2023年云南省景东高三第一次调研测试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

>>0

1.若实数羽)满足的约束条件,》+丫-340,则z=2x+)，的取值范围是()

2x-y>0

A.[4,+oo)B.[0,6]C.[0,4]D.[6,+co)

2.已知集合0=1<,A={y|y>0},3=卜卜=«+1},则4口《/=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(1,+<»)D.[1,-KO)

3.已知加，〃是两条不重合的直线，a,£是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是()

A.若加〃a,aH,则加//°或mu/3

B.若加〃〃，m//a,nga,则///a

C.若mJ_〃，,n工/3,则。

D.若〃？J_〃，mX.a,则〃〃a

4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADA.DC,AD=DC=2AB,E为AO的中点，若卞=4而+〃丽(4〃eR),

则的值为()

5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分

值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()

数学抽象

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

6.已知S“是等差数列｛4,｝的前〃项和，q+4=g,/+。3=4,贝！!％=（）

8535

A.85B.一C.35D.一

22

22

7.已知双曲线C:「一二=1（。>02>0）,点是直线法一效+4。=0上任意一点，若圆

ab“

（X—/）2+（y—%）2=1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）.

A.(1,2]B.(1,4]C.[2,+00)D.[4,+00)

8.若复数2满足z—6（1+Z）i=l,复数z的共转复数是三，贝!lz+W=（）

A.1B.（）C.-1D.——+—/

22

9.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）

10.若实数X、J满足贝!|z=x+2y的最小值是（）

y>x

A.6B.5C.2

11.已知K，K分别为双曲线C：0—奈•=l（a>0/>0）的左、右焦点，过6的直线/与双曲线C的左、右两支分别

交于A,8两点，若ABBF?

A.V13D.百

12.已知数列｛4｝满足：q=La的

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知〃x）=e'+*是偶函数，则“X）的最小值为.

22

14.已知双曲线-2r=1（。>0/>0）的左右焦点分别为耳，居，0为坐标原点，点“为双曲线右支上一点,

若忻闾=2|。W|,tan/MgK»2,则双曲线C的离心率的取值范围为.

15.已知复数z=1+2〃其中i为虚数单位，则z?的模为.

16.电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄

傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为AB,的四张电影票放在编号分别为1,2,

3,4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：

甲说：第1个盒子里放的是3,第3个盒子里放的是。

乙说：第2个盒子里放的是8,第3个盒子里放的是。

丙说：第4个盒子里放的是。，第2个盒子里放的是C

丁说：第4个盒子里放的是A,第3个盒子里放的是C

小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”

可以预测，第4个盒子里放的电影票为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AABC中，M为BC边上一点,ZBAM=45°,cosZAMC=—.

(1)求sin8：

——1——

(2)若MC=—BM,AC=4,求

2

18.（12分）在①〃=2,@a=b=2,③/?=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积

的值（或最大值）.已知AAHC的内角A，B,C所对的边分别为a,b,C,三边a,b,C与面积s满足关系式:

4S=b2+c2-a2,且_____________,求△ABC的面积的值（或最大值）.

19.（12分）已知等差数列｛4｝的前"项和为Sn,等比数列出｝的前"项和为7；,且4=4=1,%=53，4+a=15.

（1）求数列｛%｝与也｝的通项公式；

（2）求数列｛士的前〃项和.

20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCr）P-ABCD中，△PAB是等边三角形，BC±AB,BC=CD=2g,

AB=AD=2.

（1）若PB=3BE,求证：AE〃平面PCO;

（2）若PC=4,求二面角A—PC—3的正弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=k+q.

(1)求不等式/(x)<4—|2x—3|的解集；

(2)若正数〃？、n满足m+2n=mn,求证：f(m)+f(-2n)>8.

22.(10分)已知/(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)求不等式/(x)<2的解集；

（2）若存在xeR,使得"x）＞|3a-2|成立，求实数。的取值范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.

【详解】

y>0

实数工，)’满足的约束条件卜+y-3K0,画出可行域如下图所示：

2x-y>0

将线性目标函数z=2x+)，化为y=-2x+z,

则将y=-2x平移，平移后结合图像可知，当经过原点0(0,0)时截距最小，zmi„=0；

当经过8(3,0)时，截距最大值，zmax=2x3+0=6,

所以线性目标函数z=2x+.y的取值范围为[0,6],

故选：B.

