河北省保定市容城第一中学高一数学理联考试卷含解析

河北省保定市容城第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.幂函数y=f（x）经过点（4，2），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）．上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）上是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数参考答案：D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求出幂函数的解析式，判断即可．【解答】解：设幂函数为：y=xa，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），∴2=4a，∴a=，∴f（x）=，则f（x）是非奇非偶函数，且在（0，+∞）递增，故选：D．2.已知α是第二象限角，其终边上一点，且，则sinα=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由题意结合任意角的三角函数的定义求得x值，进一步求出P到原点的距离，再由正弦函数的定义得答案．【解答】解：∵α是第二象限角，且其终边上一点，则x＜0，|OP|=，∴cosα=，又，∴，解得：x=﹣．∴|OP|=，则sinα=．故选：C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的象限符号，是基础的计算题．3.设f(x)＝asin(x＋)＋bcos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2013)的值为(

)A.1

B.5

C.3 D.不确定参考答案：B4.函数f（x）=log2（x2﹣x﹣2）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（2，+∞）参考答案：A【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，由t＞0求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论．【解答】解：令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，∴t＞0，∴x＜﹣1，或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2}．故本题即求函数t在定义域内的减区间．利用二次函数的性值可得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1），故选：A．【点评】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质，属于中档题．5.在等比数列{an}中,,前n项和为Sn,若数列也是等比数列,则Sn等于（

）A. B.3n C.2n D.参考答案：C等比数列前三项为，又也是等比数列，，∴，∴，选C6.已知数列{an}满足a2=2，2an+1=an，则数列{an}的前6项和S6等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】推导出数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，由此能求出S6．【解答】解：∵数列{an}满足a2=2，2an+1=an，∴=，∴=4，∴数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，∴S6===．故选：C．7.设

则的值为(

)

A.1

B.0

C.-1

D.

参考答案：B略8.在中，实数的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B略9.△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a，b，且，那么满足条件的△ABC（

）A．有一个解

B．有两个解

C．不能确定

D．无解参考答案：B试题分析：：△ABC中，∵∠A=30°，a=，b=2，由正弦定理可得，即，求得sinB=，∴B=，或B=，故△ABC有2个解．考点：三角形中的几何计算10.已知正项数列中，，记数列的前项和为，则的值是（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：D考点：等差数列的定义及数列的求和方法.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是

。参考答案：解析：考虑原命题的否定：在区间[0，1]内的所有的实数，使，所以有，即，所以或，其补集为12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是，若，则角B=

参考答案：略13.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是____________.参考答案：略14.（5分）已知向量和向量的夹角为135°，=2，=3，则=

．参考答案：﹣3考点： 平面向量数量积的运算．专题： 平面向量及应用．分析： 利用数量积的定义即可得出．解答： ∵向量和向量的夹角为135°，=2，=3，则=cos135°==﹣3．故答案为：﹣3．点评： 本题考查了数量积对于及其运算性质，考查了计算能力，属于基础题．15.已知

如果，那么____________。参考答案：16.已知函数是奇函数，则

.参考答案：-1当时，，∵函数为奇函数，∴，即，∴，∴．∴．答案：

17.△ABC中，AC=5，，则在方向上的投影是

.参考答案：在方向上的投影为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.

(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为，且b＝，求a＋c的值；参考答案：(1)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(C＋B)＝sinA.在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，所以cosB＝.又因为0＜B＜π，故B＝.(2)因为△ABC的面积为，所以acsinB＝，所以ac＝3.因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3.所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.

略19.在中，，．（1）求的值；

（2）设，求的面积参考答案：解：（1）中，∵，∴∵，∴（2）由正弦定理得故∴略20.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2ax+2．（1）当a≤2时，求f（x）在[，3]上的最小值g（a）；（2）如果函数f（x）同时满足：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”．（i）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，根据对称轴，分类讨论即可，（2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围（ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a≤时，f（x）在[，3]上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=﹣；当≤a≤2时，f（x）在[，3]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；函数f（x）=x2﹣2ax+2在[，3]上的最小值g（a）=（2）（i）∵y=+t在[1，+∞）递增，由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以p≥1，，∴p2，q2为方程+t=x的二实根，即方程x2﹣（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根且x≥t恒成立，令u（x）=x2﹣（2t+1）x+t2+1，∴，∴，解得＜t≤1∴实数t的取值范围（，1]．（ii）对于（1），易知g（a）在（﹣∞，2]上为减函数，①若p＜q≤，g（a）递减，若g（a）为“闭函数”，则，两式相减得p+q=，这与p＜q≤矛盾．②＜p＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则此时p2+q2=2满足条件的p，q存在，∴＜p＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在，③p≤＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则，消去q得9p2﹣6p+1=0，即（3p﹣1）