因式分解的常用方法与技巧

因式分解的常用方法与技巧田发银因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学家问题重要的手段和工具，有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见。对于特殊的因式分解，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，使复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下，供同学们参考。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1因式分解：八-療+4a+2*+了。解析：根据多项式的特点，把3拆成4十卜1），则a2-b3+4a+2b+3=a2-b2+4a+2b+4-1=[a2+4a+4)-[b3-21)+1)=(a+if-(1)-1)3=(a+b+l)(a-b+3)例2因式分解：以+妣$+11囂铳。解析：根据多项式的特点，把曲拆成2/+4/，把Hx拆成匪十亚，则£+殴2+］以+目二4-2k3}+（4筈2斗Sz）+仗J4-町=/付亠 4-2）4-了仗斗2）=（Z4-2）（氐2+4k+3）=（s+1）（盘+2）（筈斗3）二、巧添项在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，则解法独特，新颖别致。4,4例3因式分解： 呵

解析：根据多项式的特点，在^亠4衬中添上两项，则有J+4y*=(x4,-+4K2y2+4y4)-4k2y2=(k2+2y叮一(2町『=匱+2xy+2y2)閔-2xy+2y2)l o三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，使问题化繁为简，迅速获解。例4因式分解:X+驰-4肿7-小+24。解析.k'+驰一4血2 町斗24=伝一1)仗亠4沧亠2)丘一»亠24=(盟一1宓+富呂=(盟一1宓+富呂-3)盘斗4)+24=[x2+忌一2肿+x-12)+24于曰

疋：原式=y(y-10)+1A=、沪-10y+24=(y-4)(y-6)=[s2+筈_2_4肿+烹-2-H)四、展开巧组合若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。例5因式分解：呻贰+b)+犁丘+n解析：将多项式展开后再重新组合，分组分解。+nj=niii：-： +miiy+sym+xyn= +xymJ+my)十ny(giy十血)=(皿十 十ny)例6因式分解.(边+収『+血-型^。

解析：(mz-i-ny『+(rnj=tn2x2+2mnxy4-n2y2+n2n2-2tniiKy+rn2y2=血2盘2+门2盘2)+ +n2y2)=烹2［血2十门2)斗y2缸2十R2)=価2+血2鬧斗f)五、巧用主元对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理，从而使问题柳暗花明。例7因式分解：3%+at卫+「匚+a"+ti:3c：+tiF+2ati匚。解析：这是一个轮换对称多项式(指以a代替b、b代替c、c代替a后原式不变),不妨以a为主元进行整理：a3b+ab3+屮匚+aca+ti3c+be3+2abc=聲免+匚)斗a(^2+2bc+c2)+bc(b+c)=a2(b+c)=a2(b+c)+a(h4-c)24-l)c(b+c)=(t4-c)[a2+a(b4-c)(aa+ab4-ac+be)=(b+c][a(a+b)+匚0+1)j=(a+町(a+c)(b+c)从以上几例可以看出，因