2020-2021学年安徽省皖北名校高二上学期第一次联考数学试题

2020-2021学年安徽省皖北名校高二上学期第一次联考数学试题一、单选题1．一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（）A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台【答案】C【解析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可．【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意；对于C，五棱锥有6个顶点，满足题意；对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，不满足题意.故选：C【点睛】本题考查棱柱，棱锥和棱台的结构特征，属于基础题．2．设向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】向量，，若，则，解得.故选：D【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.3．在等比数列中，，，则公比（）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式及，，建立方程组可求公比.【详解】因为，，所以，解得；故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．将一个球放在圆柱的上面，圆柱的底面圆的直径等于球的直径，则该几何体的俯视图可以是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】俯视图是从上面看，由于圆柱的底面圆的直径等于球的直径，故球正好覆盖圆柱，即可得解.【详解】将一个球放在圆柱的上面，圆柱的底面圆的直径等于球的直径，俯视图是从上面看，故球正好覆盖圆柱，故选：A.【点睛】本题考查了求三视图的俯视图，考查了空间想象能力，属于基础题.5．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据余弦定理求出，再根据平方关系求出的值得解.【详解】由余弦定理得，因为,所以.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.7．在正方体中，异面直线与所成角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】【分析】试题分析：连结,由，可得是与所成的角，易得△为等边三角形，所以=60°，故选C【考点】本题考查异面直线所成的角点评：解决本题的关键是把异面直线转化为相交直线8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】化简,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.【详解】，，要得到函数图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度，故选C.【点睛】本题主要考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解．【详解】解：∵，故选D．【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题.10．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.【详解】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.11．在中，，，且，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据同角公式将化为，根据正弦定理化为，根据余弦定理可得，根据正弦定理可得，根据两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可得结果.【详解】在中，，变形可得，.由正余弦定理，得，即，所以，因为，所以，由，得，，所以的面积.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了两角和的正弦公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.12．已知函数，点A，B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若为钝角三角形，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积或，找出所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得，因为为钝角三角形，所以或，即，或，从而或．故选：B.【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.二、填空题13．用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为______.【答案】【解析】由圆柱的几何特征可得该圆柱的底面直径，即可得解.【详解】由题意，该圆柱的底面半径满足，高，则，所以该圆柱轴截面面积.故答案为：.【点睛】本题考查了圆柱几何特征的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14．已知数列的首项，且满足，则______.【答案】【解析】由题得是一个首项为3，公差为5的等差数列，求出，即得解.【详解】由题得，所以是一个首项为3，公差为5的等差数列，∴，∴，∴.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判定和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．如图，在三棱锥中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，若，则与的面积之比为______.【答案】【解析】利用面面平行的性质定理可得，从而可得，，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方即可.【详解】由平面平面，可得，所以，同理，所以∽的面积之比为.故答案为：【点睛】本题考查了面面平行的性质定理，掌握定理的内容是解题的关键，属于基础题.16．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为.现有下列4个命题：①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则.其中正确的命题的序号是______.【答案】②③【解析】根据等差数列的性质依次分析即可得答案.【详解】解：①中若，则，那么.故①不正确；②中若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15.故②正确；③中若，，则，，则中最大.故③正确；④中若，则，而，不能判断正负情况.故④不正确.综上得②③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力，是中档题.三、解答题17．已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为，根据，，利用“”求解.（2）由（1）得到，进而得到，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，解得，，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知都是锐角，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得?，由同角三角函数基本关系式得?；（2）凑角可得?，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.试题解析：（1）因为，所以，又因为，所以.利用同角三角函数的基本关系可得，且，解得.（2）由（1）可得，.因为为锐角，，所以.所以.19．在中，内角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求周长的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简即得；（Ⅱ）求出，再根据的范围和正切函数的图象和性质求出三角形周长的取值范围.【详解】（Ⅰ）由正弦定理可得，又因为，得，有，因为，得，∵为的一个内角，有．（Ⅱ）由，有，由正弦定理有，有，得，，，由，有，可得，故周长的取值范围为．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.【答案】（1）见证明；(2)见解析【解析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明.【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．21．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，求得的周期，得到，再由时，取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；（2）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，可得的周期，即，解得，又因为当时，取得最小值，所以，所以，解得，因为，所以，所以.（2）因为，可得，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.22．已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【解析】（1）根据与的关系即可求解.（2）根据题意可得，然后将原式减去此式，整理化简即可求解.（3）由，可得，使得数列是单调递增数列，即使，讨论为偶数或奇数，分离