【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.

2.A

【解析】

求得集合B中函数的值域，由此求得进而求得AC&B.

【详解】

由y=6+121,得3=[1,一)，所以aB=所以AI43=[0,1).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

3.D

【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断a,夕所成的二面角为

90°;D中有可能〃ua,即得解.

【详解】

选项A：若切〃a,aH/3,根据线面平行和面面平行的性质，有加〃4或mu1,故A正确；

选项B：若加〃〃，mHa,naa,由线面平行的判定定理，有"〃a,故B正确；

选项C：若m±a,nV/3,故a,所成的二面角为90°,则故C正确；

选项D,若mA.a,有可能〃ua,故D不正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.

4.B

【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示文，而，丽，利用画=/1屈+〃)夙列出方程组求解即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，则0(0,0).

不妨设A8=l,则CD=AO=2,所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(0,1),

CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

•/CA=ACE+/JDB

：.(~2,2)=2,1)+//(1,2),

_24+〃=_28

解得？则4+M

Z4-2//=25

故选：B

【点睛】

本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.

5.C

【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

【详解】

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析

甲454545

乙343354

由数据可知选C.

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

6.B

【解析】

将已知条件转化为的形式，求得4/,由此求得So.

【详解】

L,5

2a.+d=-3371385

设公差为d,则《।2,所以2d=2，d=±,4=—,Sl0=10«l+-xl0x9x-=—.

2q+34=4248242

故选：B

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和的计算，属于基础题.

7.B

【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx-ay+2a=0与直线bx-ay=O的距离d,根据圆

（x—XoY+（y—yo）2=l与双曲线。的右支没有公共点，可得d21,解得即可.

【详解】

22r

由题意，双曲线C:5—与=19>0小〉0）的一条渐近线方程为丫=—乂，即bx—ay=0,

ab~a

丁P（x0,y0）是直线bx-ay+4a=0上任意一点，

.4a4a

则直线bx—ay+4a=0与直线bx—ay=0的距离dn-^^^二一，

yja+lrc

•.•圆（*一*0）2+（丫一丫0）2=1与双曲线。的右支没有公共点，则dNl,

：.—>1,即6=£44,又e>I

ca

故e的取值范围为（1,4],

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C的右支没有公

共点得出d21是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8.C

【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出z,再根据共甄复数的概念求解即可.

【详解】

解：•：z-a=\,

.1+73/16

••Z=------r=~=----1----I9

1-V3z22

则建一工一乌，

22

z+z=-1>

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共辑复数的概念，属于基础题.

9.B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

10.D

【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函

数得答案

【详解】

作出不等式组X+y>1所表示的可行域如下图所示：

y>x

y=x1/11、

联立「得x=y=「，可得点A不彳，

x+y=l2122)

由z=x+2)^y=—；x+z,平移直线y=-gx+z,

当该直线经过可行域的顶点A时，该直线在)’轴上的截距最小，

113

此时2取最小值，即Zmi”=一+2x—=’.

222

故选：D.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

11.A

【解析】

由已知得入，忸闾=4x,由已知比值得|Ag|=5x,|AB卜3x,再利用双曲线的定义可用。表示出|然|,

\AF2\,用勾股定理得出c的等式，从而得离心率.

【详解】

—►—►—.—.忸用4

•••ABBF^Q,AB^O,BF^0,.-.ZABF=90°.又•••r-er=-.一.可令忸闾=4x,则|你|=5卜朋=3x.设

222I|5

|A/j|=r,得=怛用-忸闾=2a,即5x-7=（3x+r）-4x=2a,解得/'=3a,x=a,

忸段=4a,忸用=|+|A耳|=6a,

由忸娟忸玛「=|耳国2得(6a)2+(4a)2=(2c>,c2=l3a2，c=VHa，.,.该双曲线的离心率e=：=屈.

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点4B到

焦点的距离都用a表示出来，从而再由勾股定理建立a,c的关系.

12.C

【解析】

依次递推求出4得解.

