河北省承德市双桥区冯营子中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

河北省承德市双桥区冯营子中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.在复平面中，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（

）A．5

B．7

C．9

D．11参考答案：C4.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则c=（ ）A．4

B．5

C.

D．7参考答案：B∵.∴，即.∵，∴，则.

5.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为A．8

B．9

C．10

D．11参考答案：C6.抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P在第一象限,当最小时，最大，所以当直线与抛物线相切时，最小，设直线：与抛物线方程联立，，，解得，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令，求斜率，或者设切点，根据，求切点，再求切线的斜率.7.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为

A.

B.C.

D.参考答案：C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选C.8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不便，则不同调整方法的种数为：A．

B．

C．

D．参考答案：C【解析】从后排的8人中抽2人有种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不便有种方法，故共有种不同调整方法，选C。9.函数在区间（）内的图象是(

）参考答案：D10.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中（

）A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少过两个有理点

D．每条直线至多过一个有理点参考答案：C设一条直线上存在两个有理点，由于也在此直线上，若，则为无理数与有理点予盾，所以，于是，又由于为无理数，而为有理数，所以，于是，所以直线只有一条，且这条直线方程只能是，故正确的选项为C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数，若有六个不同的单调区间，则的取值范围为

参考答案：（0，3）12.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是

▲

．参考答案：[，1)13.已知集合，若2∈A，3不属于A，则实数a的取值范围是_______.参考答案：略14.已知实数满足约束条件,若的最小值为3，实数=

.参考答案：【答案解析】解析：实数满足约束条件表示的平面区域如图为阴影部分对应的区域，显然当动直线2x+y=0经过点B时目标函数得最小值3,联立方程解得B点坐标为，所以..【思路点拨】解简单的线性规划问题，一般先作出其可行域，再数形结合找其最优解，即可解答.15.已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是．参考答案：[，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：[，）．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查函数与方程的关系，是易错题．16.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为

．参考答案：17.函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为

．参考答案：[5，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明AF⊥PC．（2）取PC的中点M，连接EM．证明BD∥EM．然后证明BD∥平面PEC．（3）求出平面PCD的一个法向量．平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：依题意，PA⊥平面ABCD，如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．∵，，∴，∴AF⊥PC．（2）证明：取PC的中点M，连接EM．∵M（2，2，2），，，∴，∴BD∥EM．∵EM?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC．（3）解：∵AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC=P，∴AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．设平面PCE的法向量为，∵，，∴即令y=1，得x=1，z=2，故．∴，∴锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．19.（本题满分13分）已知椭圆C的两个焦点是(0，-)和(0，)，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．参考答案：（I）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，焦距为2c，则由题意得c=，，∴a=2，=1，∴椭圆C的标准方程为．

………4分∴右顶点F的坐标为(1，0)．设抛物线E的标准方程为，∴，∴抛物线E的标准方程为．…………6分（Ⅱ）设l1的方程：，l2的方程，，，，，由消去y得：，∴x1+x2=2+，x1x2=1．由消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0，∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，……………………9分∴==||·||+||·||=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)=8+≥8+=16．当且仅当即k=±1时，有最小值16．……13分20.已知函数.（1）若，求a的值；（2）已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天.（i）求的表达式；（ii）估计的近似值（精确到0.01）.参考数值：，，.参考答案：(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）先讨论取不同范围内的值时函数的定义域，并根据函数值判断出是的极小值点。通过极值点处，求得导函数代入即可求得的值。求出的值后，再代回函数，证明即可。（2）每个人生日都不同的概率为，所以根据对立事件的概率即可求得至少有两个人生日相同的概率。将代入i中得到的式子，可得，令，左右同取对数则，进而可得t的范围，结合参考数据可求得的近似值。【详解】（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故.而，于是，解得.下面证明当时，.当时，，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即符合题意.综上，.（2）（i）由于人生日都不相同的概率为，故人生日至少有两人相同的概率为.（ii）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由（i）得.记，则，即由参考数值得于是故.【点睛】本题考查了导函数的综合应用，不等式中的综合应用，是高考的常考点和难点，属于难题。

21.如图，在△ABC中，，BC=2，点D在边AB上，AD