2023年河南省重点高中高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

I.已知不入是椭圆C：方的左、右焦点，过尼的直线交椭圆于P，。两点•若

IQE1,1尸鸟1,1尸耳1,1。不依次构成等差数列，且|PQI=|尸用，则椭圆。的离心率为

23V151、闹

AA.-B.—C・---D.---

34515

2.设直线/的方程为x—2y+m=0（meR）,圆的方程为（x-l>+（y-l）2=25,若直线/被圆所截得的弦长为2石，则

实数〃?的取值为

A.-9或11B.-7或11C.-7D.-9

3.函数y=sinx（3sinx+4cosx）（xe/?）的最大值为"，最小正周期为T,则有序数对（加,7）为（）

A.（5,））B.（4,乃）C.（一1,2%）D.（4,2万）

4.方程2（x-l）sin乃x+l=0在区间［-2,4］内的所有解之和等于（）

A.4B.6C.8D.10

5.复数的z=-1-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.设左>1,则关于苍丁的方程（1一人）》2+丁2=公一］所表示的曲线是（）

A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在X轴上的椭圆

c.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线

丫2v27T

7.已知双曲线C:，-2=1（“>0力>0）的右焦点为尸，若双曲线。的一条渐近线的倾斜角为且点尸到该渐近线

ab~3

的距离为6,则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

C.4D.成

5

8.已知曲线f=4y,动点P在直线y=-3上，过点P作曲线的两条切线4,切点分别为A,6,则直线AB截圆

J+y2_6y+5=0所得弦长为（）

A.y/3B.2C.4D.2百

9.已知集合4=*|-2<x<4},集合3={X|X2-5X-6>0},则=

A.{x|3<x<4}B.{x|x<4或x>6}

C.{x|-2<x<-l}D.{x|-l<x<4}

njr

10.将函数/（x）=2sin（3x+0）（0<（p〈兀）图象向右平移g个单位长度后，得到函数的图象关于直线x=彳对称，

83

7171

则函数/（X）在-7,7上的值域是（）

_OO_

A.[-1,2]B.[-73,2]C.一与1D.[-72,2]

11.已知斜率为A的直线/与抛物线。：尸=4无交于A,B两点，线段AB的中点为加）（机>0）,则斜率m的取

值范围是（）

A.（F,l）B.（F,l]C.（l,+oo）D.[1,-HX>）

12.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）

tci>wMi£inm

«HIV

A.1B.2C.3D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x+l）（x—2）6展开式中/的系数为.

14.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋腌”意指四个面都

是直角三角形的三棱锥.某“憋腌”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2及，

则该几何体外接球的表面积为.

J2

15.已知双曲线§l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为.

16.戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组

各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有种(用数字作答)，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=|x+l|+k+3|.

(1)解不等式〃x)<6

(2)若a*,c均为正数，且/(a)+/(0)+c=10,求力+/的最小值.

一一2

18.(12分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是b,c,bsinA=3csinB,a=3,cosB=1.

(I)求〃的值；

(ED求COS(25-B)的值.

6

19.(12分)如图在棱锥尸一ABC。中，ABC。为矩形，PD±^ABCD,PB=2,NBPC=45°,NPBD=30：

(1)在上是否存在一点E,使PC,面若存在确定E点位置,若不存在，请说明理由;

(2)当E为心中点时，求二面角P—AE—。的余弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=x2-2xlnx,函数g(x)=x+@—(Inx)2,其中ae/?,/是g(x)的一个极值点，且

X

g(%)=2.

(1)讨论/(x)的单调性

(2)求实数与和。的值

〃II

(3)证明Z^^^＞小11(2〃+1)(〃eN")

MA/4&2_]2

x=1+cos（p

21.（12分）在直角坐标系x。），中，圆C的参数方程,"（。为参数），以。为极点，x轴的非负半轴为极

y=sine

轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线/的极坐标方程是2。sin,+。）=36，射线。加：。=（与圆C的交点为。、P,与直线，的交点为Q,

求线段PQ的长.

