2023年福建省高一数学竞赛参考答案

2023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月1１日上午8:30-１１：０0)一、选择题（每小题6分,共36分)1.已知集合，,若，则实数的取值范围为()Ａ．B．Ｃ.Ｄ.【答案】A【解答】时，,符合规定。时，，。由知,。,解得。∴的取值范围为。2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（)A．B.C．D.【答案】A【解答】设圆锥底面半径为，母线长为,则,。又。因此,,。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径,其体积。3．函数的值域为（）A．B．C.D．【答案】Ｂ【解答】由，知，。∴，。又，因此,。值域为。４.给出下列命题：(1)设，是不同的直线，是一个平面,若,，则。（2)，是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与,之一垂直，与另一条平行。（3）在正四周体中，与平面所成角的余弦值为。（４）在空间四边形中，各边长均为1，若，则的取值范围是。其中对的的命题的个数为()Ａ．１个B．2个C．３个Ｄ．４个【答案】C【解答】（１）显然对的。(2)若存在平面，使得,，则。但，是未必垂直。故不对的。（３)作于，则为正三角形的中心,是与平面所成角。设,则，。故，（３)对的。(4)取中点,则。由、、构成三角形知,。故，（４)对的。5.已知是定义在上的奇函数,且对任意,均有,当时，,则函数在区间上的零点个数为（)A．6个B．7个C.８个D.９个【答案】Ｄ【解答】由知,,或。∴在区间内有唯一零点1。结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。又由知,在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。又由，知,,。又。∴在区间上的零点个数为9。6．已知函数。给出下列四个判断：（1）的值域是;(2）的图像是轴对称图形；(3)的图像是中心对称图形；（4)方程有解。其中对的的判断有（)A．1个B．2个C.3个D．4个【答案】Ｂ【解答】设,,，则。(1)∵,与轴不相交(即、、三点不共线)。∴等号不成立,的值域是。（1）不对的。(2）∵,∴，的图像关于直线对称。(或从几何图形上看,当与关于点对称时，)。（2)对的。(3）显然不对的。(若(3)对的,则结合(2)可得为周期函数,矛盾。）(４)∵，又，∴方程有解(是方程的解)。（4)对的。二、填空题（每小题6分,共36分)7.已知集合，，若,则实数的取值范围为。【答案】【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界)。∴，且圆心到直线的距离。∴。8.如图，在等腰直角三角形中，,、分别为、的中点。将沿折起,使得折起后二面角为。则折起后四棱锥的体积为。【答案】【解答】由条件知,在四棱锥中,，。∴是二面角的平面角,且。∴，且。作于,则。由知，为正三角形,。∴四棱锥的体积。9.已知函数的图像关于点对称，则点的坐标为。【答案】【解答】由函数定义域为；值域为。猜测点坐标为。下面给出证明：∵。∴的图像关于点对称。10．中,已知,若，则面积的最大值为。【答案】【解答】以中点为坐标原点,直线为轴建立直角坐标系，则，。设。则由，知。整理,得。∴点在认为圆心，半径为的圆(除与轴的交点)上运动。∴点到直线即轴距离的最大值为。∴面积的最大值为。１1．已知二次函数,若对任意均有成立,则的最大值为。【答案】8【解答】，，,，，。∴，当且仅当，即时,等号成立。∴的最大值为８。1２.不等式的解集为。【答案】【解答】不等式化为………①；或………②。由，得,由于函数为增函数,且。所以，不等式①的解为。由，得。设,。如图,在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点，(），其中，。所以，②的解为。由①、②可知,不等式的解集为。三、解答题(第13、14、15、16题每题16分，第17题1４分,满分７８分）1３.（本题满分16分）求二次函数在区间上的最小值的表达式。【解答】。当时，，在区间上的最小值为。……………4分当时，。若,即时，在区间上的最小值为。……………8分若,即时,在区间上的最小值为。………１2分若,即时，在区间上的最小值为。∴。………16分１4．（本题满分１６分）已知两个同心圆：和：，圆上一点。过点作圆的两条切线,切点分别为、。（1)若点坐标为,求四边形的面积。(2）当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在,求出定圆的方程；若不存在,请说明理由。【解答】（1）依题意，,，且,。∴。∴四边形的面积为。…4分（2)设，则。当点在圆上运动时，恒有。∴点、在认为圆心,为半径的圆上。该圆方程为。……8分又点、在圆：上。联立两圆方程,消二次项，得。即。∴直线方程为。…12分∵原点到直线的距离为定值。∴圆恒与直线相切。∴存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。………………1６分注：本题也可以用平面几何方法求解:设与的交点为，则。…8分在中，由，,，知。…12分∴认为圆心,1为半径的圆恒于直线相切。∴存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。…16分１５.（本题满分１６分）如图,在中，为的平分线且与交于点,为中点,、为、上的点,且。求证：。【解答】如图,过点作的平行线交直线于点,于点。则由为中点知,为中点。…4分∵平分，∴。∴,。结合知,、、、四点共圆。……………8分∴。∴。∴,。同理,。………12分∴，、、、四点共圆。∴。……１6分16.(本题满分16分）给出5个互不相同的实数,若这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数,求证：这５个数的平方都是有理数。【解答】设为其中的一个数，依题意,其余的4个数为或的形式,其中为有理数。…………４分（1）若这4个数中至少有2个为（)的形式，设它们为，（且,)。则由条件知,与中至少有1个成立。当时,,,成立。当时,，成立。………８分（2)若这4个数中最多只有1个为（)的形式，则至少有3个数为（)的形式。设这三个数为,，（，,互不相同,且，，）。下面考虑这三个数的和与积。①若,，中至少有两个为有理数。不妨设,为有理数,则。∴，成立。………12分②若，，中最多只有1个为有理数，则，,中至少有两个为有理数。不妨设，为有理数。则,。两式相减，得，。∴,成立。由①、②知,此时成立。综上可得,。因此,这5个数的平方都是有理数。……………16分17.(本题满分１4分)(１)设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？（2）设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素?【解答】（1）构造的下列１3个子集:，，，，，,,，,，，，(中每一个数恰好属于2个子集)。由于从中任取７个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集,它们的差为6或７。因此,中任意7个元素都不能同时属于集合。即中最多只有6个元素。…………4分又中任意两数之差都不等于6或7。集合符合规定。∴集合中最多有6个元素。…………7分（2)由（1)知，任意连续13个正整数中最多只有6