【详解】

n=l时，a,=1+3=4,

n=2时，。3=2'4+1=9,

n=3时，%=9+3=12,

n=4时，%=2x12+1=25,

n=5时，％=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

由偶函数性质可得=解得。=-1,再结合基本不等式即可求解

【详解】

令/⑴=/(-1)得a=-l,所以17=2,当且仅当x=0时取等号.

故答案为：2

【点睛】

考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题

14.l<e<y/5

【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得/月4c2=|M£『+|ME「，tan5片=电胃，又由双曲线

2Mr2

2

局IMF=I年则e=1+―，十=—二令

的定义得|-|叫|=2。,将离心率表示成关于|吗|,|咋|的式子，再令2,2,

+；,对函数求导研究函数在［2,+8)上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令6|=、|明|=勺NM入耳=e,tan822,4=2csin8,根据直角三角形的性质和勾股定理得

TT

ZFfMF2=-,将离心率表示成关于角。的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan6的函数，可求得离

心率的范围.

【详解】

法一:•.•忻闾闾，・，「

=2|0.•/6s=5.•.4c2=|MFf+|gtanZMF^

\MF2y

丽+皿

4c2_\MFf+\MFf________________________

•••|峥1TM周=2a,2

22

4a~(\MFt\-\MF2\)~\MF^-2\MF^MF^\MF^'

r2+l,2

设黑h"贝/—............=1+——;-----

方-2'+1"12,

IH--------Z

令〃r）=r+；J⑺=1—"=M=（'+》'一”'所以/>2时，/'W>0,在［2,物）上单调递增,

1^152r

.'.t+->2+-=—,：.\<e2<5>:A<e<^5-

t22

法二：耳巴|=2|QM|,令制=4,="ZMF2F^0,tan^>2,q=2csin6,

]

r2=2ccos6,2a=彳-r2=2c(sin6-cosO')

sin。一cos。

1_sin2+cos20_tan2^+12

<5

222

(sincossin0+cos-2sin^cos0tan^+1-2tantan0八H-----1----2c

tan。

:A<e<>j5-

故答案为：l<eK百.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的a/,c有关，从而将离心率表示关

于某个量的函数，属于中档题.

15.5

【解析】

利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】

解：由z=l+2i,得z2=(l+2i『=—3+4i,

所以团=》(—3)2+42=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查复数模的求法，属于基础题.

16.A或D

【解析】

分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可.

【详解】

解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B是对的，

则乙说：第3个盒子里面放的是D是对的，

丙说：第2个盒子里面放的是。是对的，

丁说：第4个盒子里面放的是A是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是A;

假设甲说：第3个盒子里面放的是C是对的，

则丙说：第4个盒子里面放的是。是对的，

乙说：第2个盒子里面放的是8是对的，

丁说：第3个盒子里面放的是C是对的，

由此可知第4个盒子里面放的是D.

故第4个盒子里面放的电影票为。或A.

故答案为：A或。

【点睛】

本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)巫；(2)4

10

【解析】

(1)B=ZAMC-ZBAM,利用两角差的正弦公式计算即可；

(2)设=在A/记M中，用正弦定理将AM用x表示，在AAC70中用一次余弦定理即可解决.

【详解】

(1)vcosZAMC

5

2/c

5

所以，sinB=sin(ZAMC-ZBAM)

=sinZAMC-cosZBAM-cosZAMC-sinZBAM

_275叵72_Vio

一^rIF，

(2)•：MC=-BM,

2

.,.设MC=x,BM^2x,

.,,TAIMENBMAM

在AAHM中，由正弦定理得，-------=------,

sin45°sin3

2x_AM

:.叵一回，

vi(r

....2V5

••AM=--x，

5

VAC2=AM2+MC2-2AM-MC-cosZAMC，

._42,2?加V5

•A-24=-x+x-2--x*X*—

555

MC=x=4.

【点睛】

本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

18.见解析

【解析】

若选择①，结合三角形的面积公式，得4s=4x1历sinA=〃+/-a2,化简得到A="十二一"二=cosA,则

22bc

tanA=l,又0°<A<180°,从而得到A=45。，

将a=2代入——=cosA,得〃+/=V^c+4.

2bc

X~j2bc+4=b2+c2>2bc>be<4+2x/2>当且仅当b=c="+2应时等号成立.

