2022届湖南省新宁县名校高三年级下册学期第三次模拟考试数学试卷 【含答案】

2022届高三第三次模拟考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（i为虚数单位），则在复平面内的对应点落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，，对应的点为，落在第二象限，故选B．2．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为和的最小公倍数为，故，故选A．3．从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位cm）绘制成频率分布直方图，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动．则从身高在内的学生中选取的人数应为（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】依题意，解得，身高在，，三组内的学生比例为，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为人，故选B．4．在一次独立性检验中得到如下列联表：A1A2总计B12008001000B2180a180＋a总计380800＋a1180＋a若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是（）A．200 B．720 C．100 D．180【答案】B【解析】当时，，易知此时两个分类变量没有关系，故选B．5．在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，外接圆半径，底面，球的半径，故选B．6．设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，即，所以是图象与图象的交点，且显然，令，得，即，所以是图象与图象的交点，因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有，所以，令在上单调递减，所以，故选C．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，焦距为4，点关于双曲线C的一条渐近线的对称点为P，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】如图设与渐近线的交点为，则，且，，因为为的中点，所以，所以，所以，所以，则，所以，在中，，即，即，所以，又焦距，所以，所以离心率，故选D．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，由余弦定理可得．因为的面积，所以，因为，所以，故当时，取得最大值3，此时，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，由、，可得，又，所以，故A正确；对于B，由、，可得，又，则或，故B错误；对于C，由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；对于D，由、，可得，又，所以，故D正确，故选AD．10．已知数列的前项和为，下列说法正确的（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则【答案】ABC【解析】对于选项A，由，得，两式相减得，又当时，，满足上式，所以，故是等差数列，选项A正确；对于选项B，由，得，两式相减得，又，满足上式，所以，故，即是以1为首项，以2为公比的等比数列，选项B正确；对于选项C，由是等差数列，得，选项C正确；对于选项D，若等比数列的公比，则，选项D错误，故选ABC．11．已知函数，则（）A．为偶函数 B．的最小正周期为C．在上单调递增 D．在内有2个解【答案】AD【解析】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称，又由，所以为偶函数，所以A正确；对于B中，由，可得函数的最小正周期为，所以B错误；对于C中，当时，函数单调递增，值域为，当时，函数单调递增，所以在上单调递增；当时，函数单调递增，值域为，当时，函数单调递减，故在上单调递减，所以C错误；对于D中，由，则或，当时，有两个解，无解，所以在内有2个解，所以D正确，故选AD．12．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（）A．若a为定值，则为定值B．若，则C．存在H，使，，成等比数列D．若，则，，成等差数列【答案】ACD【解析】正四面体的高为，由，即，所以，所以，故A正确；由A知，，∴，B不正确；当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；对于D选项，因为，，若，则，则，设H到，，的距离为，，，∴，又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，∴，所以，，成等差数列，故D正确，故选ACD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知是非零向量，若，与的夹角是，则_________．【答案】2【解析】因为，与的夹角是，所以，故答案为2．14．的展开式中项的系数是______．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中项的系数为：，故答案为．15．已知圆，在圆内任取一点，以为弦中点作弦，则弦长的概率为_________．【答案】（或）【解析】由题意可知：在圆内任取一点，以为弦中点作弦，当时，，故的轨迹方程是，要使弦长，则必须在内（含圆周），所以弦长的概率为，故答案为．16．已知函数（，e为自然对数的底数，e=2．71828…）．当时，函数在点处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________．【答案】，e【解析】由题意当时，，，则，，所以函数在点处的切线方程为．因为，即，则，令，故，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，；当时，，故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知各项均为正数的数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，∵，∴，所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故数列的通项公式为．（2）由成等差数列可知，，所以．所以，①，②由①-②，得，故．18．（12分）电影《长津湖》让那些在冰雪里为国而争的战士和他们的故事，仿佛活在了我们眼前；让我们重回那段行军千里，只为保家卫国的峥嵘岁月；也让我们记住，今天的美好盛世，是那群最可爱的人历经何种困苦才夺来的．某校高三年级8个班共400人，其中男生240名，女生160名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为组，各班观影女生人数记为组，得到如下茎叶图．（1）根据茎叶图完成列联表，并判断是否有的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关；观影人数没观影人数合计男生女生合计（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取人参加座谈，并从参加座谈的学生中随机抽取位同学采访，记为抽取的男生人数，求的分布列和数学期望．参考数据：，．【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为观看该影片与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）解：列联表如下表所示：观影人数没观影人数合计男生女生合计，所以没有的把握认为观看该影片与性别有关．（2）解：选出的女生人数为，选出的男生人数为，从参加座谈的学生中随机抽取男生人数为，则的可能取值为、、，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．（1）若，求C；（2）点D在边AB上，且，证明：CD平分∠ACB．【答案】（1）；（2）证明见解析﹒【解析】（1）由，，∵，∴﹒（2）设，，∵，∴由正弦定理得，在中，由正弦定理得，①在中，由正弦定理得，②，，∴得，，∵、，，即平分．20．（12分）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点．如图，，，点是上的动点．沿将纸片折为直二面角，并连接，，，．（1）当平面时，求的长；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因平面，平面内，平面平面，则有，因此，，而，则，所以的长是．（2）因，平面平面，平面平面，平面ABC，则平面，三棱锥的体积，因此，三棱锥的体积最大，当且仅当，即，取PD中点M，连接OM，CM，由，可得，如图，于是得，即是二面角的平面角，而，在中，，则，，所以二面角的余弦值是．21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点．①求直线的方程（用，表示）；②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】（1）由题意知，椭圆的离心率为，且过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）①因为是椭圆在第一象限的点，所以，即()，设直线l方程为，则，消去y，整理得，则，整理，得，即，则，解得，所以直线l方程为，即．②令，得；令，得，即，，由()，得，当且仅当，即时等号成立，所以，得，所以，此时，故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为．22．（12分）已知，．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，证明．【答案】（1）函数的增区间为、，减区间