22.（10分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

ak~\Pk

已知矩阵A=（厚0）的一个特征向量为a=,

A的逆矩阵Ai对应的变换将点（3,1）变为点（1,1）.求实数a,k的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

如图所示，设IQK示可1,1助1,1。不依次构成等差数列{4},其公差为/.

q+(4+d)+(q+2d)+(q+3d)=4a2

根据椭圆定义得4+/+4+%=4“，又4+%=%，贝上K+(q+d)=4+2d‘解得"丁’

q所以IQ6l=ga,|P耳|=4a,\PF2l=^«>IPQ\=^a.

+(ga)2-(2c)2(|cz)2+(|^)2-

在和△尸耳Q中，由余弦定理得cosNf；P8,整理解得

c66

2•一〃—a

5555

仁=曙•故选D.

2.A

【解析】

Irn—1I

圆（x-lf+U-4=25的圆心坐标为（1,1）,该圆心到直线/的距离4=一^,结合弦长公式得

2卜5-（券^）2=2行，解得机=-9或〃2=11,故选A.

V75

3.B

【解析】

■,3353

函数y=sinx(3sinx+4cosx)=3sin?x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(夕为辅助角)

2222

27r

...函数的最大值为〃=4,最小正周期为7=m=万

故选B

4.C

【解析】

画出函数丁=sin也和/=的图像，y=sin心和丫=一空不均关于点（1,0）中心对称，计算得到答案.

Z（X—1）2（x—1）

【详解】

2(x—l)sin%x+l=0,验证知x=l不成立，

2(x-l)

画出函数y=sinm和y=-的图像,

2（九一1）

易知：y=sinu和丁=-彳占可均关于点（1,0）中心对称，图像共有8个交点,

故所有解之和等于4x2=8.

故选：C.

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点（1,0）中心对称是解题的关键.

5.C

【解析】

所对应的点为（-1,-2）位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.

6.C

【解析】

..22

根据条件，方程（1-左）/+；/=公一1.即/-----J=l,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.

【详解】

解：•:k>l,*2-1>0,

22

方程。一攵）/+^=3一］,即舌.一上.=1,表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C.

【点睛】

22

本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为/.....-=1是关键.

F-lZ+1

7.B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为丁=±2X，由题可知2=tan'=百.

设点厂(c,0),则点F到直线y=显的距离为小肃h+，解得c=2,

所以c2=〃2+斤="+弘2=4/=4,解得“=1,所以双曲线C的实轴的长为2a=2,故选B.

8.C

【解析】

设A七,｝，Bx2,^-，尸«,-3),根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将2点坐标代入切线

方程，抽象出直线AB方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.

【详解】

圆x2+y2_6y+5=0可化为f+dP=4.

/2\(2\

X

设AP-Tx2,-j-,尸(/,-3),

\47\47

则《4的斜率分别为匕吟,k2书,

所以4，/2的方程为/1：,=土(》一为)+且，即.丫=+*—X，

242

，2：y=£(x_%)+学，即

-3=争一y

由于4,4都过点「。,一3),所以1,

-3=/必

即4(%方),3(々,%)都在直线_3='_'上，

Y

所以直线的方程为一3=5/一》，恒过定点(0,3),

即直线AB过圆心(0,3),

则直线AB截圆f+/一6y+5=0所得弦长为4.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.

9.C

【解析】

由》2一5X一6>0可得(x-6)(x+l)>。，解得x<—l或x>6,所以8=或x>6),

又A={x[—2<x<4},所以Ac8={x[-2<x<-l},故选C.

10.D

【解析】

由题意利用函数丫=4$亩(妙+⑼的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.

【详解】

1T

解：把函数/(x)=2sin(3x+。)(0<。(万)图象向右平移g个单位长度后,

8

可得y=20皿［3》_1+夕］的图象；

TT

再根据得到函数的图象关于直线X=1•对称,

C713乃.71、r

3X-------卜(p=K.7TH—,kGZ,

382

7〃7兀、

?.(p函数/(x)=2sin3x4-

TTJ

兀汽、~7万n57r

在—上，3x+—G—,―sin3X--\G

88J8124I8JF'i'

故/(x)=2sin[3x-*卜[-V2,2],即f(x)的值域是[-忘,2],

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(s+e)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题.

