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文档简介

定理1

维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。证：设欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对作数学归纳法。当时,

就是一组正交基了。

使假设

时结论成立，即此时可找到向量成为一组正交基。现在来看

的情形。所以必有向量不能被

线性表出，

因为作向量待定。

于是取即为正交向量组。由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组可得可扩充得正交基。于是定理得证。定理2都可找到一组标准正交基

使证：（

基本方法─逐个构成出满足要求的

）对于维欧氏空间中任一组基首先，可取一般地，假定已求出

是单位正交的，且(4)当时，因为有由(4)知

不能被

线性表出。按定理1证明中的方法，作向量(5)即

再设可知是单位正交向量组。从(4)和(5)知

与是等价向量组，因此，有由归纳原理，定理2得证。则

且则过渡矩阵

是上三角形（

即

） 且①由

知，若②Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组例1

把

变成单位正交的向量组。解：令

正交化再单位化即为所求。例2在中定义内积为求的一组标准正交基。(由基

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