2023届江西省景德镇市高三年级上册学期第二次质检数学（文）试题

景德镇市2023届高三第二次质检试题数学（文科）满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（）A.1 B.3 C.4 D.62.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，，若，则的值为（）A.2 B.-2 C. D.4.已知一个实心铜质圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（）A. B. C. D.5.斐波那契数列满足，，设，则（）A.2022 B.2023 C.2024 D.20256.如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线平面B.三棱锥在平面上的正投影图的面积为4C.棱上存在一点，使得平面平面D.若为棱的中点，三棱锥的外接球表面积为7.已知抛物线：的焦点为，，是上两点，若，则（）A. B. C. D.28.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中表示的近似值）”.若输入，输出的结果可以表示为（）A. B.C. D.9.杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（）A.440 B.480 C.540 D.58010.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.11.若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（）A. B. C. D.12.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.14.已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________.15.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.16.若函数，在上恰有一个最大值点和两个零点，则实数的取值范围是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.（1）求角B；（2）若的面积为，求b的最小值.18.如图，在四棱锥中，底面平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.（1）证明：；（2）若平面，求三棱锥的体积.19.目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.月份5678时间代号1234家乡特产收入3.93.32.21.8（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；③参考数据：，，.20.已知椭圆：左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.21.已知函数.（1）若函数在定义域上单调递增,求的最大值;（2）若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修44：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.[选修45：不等式选讲]23.已知函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.景德镇市2023届高三第二次质检试题数学（文科）1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】A第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】##14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.（1）求角B；（2）若的面积为，求b的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化简可得：，由角A为锐角，所以，即可的得解；（2）由，可得，由，代入即可得解.【小问1详解】由可得：，由角A为锐角，所以，所以，又，所以；【小问2详解】，所以，由余弦定可得，当且仅当时取等，满足角A为锐角，所以由，可得b的最小值为.18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.（1）证明：；（2）若平面，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，则为的中点，再证平面，从而得到，最后根据计算可得.【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，，平面．平面，平面，；【小问2详解】解：连接交于点，连接，因为平面，平面平面，平面，所以，因为为的中点，则为的中点，因为，底面为平行四边形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，所以，又，所以，则，所以，所以，所以.19.目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.月份5678时间代号1234家乡特产收入3.93.32.21.8（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；③参考数据：，，.【答案】（1）；认为y与t之间有很强的相关性.（2）y关于t的回归直线方程为：，不能.【解析】【分析】(1)直接代入公式求出认为y与t之间的线性相关系数，即可判断；(2)代入公式求出系数，即可得到回归方程，并求出9月收入即可判断小问1详解】由表格数据可知：，，则，由题意知：，，代入相关系数公式可得：，因为，所以认为y与t之间有很强的相关性.【小问2详解】由题意可得：，，，，所以，则，所以y关于t的回归直线方程为：，把代入可得：，所以预测9月收入不能突破1万元.20.已知椭圆：的左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）当倾斜角为时，求出直线的方程，令，求出，即可求出，再根据的周长及求出、，即可得解；（2）由题设可得，设点，的方程设为，利用相切条件可得，联立直线方程可求的坐标，从而可判断在椭圆上，从而可证为定值.【小问1详解】解：当倾斜角为时，直线为，令，得，即椭圆的上顶点为，所以，又的周长为，即，又，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由（1）可知，，，因为过与圆相切的直线分别切于、两点，所以，所以，设点，则，圆的半径为，则直线的方程为，的方程设为，则，化简得，由，解得，所以点，所以点在椭圆上，∴，即．21.已知函数.（1）若函数在定义域上单调递增,求的最大值;（2）若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】(1)由在定义域上单调递增,即在定义域上恒成立,求导之后全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;(2)对求导,使其导函数等于零有两根和,全分离后找到和之间关系,将等式化简,令等式为,用代换和,根据找到的范围,将用表示,设出新函数,求导求单调性,求最值即可.【小问1详解】解:由题知,,因为在定义域上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,记,即,因为,所以当时,,单调递减,当时,单调递增,故,故,即的最大值为2;【小问2详解】因为在定义域上有两个极值点和,即在定义域上有两个不相等的实根和,故有,即有两个不相等的实根和,即,移项可得:,因为,所以,令,联立,解得,所以,解得,所以,令,,所以,令,,所以,,所以在上单调递减,所以,因为,即,在上单调递减,所以,即在恒成立,当时,,即,即在上单调递减,所以,即,故,所以的最大值为.【点睛】思路点睛:本题考查函数与导数的综合总用,属于难题,关于极值点,零点的双变量问题的思路有:(1)根据题意进行分析,得到关于双变量的等式或不等式;(2)将等式或不等式转化为一元变量问题;(3)构造一元函数,求导,求单调性,求最值即可.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修44：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据参数方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再根据伸缩变化的性质求解的普通方程；（2）先根据极坐标方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得结果.【小问1详解】由题意得曲线：（为参数）的普通方程为，由伸缩变换，得，代入，得，所以曲线的普通方程为；【小问2详解】因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为，设点，则点到直线的距离为，所