高考冲刺-双曲线

PAGE双曲线【考纲要求】1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握双曲线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】双曲线双曲线数形结合思想标准方程及简单性质双曲线的实际背景及定义【考点梳理】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：（1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；（2）若常数满足约束条件：（），则此时的曲线是双曲线的靠的一支；（3）若常数满足约束条件：，则此时的曲线是两条射线；（4）若常数满足约束条件：，则此时的曲线不存在.考点二、双曲线的标准方程（1）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.要点诠释：（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；（2）在双曲线的两种标准方程中，都有；（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.考点三、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质（1）范围：，；（2）焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；（3）离心率是；（4）渐近线：.双曲线的简单几何性质（1）范围：，；（2）焦点，顶点，，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；（3）离心率是；（4）渐近线：.考点四、有关双曲线的渐近线的问题（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为渐近线方程（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为双曲线可设为（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线为等轴双曲线，可设为.考点五、双曲线图像中线段的几何特征：双曲线的图像如图所示：（1）实轴长，虚轴长,焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来.【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点【解析】（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【解析】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设,,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【解析】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴,.故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A． B． C． D．【解析】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选B.例3．已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【解析】由双曲线的定义有:，，∴.即∴.故的周长.举一反三：【变式1】已知双曲线的方程，点A、B在双曲线的右支上，且线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A．2a+2mB．4a+2mC．a+mD．2a+4m【答案】B例4．已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【解析】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴举一反三【变式1】已知是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，则______。【答案】【变式2】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。【答案】类型三：离心率【高清课堂：双曲线及其性质404777例1】例5.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则的值为________．【解析】双曲线中，且所以则解得举一反三：【变式1】已知双曲线-=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、【答案】B【变式2】若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______【答案】例6.双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由