专题线面角-教学设计教案

20220803线面角在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=90∘，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2AD=1，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为(    )A.63 B.12 C.33在三棱锥O−ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是边AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是(    )A.22 B.12 C.2 正方体ABCD−A1B1C1D1中，则C正三棱锥底面边长为23，侧棱长为7，则斜高和底面所成角大小为________________．如图，若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且∠BOC=π2．

(1)求圆锥的全面积；

(2)求直线CD与平面AOB所成角的余弦值

如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．(1)求证：平面BDG⊥平面ADG；

(2)求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了求线与面的夹角问题，考查向量的加法运算和数量积，属于中档题．

AS是平面ABCD的法向量，用CB，BA，AS表示CS，然后直接求解AS⋅CS以及AS和CS的模长，然后代入向量夹角计算公式解出AS和CS的夹角即可得解．

【解答】

解：由题意知AS是平面ABCD的法向量，设CS，AS的夹角为∵CS=CB+BA+AS，∴∴cosφ=AS⋅CS|AS|⋅|CS|=3

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查直线与平面所成角的求法，属于中档题．

利用线面、面面垂直的判定和性质定理、等腰三角形的性质、线面角的定义即可得出．

【解答】

解：∵三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，

OA∩OB=O，OA，OB⊂平面OAB，

∴AC=BC，OC⊥平面OAB．

又M是AB边的中点，∴OM⊥AB，CM⊥AB．

又OM∩CM=M，AB⊥平面OCM，

∵AB⊂平面ABC，∴平面OCM⊥平面ABC．

∴∠OMC即为OM与平面ABC所成角．

不妨设OM=1，则OA=OC=2．

在Rt△OCM中，tan∠OMC=OCOM=23.【答案】33【解析】解：设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，

以D为原点，建立空间直角坐标系，

A(1,0，0)，C1(0,1，1)，

AC1=(−1,1，1)，平面ABCD的法向量n=(0,0，1)，

设C1A与平面ABCD所成角为θ，

则sinθ=|cos<AC1,n>|=13=34.【答案】60°

【解析】解：设正三棱锥为P−ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PDO为斜高和底面所成角，

∵正三棱锥的底面边长为23，

∴DO=13×32×23=1，

∵侧棱长为7，PD=7−3=2，

∴则斜高和底面所成角大小的余弦函数值为：12，

则斜高和底面所成角大小为：60°．

故答案为：60°．

设正三棱锥为P−ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为5.【答案】60°45°

【解析】解：如图，

连接A1C1，∵AA1//CC1，AA1=CC1，

∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1//AC，

∴异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，连接BC1，

则△BA1C1

为等边三角形，∴异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，

6.【答案】解：(1)∵圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=210，

∴圆锥的全面积S=πrl+πr2

=π×2×210+π×22

=(410+4)π．

(2)∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，

D是AB的中点，且∠BOC=π2．

∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，

OA=(210)2−22=6，

C(2,0，0)，A(0,0，6)，B(0,2，0)，D(0,1，3)，

DC=(2,−1,−3)，平面ABO的法向量n=(1,0，0)，

设直线CD与平面【解析】(1)由圆锥AO的底面半径为r=2，母线长为l=210能求出圆锥的全面积．

(2)以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面AOB所成角．

本题考查圆锥的全面积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.【答案】(1)证明：在△BAD中，因为AB=2AD=2，∠BAD=60°．

由余弦定理得，BD2=AD2+AB2−2AB⋅ADcos60°，

解得BD=3，

∴AB2=AD2+DB2，

∴AD⊥DB，

在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，

∴GD⊥DB

又AD∩GD=D，

∴BD⊥平面ADG，

∴平面BDG⊥平面ADG．

(2)解：如图以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，

因为∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，

所以A(1,0，0)，B(0,3,0)，E(0,3,2)，G(0,0，1)，AE=(−1,3,2)，AG=(−1,0,1)，GB=(0,3,−1)．

设平面AEFG的法向量．n=(x,y，z)，n⋅AE=−x+3【解析】【试题解析】

(1)证明AD⊥DB，GD⊥DB，推出BD⊥平面ADG，得到平面BDG⊥平面ADG．

(2)如图以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，求出平面AEFG的法向量，直线GB和平面AEFG的夹角为θ，推出直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．

8.【答案】证明：(1)连结AC，BD，交于点O，连结OE，

∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，

∵E是PC的中点，∴OE//PA，

∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴直线PA//平面EDB．

解：(2)∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD=DC，

∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，

设PD=DC=a，则BD=a2+a2=2a，

∴tan∠PBD=ADBD【解析】【试题解析】

(1)连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出O是AC中点，OE//PA，由此