为：－为第m阶贝塞尔函数．

圆形镜平面腔第十六页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新17平行平面腔的迭代解法

镜面宽度为2a，腔长为L的对称条形状腔。并且：分析腔中的自再现模的形成过程。由条形状腔的迭代公式，可以得到：第十七页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新18平行平面腔的迭代解法

将计算结果进行归一化处理，即取：

取均匀平面波作为第一个镜面上的初始波，即：由初始场分布出发，经第一次及第300次渡越后，可以得到腔内场的振幅与相位的分布图：第十八页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新19条状腔经过1次和300次传播后的振幅分布第十九页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新20条状腔经过1次和300次传播后的位相分布第二十页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新21条形镜平行平面腔基模振幅分布第二十一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新22条形镜平行平面腔基模位相分布第二十二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新23圆形镜平行平面腔基模振幅分布第二十三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新24圆形镜平行平面腔基模位相分布第二十四页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新25最低阶偶对称基横模稳态场分布特点：在镜面中心处的振幅最大，从中心到镜面边缘振幅逐渐降落。在整个镜面上场的分布具有偶对称性。相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，因此严格的说，TEM00已不再是均匀平面波了。第二十五页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新26最低阶奇对称横模稳态场分布特点：在镜面中心处的振幅为零，在镜面边缘振幅也最小。而在某一中间位置处振幅达到最大，在整个镜面上场的分布具有奇对称性。相位的分布发生了变化，镜面已经不再是等相位面了，在节线边有相位突变。第二十六页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新27对称开腔的单程相移在对称开腔的情况下，单程总相移第二十七页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新28对称开腔的单程相移单程相移与菲涅耳有关，同一横模，N越大，单程相移越小；N相同时，基模的单程相移最小，横模阶数越高，单程相移越大.第二十八页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新29对称开腔的谐振频率对称开腔自再现模的谐振条件：对于条形平行平面腔，谐振频率主要取决于纵模频率第二十九页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新30对称开腔的单程功率损耗无论是条状腔还是圆形镜平行平面腔，单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数第三十页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新31对称开腔的单程功率损耗单程衍射损耗与菲涅耳有关，同一横模，N越大，单程衍射损耗越小；N相同时，基模的单程衍射损耗最小，横模阶数越高，单程衍射损耗越大.低阶模的损耗远比均匀平面波的损耗低第三十一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新32稳定球面镜共焦腔双凹球面镜腔：由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成R1=R2=L博伊德和戈登(BoydandGordon)方形镜共焦腔长椭球函数，在N很大的情况，可以表示称厄米多项式与高斯函数乘积的形式。圆形镜共焦腔超椭球函数，在N很大的情况，可以表示称拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式。第三十二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新33方形镜对称共焦腔第三十三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新34方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解两镜面间任意两点的连线长度：第三十四页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新35方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解由球面镜的几何关系：所以，有：第三十五页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新36方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解可以得到：方形镜对称共焦腔自再现模积分方程代入自再现模积分方程：第三十六页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新37方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解进行无量纲变换：则积分方程转化为：根据分离变量：不存在交错积分，是一个可分离变量的积分方程第三十七页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新38方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解求解上述方程的问题等价于如下两个方程的求解问题：由博伊德和戈登给出，在C为有限值时，自再现模积分方程的本征函数为:第三十八页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新39方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的解角向长椭球函数

与相应的本征值为：式中：其中：

径向长椭球函数第三十九页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新40方形镜对称共焦腔模式的场分布可以证明，在时，即在共焦腔镜面中心附近：式中、:为常系数；:为m阶厄米多项式4N厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓)1,C(R)1,C(ReC2)1(on)1(om]2)1nm(kL(i[nmppss++--=为高斯函数2X2e-第四十页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新41方形镜对称共焦腔模式的场分布最初几阶厄米多项式：厄米多项式具有如下的性质：有m个实数根厄米多项式的一般表达式:第四十一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新42方形镜对称共焦腔模式的场分布将X,Y换回镜面上的直角坐标系x,y，得到：

本征值的近似解：第四十二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新43镜面上场的振幅和相位分布—基模

当，得出共焦腔基模（TEM00）的场的分布函数：基模的强度分布也是高斯型的：基模的镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平滑降落。第四十三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新44镜面上场的振幅和相位分布—基模基模强度最大值1/2处

半功率点的光斑半径：基模振幅最大值的1/e处基模在镜面上的光斑半径

：共焦腔的光斑半径大小与镜面的尺寸没有关系，只与腔长或者反射镜的焦距有关第四十四页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新45镜面上场的振幅和相位分布—基模高斯分布与两种定义的光斑尺寸第四十五页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新46镜面上场的振幅和相位分布—高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：最初几个横模的振幅分布函数为(P117图2-7-3振幅和强度分布)：第四十六页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新47镜面上场的振幅和相位分布—高阶横模高阶横模光斑半径须按沿不同坐标来计算，可以证明，沿x,y方向的光斑半径分别为：自再现模的辐角决定了镜面上场的相位分布：无论对基模或者高阶模式，共焦腔反射镜本身构成一个等相位面第四十七页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新48共焦腔的单程能量损耗

共焦腔基模单程功率损耗经验公式：而同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗：因此：菲涅耳数：单程功率损耗例：

HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振荡波长0.6328微米第四十八页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新49

方形镜共焦腔和平行平面腔的衍射损耗第四十九页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新50单程能量损耗结论：损耗随着菲涅耳系数N的增大而迅速减小菲涅耳系数相同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；共焦腔模的损耗要小于平面腔模的损耗，这是因为共焦腔对光束会聚作用的结果。自再现模的衍射损耗小于均匀平面波的衍射损耗，因为自再现模的形成过程反应了衍射损耗的影响，从而使得边缘部分强度变小，衍射损耗的作用变小。第五十页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新51单程相移和谐振频率

由谐振条件:可以得出各阶模的谐振频率为：同一横模的相邻两纵模之间的频率间隔为：q一定时，m,n改变，频率间隔为：TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为：附加相移第五十一页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新52单程相移和谐振频率共焦腔的振荡频谱及纵模和横模的关系第五十二页，共六十页，2022年，8月28日2004年10月27日福建师范大学物光学院陈建新53方形镜共焦腔强度花样第五十三页，共六十页，2022年，8月28日2004年10