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本文格式为Word版，下载可任意编辑——双次幂变差与价格跳跃的分离

一、本文的符号

二、概念、术语和细致数学推导过程及结果。

1、实现的方差和二次变差

2、随机波动率

3、单次幂变差过程

4、双次幂变差过程

5、带有罕见、大幅腾跃的随机波动率模型

5.1罕见的腾跃及其二次变差

5.2罕见的腾跃与单次幂变差

5.3罕见的腾跃与双次幂变差

三、实证分析

上证指数000001的五分钟交易数据，时间是2022/10/14—2022/11/25日，四十个交易日。其二次变差、实现的方差、双次幂变差如右下图所示：

从右图中可以直观的看到双次幂变差对实现方差的迫近比实现的方差对二次变差的迫近要好的多，但是处在同一个数量级。二次变差与实现方差的离差平方和为1.3874e-007，这是一个分外接近于零的数，可见实现的方差可以作为二次变差的估计量。而双次幂变差与实现方差的离差平方和为3.2022e-008，这个数与1.3874e-007相比更加接近于零，与右图也是吻合的。同时也说明（23）式是成立的。

上图为真实交易数据生成的图像，左图给出了存在腾跃时的实现方差、二次变差和双次幂变差的图像。不失一般性的在第十天中参与一个2%的价格腾跃。也就是说当五分钟的价格中有2%的腾跃时就可以检测到。当参与1%的腾跃时，五分钟数据监测不到，但却可以被一分钟的数据抓获到。

右图是实现的方差减去双次幂变差生成的图像，可以明显的看到在第十个交易日有明显的价格腾跃，其值为0.00040278。而2%的平方为0.0004，可见右图切实的抓获到了这个腾跃，验证了（24）式。为了更好的对比分析，下面我们分析一分钟的交易数据。数据采用2022/11/18—2022/11/25日，8个交易日的价格。

由以上分析知，左图中其次个交易日存在价格腾跃，实际是第480个交易价格的收益率为-0.079048，是一个比剔除这个收益率外其他收益率的均值6.8920e-006大的多的值。此处实现的方差减去双次幂变差的结果为0.0062297。而-0.079048的平方为0.0062486，与0.0062297是如此的接近。当用6.8920e-006替代-0.079048重新分析时，结果如下图。

右图坐标轴的明显变化也显示了一分钟数据的实现方差可以比五分钟数据更好的迫近二次变差。这与数学理论是吻合的。不失一般性的在第480个交易价格处增加一个1%的腾跃，得到的以下两张图，明显的呈现了腾跃的存在。事实是其次个交易日的实现方差减去双次幂变差的结果为0.00010412，1%的平方为0.0001.再一次验证了（24）式。

四、总结

为了简朴领略的说明问题，实证分析中仅仅随机的参与了一个腾跃，当随机的参与多个腾跃时得到同样的结论。本文的数学推导和实证分析一致的说领略双次幂变差对腾跃的稳健性，以及实现的方差可以作为二次变差的无偏估计值。所以价格腾跃的二次变差可以由已实

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