11.C

【解析】

设A(x-%),B(X2,y2),设直线/的方程为：y=kx+b,与抛物线方程联立，由A>0得姑<1,利用韦达定理结

合已知条件得人=2二-P匚，m=2~,代入上式即可求出攵的取值范围.

kk

【详解】

设直线/的方程为：y=kx+b,A*1,yj,B(x2,%),

v=+b

联立方程!「，消去）'得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0,

y=4x

AA=（2妨-4）2-4炉/＞（）,

:.kb＜\,

n4—2kbb2

Rxi+x2—,xtx2=—^,

4

M+%=%（X|+x）+2b=-,

2k

••・线段A3的中点为M（l,加）（机＞。），

m>0,

:">0,

2

把〃=土2-人k代入幼<1,得2-二<1,

k

：.42>1,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

12.C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

其中AABC,NBCD,AADC为直角三角形.

...该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.48

【解析】

变换(X+I)(x—2)6=x(x—2)6+(x—2)6,根据二项式定理计算得到答案.

【详解】

(x—2)6的展开式的通项为：&|=。；产。(—2丫，(X+1)(X-2)6=%(X-2)6+(%-2)6,

取r=5和r=4,计算得到系数为：或.(一2)5+《.(一2?=48.

故答案为：48.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.12TI

【解析】

三视图还原如下图：AB=2s/2,BD=CD=y/2,BC=2,由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以

R=BS=4TR2=12万,填12兀。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直

角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。

15-T

【解析】

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得一=二，即。=2瓦进而由双曲线的几何性质可得，=后方=石，，由双

a2

曲线的离心率公式计算可得答案.

【详解】

r2v2I

根据题意，双曲线1r—方=1（。>0,6>0）的渐近线方程为7=±：*,

又由该双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,即

则有一=—9BPa=2b9

a2

贝！Ic=行行=取，

则该双曲线的离心率e=±=叵=好；

a2b2

故答案为：逝.

2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，关键是分析“、5之间的关系，属于基础题.

16.1080

【解析】

按照先分组，再分配的分式,先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别

A；-A；

奔赴四所不同的学校参加演讲有A：种，然后用分步计数原理求解.

【详解】

将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有=45种,

6•凡

再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有用=24种，

则不同的分配方案有45x24=1080种.

故答案为：1080

【点睛】

本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(-5,1)；(2)—

【解析】

(1)利用零点分段讨论法可求不等式的解.

(2)利用柯西不等式可求02+6+。2的最小值.

【详解】

2x+4,x>-l

(1)=<2,-3<x<-l,

—2x—4,xW—3

x>-l—3<xv—1x«—3

由〃x)<6得，c4v或'.,或,

2x+4<62<6-2x-4<6'

解得xe(-5,1).

(2)f(a)+f(b)+c=(2a+4)+(2b+4)+c=10,

所以2a+2Z?+c=2,

由柯西不等式(a：+a；+a；)伍;+b^>(q仿+a2b2+ajb^得：

(a2+b2+e2)(22+22+l2)>(2«+2Z;+c)2

所以9(a2+o2+c2)2(2a+2b+c)2=4,

44

即/+〃+C2N—(当且仅当a=b=2c=—时取“=”).

99

4

所以的最小值为,.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平

方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象

法求解时注意图象的正确刻画.利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.

18.(I)b=#)(H)

18

【解析】

(I)根据正弦定理先求得边c,然后由余弦定理可求得边加

(ED结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.

【详解】

(I)因为)sinA=3csinB,

由正弦定理可得，ab=3bc,

又a=3,所以c=l,

所以根据余弦定理得，2=9上1二弦,

36

解得，b—;

(H)因为COSB=2,所以sinB=@,

33

COS2B=2COS2B-1=-^,sin2B=2sinBcosB=—,

99

f兀、g1.”8/1、1464x/5-V3

贝！jcos(2B——)=——cos23+—sin22=——x(一—)+—x-----=-------------.

622292918

【点睛】

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.