S=ScsinAwgx(4+2夜)*孝=0+1,

故AABC的面积的最大值为0+1，此时b=c="+20.

.1222

若选择②，a=方=2,结合三角形的面积公式，得4s=4x,"sinA=/?+,2-/,化简得到sinA=+’一"=cosA,

则tanA=L又0°<A<180°,从而得到A=45。，

则A=B=45°,此时△AHC为等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若选择③，b=c=2,则结合三角形的面积公式，^4S=4x^hcsinA=h2+c2-a2,化简得到

sinA二"、cosA,贝iJtanA=l,又0°<A<180°,从而得到A=45。，贝|S='x2x2xsin45°=血.

2bc2

+I

19.(1)a„=2n-l.bn=r~'(2)(H-1)X2"-^-^+2

【解析】

3x2

⑴设数列｛〃”｝的公差为d,由牝=$3可得,q+4d=3q+：-d,由％=4=1即可解得d=2,故=2〃-1,由

%+“=15，即可解得4=2，进而求得“=2"-'.

(2)由(1)得，2口=叭三二)=〃.2"_〃,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

nn

【详解】

(1)设数列｛4｝的公差为d,数列也｝的公比为g,

3x2

由%=S3可得，4+4d=3q+---d,

整理得2q=d,即d=2,

故a“=2n-l,

由%+%=15可得d=8,则如3=8,即4=2,

故a=2"T.

(2)由(1)得，S“=〃2,T„=T-i,

故、_^=二----^-=n-2"-n'

nn

所以，数列的前〃项和为(lx2i+2x22+-+〃x2")―(l+2+-+〃)，

设月=lx2l+2x22+…+(〃—l)x2"T+〃x2”①，

则2勺=1x2?+2x23+•••+(〃-1)x2"+〃x2»i②，

②—①得匕=〃*2"+|_(2+22+23+...+2")=(〃_1)*2'用+2,

综上，数列｛2子｝的前«项和为(〃一1)x2n+1-？(；1)+2.

【点睛】

本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，难度一般.

20.(1)详见解析(2)坡

5

【解析】

(1)如图，作砂〃PC,交BC于F,连接AE.

因为PB=3BE,所以E是PB的三等分点，可得8b=2叵.

3

因为AB=AD=2,BC=CD=26，AC=AC,所以AABC会AWC,

因为8C_LA8,所以NA8C=9O°,

因为tanNAC3=4g=三=迫，所以/4CB=zS4cz)=30。，所以NBC£>=60°,

BC283

AB2rr

因为3'"=而二环='，所以NA「3=60°,所以A尸〃CD,

亍

因为AFo平面PCD,CDu平面PC。，所以平面PCD.

又所〃PC,EF,平面PCD,PCu平面PCD,所以政||平面PCD.

因为=AF>Ebu平面AM,所以平面AEF〃平面PC。，所以AE〃平面PCQ.

p,

(2)因为△PA3是等边三角形，AB=2,所以03=2.

又因为PC=4,BC=26，所以PC?=m2+3。2,所以BCLPB.

又3CLAB，A氏P3u平面2LB,ABcPB=B,所以3C_L平面B钻.

因为8Cu平面ABCD,所以平面PAB_L平面ABC£>.在平面PAB内作&_L平面ABCD.

以8点为坐标原点，分别以8c,84,&所在直线为x,»z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-肛z,

则C(26,0,0),40,2,0),P(0,l,我,

所以Bd=(2G,0,0),BA=(0,1,6),AC=(2x/3,-2,0),A户=(0,-1,6).

m-BC=02'=0

设机=a，y,zj为平面BPC的法向量，则<_，即〈

m-BP-0j+&Z]=0

令Z]=—l,可得,"=(0,6,-1).

n-AC=Q2百%-2y2-0

设”=(±,%,22)为平面APC的法向量，贝卜,即《

n-AP=0-y2+^3z2=0

令Z2=l,可得77=(1,百,1).

3-1y/5

所以COS=贝!Jsin-(.~~T=—^―，

2x75-5

所以二面角A—PC-8的正弦值为述.

5

21.(1){x|0<x<2};(2)见解析

【解析】

X<c—1

(1)C(x)W4_|2x_3|等价于(I)或(H)<或(in)