课程数值分析第1章绪论

任课教师：杨超电子邮箱:计算方法与程序设计2第1章绪论计算方法的主要内容误差的基本概念构造算法和编程设计中应注意的问题主要内容：3第1章第1节

计算方法的主要内容本课程只介绍常用数学模型的最基本的计算方法（数值分析、数值计算方法）。计算方法是研究并解决数学问题近似解的方法。计算方法的重要性，使得科学计算与科学理论和科学实验并列成为当今世界科学活动的第三种手段。实际问题物理模型数学模型计算方法计算机求结果4第1章第1节

计算方法的主要内容求解线性方程组：AX=B函数插值和数据拟合非线性方程和非线性方程组求根x-cos(x)=0数值积分矩阵特征值问题常微分方程初值问题的数值解法偏微分方程初值问题的数值解法最优化方法5第1章第1节

计算方法的主要内容学习计算方法联系编程实践非常重要：根据数学模型，提出合适的算法，编写出计算机程序，调试、运行，得到所需结果。算法：由基本运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。建立和选择合适的算法是整个数值计算中非常重要的一环。6第1章第1节

计算方法的主要内容算法的优劣直接影响到计算的速度和效率，还影响计算精度（或计算误差），甚至直接影响计算的成败。好的算法：稳定性好、精度高、速度快、效率高、内存占用小。不良的算法会导致计算的彻底失败！计算下式的值7第1章第1节

计算方法的主要内容取试试看。8第1章第1节

计算方法的主要内容近似值和算法的选择对计算结果的精度影响很大。——误差问题在研究算法的同时，必须正确掌握误差的基本概念、误差在数值计算中的传播规律、误差分析和算法的稳定性等。9第1章第2节

误差的基本概念2.1误差的来源（1）模型误差：模型只是对实际问题的近似（2）初值误差（观测误差）（3）截断误差（4）舍入误差：四舍五入、只舍不入（5）过失误差10第1章第2节

误差的基本概念2.2绝对误差和相对误差

绝对误差：=真值-近似值。

绝对误差限：

越小，表明近似值x*越接近真值。

相对误差：绝对误差/真值

相对误差限：11第1章第2节

误差的基本概念2.3算术运算的相对误差（1）乘法和除法的情况12第1章第2节

误差的基本概念（2）加法和减法的情况13第1章第2节

误差的基本概念（2）加法和减法的情况14第1章第2节

误差的基本概念（3）有效数字若近似值x*的误差限不超过某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字。

5位有效数字

10位有效数字a1取1~9,a2,a3,…,an取0~9。有效位数越大，绝对误差限、相对误差限越小。15第1章第3节

构造算法和编程设计中应注意的问题

衡量算法的标准一般有算法的稳定性、运算复杂性、数值结果的精度等。每一步计算都可能产生误差，如何控制误差的传播呢？（1）简化计算步骤，减少运算次数16第1章第3节

构造算法和编程设计中应注意的问题（2）避免相接近的两个数相减相接近的两个数相减时，若计算机对它们截断后再计算，可能带来很大误差——相减抵消。

解决办法：改变计算公式；增加有效数字位数。17第1章第3节

构造算法和编程设计中应注意的问题（3）防止大数“吃掉”小数参加计算的两个数数量级相差很大，而计算机位数有限，如果不注意运算次序就可能发生大数吃掉小数的现象，影响计算结果。

解决办法：先计算小数，再与大数计算。（4）避免用绝对值过小的数作除数18第1章第3节

构造算法和编程设计中应注意的问题（5）应注意控制误差的积累使用递推公式计算时，递推的过程可能造成误差的积累。19第1章第3节

构造算法和编程设计中应注意的问题解决办法：避免采用小数与大数相乘的递推公式。一种算法的计算结果受舍入误差的影响越小，则该算法越稳定。整数在计算机里的表示是准确的，浮点数在计算机里的表示是有误差的。