河北省唐山市大齐各庄乡中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

河北省唐山市大齐各庄乡中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.在等比数列中，若则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】由题意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sinB，那么△ABC的面积即可．【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．4.已知a是实数，则函数f(x)＝acosax－1的图象不可能是

参考答案：B略5.已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则（

）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A略6.已知中，分别是角的对边，，则=

A.

B.

C.或

D.

参考答案：B

依题意，由正弦定理得，，解得，又，∴，故选B.7.某程序框图如图，当E=0.96时，则输出的K=（）A．20 B．22 C．24 D．25参考答案：C【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】由题意可知，该程序的作用是：求解当S=++…+≥0.96的K值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=++…+≥0.96的K值，而S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由1﹣≥0.96，得k≥24，则输出的K=24．故选C．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．8.函数的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有，则称函数在D上为非减函数．设函数在[0，l]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②；③，则=A．

B．

C．1

D．参考答案：A9.如图3，直线y=2x与抛物线y=3－x2所围成的阴影部分的面积是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D，故选D.10.“成立”是“成立”的

(

)(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为

．参考答案：4【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：根据程序框图，依次执行程序，k=0，a=3，q=，执行循环体，a=，k=1不满足条件a＜，执行循环体，a=，k=2不满足条件a＜，执行循环体，a=，k=3不满足条件a＜，执行循环体，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．12.已知，则______.参考答案：10【分析】将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.【详解】，其通项公式为，故，所以.故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13.双曲线的两条渐近线的方程为

▲

.参考答案：【知识点】双曲线的简单性质．H6

【答案解析】

解析：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【思路点拨】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．14.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。参考答案：图象如图所示。的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。15.若函数在R上有两个零点，则实数的取值范围是_______参考答案：（2-2ln2，）16.设函数的反函数为，则函数的图象与轴的交点坐标是

．参考答案：17.设a＝log32，b＝ln2，c＝，则a、b、c的大小关系为________．参考答案：c＜a＜b三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益10万元8万元5万元（1）求p及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由两天都下雨的概率求出p的值，写出基地收益X的可能取值，计算对应的概率；写出该基地收益X的分布列，计算数学期望E（X）；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，计算数学期望E（Y），比较E（X）、E（Y）即可得出结论．【解答】解：（1）两天都下雨的概率为（1﹣p）2=0.04，解得p=0.8；该基地收益X的可能取值为10，8，5；（单位：万元）则：P（X=10）=0.64，P（X=8）=2×0.8×0.2=0.32，P（X=5）=0.04；所以该基地收益X的分布列为：X1085P0.640.320.04则该基地的预期收益为E（X）=10×0.64+8×0.32+5×0.04=9.16（万元），所以，基地的预期收益为9.16万元；（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益：E（Y）=11×0.8+6×0.2﹣0.5=9.5（万元）；此时E（Y）＞E（X），所以该基地应该外聘工人．19.从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设数列{an}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．（2）若a1=7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若a1=1，从数列{an}中取出第1项、第m（m≥2）项（设am=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】（1）由题设知（a1+d）2=a1（a1+4d），由此可求出其公比．（2）设等比数列为{bm}，其公比，，由题设an=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．再由反证法能够推出该数列不为{an}的无穷等比子数列．（3）①设{an}的无穷等比子数列为{br}，其公比（t≠1），得br=tr﹣1，由此入手能够推导出t是大于1的正整数．②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．【解答】解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，于是d=2a1，故其公比．（2）设等比数列为{bm}，其公比，，由题设an=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，即，得，当m=5时，，与假设矛盾，故该数列不为{an}的无穷等比子数列．（3）①设{an}的无穷等比子数列为{br}，其公比（t≠1），得br=tr﹣1，由题设，在等差数列{an}中，，，因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列，所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N*，使an=br，即，得，由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m﹣1均为正整数，可知tr﹣2+tr﹣3+t+1必为正整数，又d≠0，故t是大于1的正整数．②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．在等比数列{br}中，br=tr﹣1，在等差数列{an}中，，，若br为数列{an}中的第k项，则由br=ak，得，整理得，由t，m﹣1均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项，得证．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．20.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CC1=4CF（Ⅰ）求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）以点A为原点，AC为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，这直线垂直可转化为向量垂直，计算即可；（II）所求值即为平面AEF的一个法向量与平面AC1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答： （I）证明：以点A为原点，AC为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由已知可得A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），A1（0，0，4），E（，3，0），F（0，4，1），于是=（0，﹣4，4），=（﹣，1，1），∵?=（0，﹣4，4）?（﹣，1，1）=0﹣4+4=0，∴EF⊥A1C；（II）解：设平面AEF的一个法向量为，则由（I）得，，于是由，，可得，即，取，又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为，=，∴所求二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．点评：本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．21.设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；（2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；（3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣，∵函数y=ex和y=﹣在（0，+∞）均递增，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈0.51＜?＞，且f′（x）在[，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（0.5，0.6），∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56＜?＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），f（x）的极值点x0∈（，）?x0＜，由（1）知：f′（x0）=﹣=0，且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．22.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q.问：在轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合问题.H5H8（1）；（2）存在定点符合题意.解析：（1）由可得，，

①

可得，，…2分在中由余弦定理有，，又，可得②，…