19.(1)见解析；(2)昱

3

【解析】

(1)要证明产仁1_面41也，由已知可得4O_LPC,只需满足诙.定=0即可，从而得到点E为中点；(2)求出面AOE

的法向量，面R1E的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P-AE-O的余弦值.

【详解】

(1)法一：要证明PCJL面ADE,易知人口_1_面「口(：，即得AD_LPC,故只需力后.尹C=0即可，

所以由(而+屉)•斤=0=而•元+而•后=0=|庵|=1,即存在点E为PC中点.

法二：建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ,由题意知PD=CD=L

CE=立,设隹=2冏，：.PE=APB=A(y[2,\,-\),PC=(O,l,-l),由

PCD£1=PC-(DP+PE)=(0,l,-l)(V2A,2,l-2)=0,得4=

即存在点E为PC中点.

（近11）

（2）由⑴知0（0,0,0）,A（V2,0,0）,E—,P（0,0,l）

、222,

DA=（x/2,0,0）,DE=,PN=（"0,-1）,PE=当,;，一;

\J\

设面ADE的法向量为1=（西,加4）,面PAE的法向量为区=（X2，%Z2）

及X[=0

n.DA^Q

由的法向量为2_得，《缶+1+9=。丽=(°」T,

n,DE=0

同理求得后=(1，0，血)

n}-n}_百

所以COS。

同宿|3

故所求二面角P-AE-D的余弦值为无.

3

【点睛】

本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力.

20.(1)/(x)在区间(0,+a)单调递增；⑵xQ=\,a=\i(3)证明见解析.

【解析】

⑴求出尸(x),在定义域内，再次求导，可得在区间(0,+力)上/'(X)之()恒成立，从而可得结论；⑵由g'(x)=0,

可得片一2所111/一。=0,由g(x0)=2可得片—/(inx。)？一2%+a=0,联立解方程组可得结果；(3)由(1)知

/.(%)=%2—2月11彳在区间(0,+纥)单调递增，可证明五一一%>lnx,取8=竺土LA6N*,可得

y1X2k—1

J2k+1_yl2k-]_>k+k_而博?一偿三二-^二，利用裂项相消法，结合放缩法可得

721、2k-l\2k+l

结果.

【详解】

(1)由己知可得函数/(x)的定义域为(0,+“)，且/'(x)=2x-21n尤-2,

令〃(x)=/'(x),则有/z'(x)=2("1),由"(x)=0,可得x=l,

X

可知当X变化时，”(x),〃(x)的变化情况如下表：

X(0,1)1(1,+8)

“(X)-0+

人(力极小值/

・•・〃(%)N砌=0,EP/'(x)>0,可得/(x)在区间(0,+8)单调递增；

(2)由已知可得函数g(x)的定义域为(0,+力)，且g(x)=l-点一平,

由已知得g'(x)=0,即其一2xolnxo-a=。，①

由g(玉))=2可得，xj—莅(inx。)-2x0+a=0,②

联立①②，消去a,可得2%一(111%)2-2111%0-2=0,③

令t(x)=2x-(lnx)2-21nx-2,贝！J/(x)=2---------=-----------,

xxx

由(1)知，x-lnx-l>0,故f'(x"0,.”(%)在区间(0,+e)单调递增,

注意到［1)=0,所以方程③有唯一解毛=1,代入①，可得a=l,

=1,6Z=1•

(3)证明：由⑴知/(x)=f-2xlnx在区间((),+8)单调递增，

故当X€(1,4W)时，/(%)>/(1)=1,g'(x)=El理二1=与二l〉o,

XX

可得g(x)在区间(1,+8)单调递增,

、2

因此，当X>1时，g(x)>g(l)=2,即x+g-(lnx)2>2,亦即1

>(Inx)2,

\[x

7

这时—y=>0,Inx>0,故可得—^=->Inx,取x=,一「N",

yjx2k—1

[2k+ll2k-l_2

—r/J=.2k+1y2,k~11/c7i,.、

可得J--------1>ln(2k+l)-ln(2左一1),而“21—、2/+广42-i

\2k-lyj2k+l

nnfj

故Z/